第一節(jié)復數及其代數運算

1、第一節(jié) 復數及其代數運算一、復數的概念二、復數的代數運算三、小結與思考2一、復數的概念1. 虛數單位虛數單位:.,稱為虛數單位稱為虛數單位引入一個新數引入一個新數為了解方程的需要為了解方程的需要i.1 :2在實數集中無解在實數集中無解方程方程實例實例 x對虛數單位的規(guī)定對虛數單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i.)2(四四則則運運算算樣樣的的法法則則進進行行可可以以與與實實數數在在一一起起按按同同i3虛數單位的特性虛數單位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii則則是是正正整整數數一一般般地地，

2、如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 42.復數復數:. , 為復數為復數或或我們稱我們稱對于任意兩實數對于任意兩實數iyxzyixzyx , , 的實部和虛部的實部和虛部分別稱為分別稱為其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 記作記作 ; , 0 , 0 稱為純虛數稱為純虛數時時當當iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實數我們把它看作實數時時當當 5例例1 1復復數數取取何何值值時時實實數數,m )43(2mm.)2(;)1(純虛數純虛數實數實數是是imm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y則則如如果

3、果復復數數是是實實數數. 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且則則如果復數是純虛數如果復數是純虛數. 140432 mmmm或或知知由由.10應舍去應舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有6 兩復數相等兩復數相等當且僅當當且僅當它們的實部和虛它們的實部和虛部分別相等部分別相等. 復數復數 z 等于等于0當且僅當當且僅當它的實部和虛部它的實部和虛部同時等于同時等于0.說明說明 兩個數如果都是實數兩個數如果都是實數,可以比較它們的可以比較它們的大小大小, 如果不全是實數如果不全是實數, 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就是說是說, 復數不能比較大小復數不能比較大

4、小.7二、復數的代數運算, 222111iyxziyxz 設兩復數設兩復數1. 兩復數的和兩復數的和:).()(212121yyixxzz 2. 兩復數的積兩復數的積:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 兩復數的商兩復數的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 84. 共軛復數共軛復數: 實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數稱為共軛復數個復數稱為共軛復數. . , zz 共軛的復數記為共軛的復數記為與與. , iyxziyxz 則則若若例例2 2.的積的積與與計算共軛復數計算共軛復數yixyix

5、 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的積是一個實數的積是一個實數兩個共軛復數兩個共軛復數zz結論：95. 共軛復數的性質共軛復數的性質:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略.10例例3 3 . 的形式的形式將下列復數表示為將下列復數表示為iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(

6、22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 11例例4 4解解.112 iiii計算計算iiiiiiiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 12例例5 解解,43,55 21iziz 設設. 2121 zzzz與與求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 13例例6 解解,131 iiiz 設設.)Im(),Re(zzzz 與與求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii

7、,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 14例例7 證證, 222111iyxziyxz 設兩復數設兩復數).Re(2 212121zzzzzz 證明證明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或15例例8 解解.)2(;125)1( iii 化簡化簡 ,125)1(iyxi ,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii 16,)2(yixi ,2121 ii,2121 ii. 2 ii 12, 022xyyx,21 yx17三、小結與思考 本課學習了復數的有關概念、性質及其運本課學習了復數的有關概念、性質及其運算算. 重點掌握復數的運算重點掌握復數的運算, 它是本節(jié)課的重點它是本節(jié)課的重點.18思考題思考題復數為什么不能比較大小？復數為什么不能比較大??？19思考題答案思考題答案 0, 和和觀察復數觀察復數 i , 0 i由復數的定義可知由復數的定義可知 , 0 )1( i若若