動態(tài)數(shù)學(xué)軟件Gebra使用教程

1、GeoGebra使用入門數(shù)字式的坐標(biāo)平面系統(tǒng)GeoGebra 使用入門m錄安裝 3基本概念 5跨系統(tǒng)、跨平臺 5使用者接口 5輸出 6重要的網(wǎng)絡(luò)資源 7基礎(chǔ)操作 81- 新點、交點、中心點 82- 直線、線段、向量 103-垂直線、并行線、角平分線、切線、軌跡 134- 多邊形、正多邊形 205- 圓形、扇形、圓弧 226- 角、斜率 267- 對稱、平移、旋轉(zhuǎn) 288- 數(shù)值滑桿、文字 349- 對象的屬性設(shè)定 37進(jìn)階操作范例 381-直線方程式、函數(shù) 382-動態(tài)文字處理、代數(shù)式定義處理：if語法的應(yīng)用 .393-參數(shù)曲面(Curve) 414-序列物件(Sequence) 425-自訂

2、工具列管理 45數(shù)式空立又復(fù)之指令速查走 47GeoGebra 使用入門安裝 、Windows接口下的安裝請先到 GeoGebra的網(wǎng)站：w（若要閱讀中文畫面，請將下拉式選單切換到Chinese。）這畫面中包含大部分的資源，如Help、中文討論區(qū)等。從WebStart 畫面中進(jìn)行安裝，可以保證安裝到目前最新的版本，而下載頁面，則列出目前最穩(wěn)定的版本。本說明建議讀者可以 WebStart J方式進(jìn)行安裝，點選啟用GeoGebra這個連結(jié)，畫面會導(dǎo)向到WebStart J頁面，步驟如下頁：1GeoGebra 使用入門按下GeoGebra WebStart J按鈕后，因為 GeoGebra是在Jav

3、a J環(huán)境下執(zhí) 行的軟件，若您的計算機(jī)沒有安裝 Java環(huán)境，則畫面會自動導(dǎo)向到 Java安 裝網(wǎng)頁，若您的計算機(jī)沒有Java環(huán)境，且瀏覽器沒有導(dǎo)向到Java安裝網(wǎng)頁，您可以自j亍輸入網(wǎng)址:A,來進(jìn)行在線安裝，該網(wǎng)站上有詳細(xì)的安裝說明。結(jié)束Java的安裝后，若您是以GeoGebraWebStart按鈕進(jìn)行安裝，則 會自動進(jìn)行GeoGebra的安裝，若瀏覽器沒有自動進(jìn)行安裝，則您可以考慮切換到下載GeoGebra的各系統(tǒng)版本進(jìn)行安裝。GeoGebra 使用入門基本概念跨系統(tǒng)、跨平臺GeoGebra是一個在Java虛擬機(jī)器環(huán)境上執(zhí)行的解析幾何作圖程序，可以說是一個數(shù)字式的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。所以用G

4、eoGebra做出來的動態(tài)圖文件，可以 輕易的在不同操作系統(tǒng)，如 Windows Linux、FreeBSD Mac等不同的操作 系統(tǒng)上 執(zhí)行?；蚩梢栽诓煌瑘?zhí)行平臺，如 MicrosoftIE、Mozilla Firefox等不同的網(wǎng) 際網(wǎng)絡(luò)瀏覽器上，完整而無礙的執(zhí)行。使用者接口GeoGebra使用入門我們大概可以把 GeoGebra這樣的動態(tài)幾何軟件，想成一個數(shù)字式的坐標(biāo)平 面作圖程序。這樣的程序里，包含了兩個主要區(qū)域，即代數(shù)區(qū)、幾何區(qū)。幾何區(qū)負(fù)責(zé)顯示對象，如點、線、角、函數(shù)圖形、方程式圖形、參數(shù)曲面圖形、軌跡、文字、布爾值等，可以讓使用者以直覺的方式操作與體驗。代數(shù)區(qū)負(fù)責(zé)列出對象的數(shù)學(xué)式型

5、態(tài)的定義，都是一般數(shù)學(xué)課本中所熟悉的描述形式。例如點是以P=(2,3)、直線方程式以L: 2x + 3y=5的形態(tài)將其 顯示。對于每一個對象，可以用鼠標(biāo)在幾何區(qū)的移動功能下選取或代數(shù)區(qū)中 直接選取，之后可以按鼠標(biāo)右鍵點選出它的屬性窗口，進(jìn)行此對象各個屬性的 調(diào) 整編輯，如名稱、定義、樣式、大小、裝飾、顯示條件、顯示型式、在幾何 區(qū)的 顯示狀態(tài)等，接口簡單易懂，極易操作。另外此區(qū)將對象分成自變對象、應(yīng) 變對象兩類，例如直線可能就是兩個點的應(yīng)變對象。而不管是自變對象 或應(yīng)變 對象皆可以被歸類于輔助對象，并可在菜單中設(shè)定是否在代數(shù)區(qū)中 顯示出來。對象的建立方式，可以用 直覺的幾何方式 或精確的代數(shù)定

6、義方式 來建立。幾 何建立方式，為先選取上方功能按鈕后，在窗口上方列右側(cè)即會出現(xiàn)其使用方 式說明，使用者依照其規(guī)范操作即可，所以原則就是先選功能，再依規(guī)則操 作。代數(shù)建立方式則為在下方輸入列，直接以指令方式輸入，例如 建立一個點為A=(3,2)，其余對象的輸入語法，可以查閱菜單中的 說明， 或先以幾何 方式建立后，在其屬性窗口中，查閱其定義也可以，這是比較簡易 的方法。對于 已經(jīng)制作完成的ggb檔，也可以在播放按鈕區(qū)調(diào)整每個對象播放 的順序。輸出制作完成的檔案，將以.ggb的擴(kuò)展名儲存，此外也可以用圖檔、網(wǎng)頁等 形態(tài)另外匯出。或?qū)gb文件直接內(nèi)嵌于動態(tài)網(wǎng)頁中,并在網(wǎng)頁瀏覽器中直接操 作。另外

7、GeoGebra也支持LATEX數(shù)學(xué)式標(biāo)示語言?；A(chǔ)操作1 .新點、交點、中心點* GeoGebra 使用入門各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例新點點選新點，再以鼠標(biāo)點出位置。A=(3,2)交點點選交點,再以鼠標(biāo)點出兩 個對象后建立。A=Intersecta,b直線a、b的交中心點點選中心點，再以鼠標(biāo)點出兩 個點后建立，或點出一線段。C=MidpointA,B點A B之中點。C=Midpoints線輔助說明以幾何操作方式建立新點，僅需先選擇工具按鈕中的新點，然后直接在幾何顯示作圖區(qū)中之適當(dāng)位置按下鼠標(biāo)左鍵，即完成新點建立。若以代數(shù)式建立， 則使用一般在平面坐標(biāo)上點的表示法，鍵入 A

8、= (3,2)這樣的指令，即完成一個名 為A且坐標(biāo)為(3,2)的點。以幾何操作方式建立交點的方式比較多元，凡是兩對 象間有交點者，皆可以在選擇交點功能按鈕后，連續(xù)點選出二個對象來完成操作。而若以代數(shù)式建 立，原則是以A=Intersect對象1,對象2,這樣的指令來完成。而其中的對象1、 對象2,可以是直線、圓錐曲線、函數(shù)等對象。而有些交點會出現(xiàn)二個，系統(tǒng)會分 別以1、2在下標(biāo)標(biāo)示表示之，例如兩個相割圓的交點有二個，則上述指令會產(chǎn) 生兩點A A。以幾何操作方式建立中點，需先選擇工具按鈕中的 中心點后，再點選兩 點或一線段對象，即完成中心點建立。代數(shù)式則以 M=midpoint點, 點或 M=m

9、idpoint線段s這樣的指令來建立。GeoGebra 使用入門2 .直線、線段、向量GeoGeb.使用入門各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）直線點選直線，以鼠標(biāo)點出兩點后建立。L=lineA,B線段點選線段，以鼠標(biāo)點出兩點 后建立，或點出起點，再指定長 度。a=segmentA,B射線點選射線，以鼠標(biāo)點出兩點。b=RayA,B起點 A通過 B點的射線。c=RayA,v起點A且方向為v向量方向射線。向量點選向量，以鼠標(biāo)點出已知兩 點，或一點及一向量。u=VectorE,F從點E到點F的向量。a=VectorA點A的位置向量（原點到A點的向量）輔助說明以

10、幾何操作方式建立直線，僅需先選擇工具按鈕中的直線（過兩點）版鈕，然 后直接在幾何顯示作圖區(qū)中之兩個適當(dāng)位置，分別按下鼠標(biāo)左鍵，即完成二個 新點及過此二點之直線?；蚩梢允髽?biāo)選取二個已知點后，建立通過此二點之直線。 而若以代數(shù)式建立，則鍵入 L=Line點對象1,點對象2這樣的指令，即完成一 個名為L且通過此二點對象之直線。以幾何操作方式建立線段，需先選擇工具按鈕中的線段（過兩點）按鈕，其余程序與直線之建立大致相同，差別只是結(jié)果顯示為一個以兩個點對象為端點之線段。以幾何操作方式建立射線，需先選擇工具按鈕中的 射線（過兩點）按鈕，其 余與直線之建立大致相同，差別只是結(jié)果顯示為一個以點對象1為起點，指

11、向 點對象2之射線?；蛘呖梢赃x擇一個點對象與一個向量對象，建立出射線對象。以幾何操作方式建立向量，需先選擇工具按鈕中的 向量（過兩點）按鈕，其余與直線之建立大致相同，差別只是結(jié)果顯示為一個以點對象1為起點，指向量或者可以只選擇一個點對象來建立出該點對象之之胃向量0GeoGebr使用入門3 .垂直線、并行線、角平分線、切線、軌跡垂直線、并行線范例圖GeoGebra 使用入門各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）垂直線點選垂直線，以鼠標(biāo)點出已 '知一點及一直線或向量后建立。L=PerpendicularC,a通過點C且垂直于a的直線。L=Perpend

12、icularC,u通過點C且垂直于向量u的直線。并行線點選并行線，以鼠標(biāo)點出已知 一點及一已知直線后建立。L=lineC,a通過C點且平行于a直線的直線。輔助說明以幾何操作方式建立垂直線，需先選擇工具按鈕中的垂直線按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，點選一直線及一點后，則建立通過此點且垂直于該直線 之 垂線?；蚩牲c選一直線及一向量后，則建立通過此點且垂直于該向量之垂 線。而 若以代數(shù)式建立，則鍵入 L=PerpendicularC,u , C為點對象，u為 直線對象向 量對象，這樣的指令，即完成一個名為L且通過C且垂直于u直線或向量對象之垂 線。以幾何操作方式建立并行線，需先選擇工具按鈕中的并行線按

13、鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，點選一直線及一點，建立通過此點且平行于該直線之平 行 線。而若以代數(shù)式建立，則鍵入L= Line點對象，直線對象這樣的指令，即完成一個彳為L且通過此點且平行于該直線之并行線。GeoGebJ使用入門中垂線、角平分線范例圖 各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）中垂線點選中垂線，以鼠標(biāo)點出已知兩 ,點，或一已知線段。L=LineBisectorA,B 線段AB的中垂線L=LineBisectors s線段的中垂線角平分線點選角平分線，以鼠標(biāo)點出已 知二點，或一直線。注意在點的選 取順序，是以肩向角的觀念，以逆 時針方向順序選取之。L

14、=AngularBisectorA,B,C以B為頂點的角ABC的角平分線 L=AngularBisectorg,h直線g和h的角平分線GeoGebra 使用入門輔助說明以幾何操作方式建立中垂線，需先選擇工具按鈕中的 中垂線按鈕，然后 在 幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知兩點，或一已知線段后，則建立通過此二 點之線段之中垂線，或已知線段之中垂線。而若以代數(shù)式建 立，則鍵入L=LineBisector點對象1,點對象2或L=LineBisector 線段對象 這樣的指令，即完成一個名為L且通過此二點或該線段之中垂線。以幾何操作方式建立角平分線，需先選擇工具按鈕中的 角平分線按鈕， 然后在幾何顯示作

15、圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知三點，或二直線。注意在點的選取順 序，是以有向角的觀念，以逆時針方向順序選取之后，則建立此三點所構(gòu)成角之 角平分線，或二直線所構(gòu)成角之角平分線。而若以代數(shù)式建立， 則鍵入L=AngularBisector點對象1,點對象2,點對象3這樣的指令，即完成一個 名為L且通過以此三點所構(gòu)成角且以點物件2為頂點之角平分 線?；蜴I入L=AngularBisector直線1,直線2這樣的指令，即完成一個名為 L且以二直線為邊之角平絲。GeoGeb.使用入門切線、軌跡范例圖 各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例(建立時最好包含自訂對象名稱)切線點選切線，以鼠標(biāo)點出一點 及

16、9;一已知函數(shù)。(函數(shù)做法見進(jìn)階 操作范例，或參看右方代數(shù)式說 明)f(x)在點A時的切線注總f為一函數(shù)，其中點A的x坐 標(biāo) 值當(dāng)然必須為f函數(shù)之定義域中 的元素。例如，可透過下列代數(shù)式建 立一函數(shù)，及此函數(shù)上某一點之切 線。f(x)=3xA2+1A=pointfGeoGebra 使用入門軌跡點選軌跡，以鼠標(biāo)點出一已知 點，及其相關(guān)點各一。這個功 能 在表面上，就是點選兩個點。 但 是要注意的是這二個點的關(guān)系為 何，可詳參右方的代數(shù)式說明。L=tangentA,fL_1=LocusB,A依據(jù)在某對象上之 一點A所控制的點B的軌跡線。 注意B應(yīng)定義為A的相關(guān)表達(dá)式， 且A應(yīng)為某對象上的一點。例如

17、，可透過下列一連串代數(shù)式，定 義出在A所在對象上方3單位的軌 跡圖形。f(x)=3xA2+1A=pointfB=A+(0,3)L_1=locusB,A即可做出L_1為f向上平移3單位的拋物線圖形。輔助說明以幾何操作方式建立切線，需先選擇工具按鈕中的 切線按鈕，然后在幾 何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出一點及一已知函數(shù) (函數(shù)做法見進(jìn)階操作范例，或參 看以 下說明)。注意f為一函數(shù)，其中點 A的x坐標(biāo)值當(dāng)然必須為f函數(shù)之定義域 中 的元素。例如，可透過下列代數(shù)式建立一函數(shù)，及在其上某一點之切線:f(x)=3xA2+1、A=pointf 、L=tangentA,f。則建立出函數(shù) f 在點 A 之切線L。

18、以幾何操作方式建立軌跡，需先選擇工具按鈕中的軌跡按鈕，然后在幾 何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出一已知點，及其相關(guān)點各一。這個功能在表面上，就是點選兩個點，但是要注意的是這二個點的關(guān)系為何。在代數(shù)式中下指令L_1=LocusB,A,意指依據(jù)在某對象上之一點A所控制的點 B的軌跡線。注意 B應(yīng)定義為A的相關(guān)表達(dá)式，且 A應(yīng)為某對象上的一點。例如，可透過下列一連串GeoGebra使用入門代數(shù)式,定義在A所在對象上方3單位的軌跡圖形,f(x)=3xA2+1、A=pointf、B=A+(0,3)、L_1=locusB,A,可做出L_1為f向上平移3單位的拋物線圖形(注:像L_1這樣的標(biāo)記，底線后的第一個字符

19、為下標(biāo))。4 .多功形、正多功形GeoGebra使用入門范例圖各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）多邊形點選多邊形，以鼠標(biāo)點出若干 點后建立。Poly1=PolygonA,B,C,由給定點A B C所圍成的多邊形GeoGebra 使用入門正多邊形點選正多邊形，以鼠標(biāo)點出 兩點及輸入一數(shù)值n后建立。Poly1=PolygonA,B,n,n =3包括點A B的正n邊形，注意用 此 方法建立時，若n值本身又是由 一滑桿，或其它對象控制之值，則各 邊及頂點是以動態(tài)出現(xiàn)的現(xiàn)象呈 現(xiàn)。輔助說明以幾何操作方式建立多邊形，需先選擇工具按鈕中的 多邊形或正多邊 形按鈕，然

20、后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知或?qū)崟r新建的若干點，最 后再點選回第一個點之后建立?；螯c選 正多邊形，以鼠標(biāo)點出已知兩點及輸 入一數(shù)值n后建立。注意此動作其實只是建立了此多邊形之各頂點，然后順便 建立了依附在這些點上的邊及整個多邊形的物件。5 .圓形、扇形、圓弧GeoGebra使用入門圓形范例圖各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）圓點選圓（），以鼠標(biāo)點出已i,知二點、或已知一點及輸入一數(shù) 值為半徑、或點出已知三點后建 立。1c=CircleM,r圓心M且半徑為r的圓。c=CircleM,s圓心M且半徑為s的長度的圓，其 中s為一已知線段。c=Circ

21、leM,A圓心M通過點A的圓。c=CircleA,B,C通過三點A、B C的圓。GeoGebra使用入門輔助說明以幾何操作方式建立圓，需先選擇工具按鈕中的圓（）按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知二點或?qū)崟r新建的二點，或是點出已知三點 及 或?qū)崟r新建的三點，或是點出已知一點及輸入一數(shù)值為半徑，皆可建立一 圓。相關(guān)的代數(shù)式為輸入 c=CircleM,r,則可建立圓心 M且半徑為r的圓， 其中r為一 已知數(shù)值。c=CircleM,s,可建立圓心 M且半徑為s的長度的 圓，其中s為一已 知線段。c=CircleM,A,可建立圓心 M且通過點 A的 圓。c=CircleA,B,C,則是可建立通

22、過三點 A B C的圓。扇形、圓弧范例圖GeoGebra使用入門各編輯區(qū)方法列表扇形點選扇形（），以鼠標(biāo)點出 三點（第一點為圓心）后建立，或 任意三點來建立一通過此三點的 扇形。點選圓?。ǎ允髽?biāo)點出 三點（第一點為圓心）后建立，或 任意三點來建立一通過此三點的 弧。c=CircularSectorM,A,B圓心為M起點為A、終點為B 的扇形，注意A、B兩點點選的順 序，是采用逆時針方向的有向角觀 c=CircularArcM,A,B圓心為M,起點為A、終點為B的 圓弧，注意A、B兩點點選的順 序，是采用逆時針方向的有向角觀 念。c=CircumcircularArcA,B,C 依序通過A

23、B C三點的圓弧。輔助說明以幾何操作方式建立扇形，需先選擇工具按鈕中的 扇形（）按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知一點為圓心及圓上兩個已知點或新建二 點，又或者是直接點出任意三點，皆可以建立一扇形。相關(guān)的代數(shù)式輸入為c=CircularSectorM,A,B,可建立圓心為 M,起點為 A ,終點為B的扇形，注意A B兩點點選的順序，是采用 逆時針方向的有向角觀念。弧的建立與扇形的建立方式大致相同，唯需注意通過三點A B、C的圓弧,三點的點選順序，是采用 逆時針方向的有向角觀念。GeoGebia使用入門6 .角、斜率GeoGebra使用入門范例圖各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建

24、立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）角點選測量角度，以鼠標(biāo)點出已 知 三點后建立。a =AngleA,B,C以B為頂點,線段BA和線段BC 為兩邊的夾角，注意 A、C 一點的 點選順序，是采用逆時針方向的有 向角觀念。斜率點選斜率，以鼠標(biāo)點出已知直m=slopeLGeoGeb.使用入門線后建立0而斜率，其雖然為一數(shù)值，但在 幾何區(qū)中會以一小直角三角形呈 現(xiàn)具意像。已知直線L之斜率。以幾何操作方式建立角，需先選擇工具按鈕中的測量角度按鈕，雖然其功能名為測量角度，但其為建立一角對象。然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo) 點 出已知一點或新建一點 A為起始點，及一已知點或新建點B為頂點，再點出已知一點或新

25、建一點 C為末端點，則可建立一角對象。注意通過A,B,C三點的角，三點的點選順序，是采用逆時針方向的有向角觀念。相關(guān)的代數(shù)式 輸入為c=AngleA,B,C,可建立起始點為 A,末端點為C,頂點為B的角。以幾何操作方式計算斜率，需先選擇工具按鈕中的斜率按鈕，以鼠標(biāo)點 出已知直線后建立。而斜率其雖然為一數(shù)值，但在幾何區(qū)中會以一小直角三角 形呈現(xiàn)其意像。若以代數(shù)式建立，則鍵入 m=slopeL,因其為一數(shù)值，終究不 是一個圖形，所以通常斜率數(shù)值在幾何區(qū)中建議隱藏其圖示。7 .對稱、平移、旋轉(zhuǎn)范例圖對稱各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）點對稱一點選點對稱，以

26、鼠標(biāo)點出已知- 點、或已知直線或已知多邊形， 及其對稱點后建立出該已知點、直 線或多邊形的點對稱圖形。C=MirrorA,B以B為對稱點，做出點A的對應(yīng)點CL=Mirrorg,B以B為對稱中心，作直線g之線對稱圖形LP=Mirrorp,B以B為對稱中心，將多邊形p作對稱線對稱同上，但對稱中心改為直線。同上，但對稱中心改為對稱軸。GeoGeb，使用入門輔助說明以幾何操作方式建立對稱對象，需先選擇工具按鈕中的線對稱或點對稱按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知點或已知直線或已知多邊 形，及其對稱軸（點）后建立出該已知點、直線或多邊形的線 （點）對稱圖形。相 關(guān)的代數(shù)式輸入為，對稱對象名稱A&

27、#39;=Mirror原對象A，線對象或點對象,可建立 以線對象或點對象為對稱中心，相對于原對象的新對稱對象。平移 范例 圖GeoGebra使用入門各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）平移點選平移，以鼠標(biāo)點出已知物 件，如點、線、多邊形等及一向 量后建乂 0A'= TranslateA,v 以向量v平移點Aa'=Translatea,v 以向量v平移直線apoly'= Translatepoly,v 以向量v平移多邊形poly以幾何操作方式建立平移對象，需先選擇工具按鈕中的平移按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知點或已知直

28、線或已知多邊形，及其平移向 量后，建立出該已知點、直線或多邊形的平移圖形。相關(guān)的代數(shù)式輸入為平移后對象名稱 A'= Translate 原對象A,向量v,可建立將原對象以向量 v為基準(zhǔn)，所 /立的新平移后對象GeoGeb.使用入門旋轉(zhuǎn)范例修GeoGeb使用入門GeoGebra使用入門各編輯區(qū)方法列表方法 物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）旋轉(zhuǎn)點選旋轉(zhuǎn)，以鼠標(biāo)點出已知 對象如點、線、多邊形等，再 點這旋轉(zhuǎn)中心，并輸入角度 建立旋轉(zhuǎn)后的對象。A'= rotateA,小，B以B為旋轉(zhuǎn)中心，將A旋轉(zhuǎn)角度小 a'= rotatea,小，B以B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段

29、a旋轉(zhuǎn)角度小 poly'= rotatepoly, 小，B以B為旋轉(zhuǎn)中心，將多邊形poly旋轉(zhuǎn) 角度小輔助說明以幾何操作方式建立旋轉(zhuǎn)對象，需先選擇工具按鈕中的 旋轉(zhuǎn)按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點出已知點或已知直線或已知多邊形，及其旋轉(zhuǎn) 中 心點，再輸入一旋轉(zhuǎn)角度后，建立出該已知點、直線或多邊形之旋轉(zhuǎn)后的圖 形。相關(guān)的代數(shù)式輸入為，旋轉(zhuǎn)后對象名稱A'= rotate 原對象A,旋轉(zhuǎn)角度小,旋轉(zhuǎn)中 心點B,可建立將原對象以旋轉(zhuǎn)中心點B為基準(zhǔn)，旋轉(zhuǎn)小角度后，所建立之新吃 旋轉(zhuǎn)后對象。注意其旋轉(zhuǎn)角度是以 逆時針有向角度量的。8 .數(shù)值滑桿、文字GeoGebra 使用入門范例圖

30、各編輯區(qū)方法列表方法幾何建立代數(shù)建立范例數(shù)值滑桿、.點速數(shù)值滑桿，設(shè)定起始值、終值及增量后建乂 0無法由代數(shù)式建立。文字點選插入文字，輸入 文字后建立。點選插入文字后會出現(xiàn)一文字編輯視 窗,在其中可運用各式的代數(shù)對象,及以 類程序語法組成一文字字符電并可選擇是 否拾配Latex 表小式來呈現(xiàn)。啟美Latex 表示式可參閱教學(xué)網(wǎng)頁。網(wǎng)址為/tex/latex123/latex123.htmlGeoGeb,使用入門輸入可能的輸出結(jié)果“第一句，這是靜態(tài)文字"這是靜態(tài)文字"第二句，參用A點坐標(biāo) ="+ AA 點坐標(biāo)=(3.05

31、, 2.54 )"第三句，參用線段 a = " + a + "線段 a = 5.87 cmcm."若全句皆沒有雙引號，則全句以純字符串視之2.與雙引號一起運用時，可加入如ifexpression," 文字A","文字B"這樣的式子，增加其動態(tài)顯示的效果，且字符串的連接以加號申接之。3在文字輸入窗 口 中，要使用Latex 表示式，要點選Latex 勾GeoGebra 使用入門輔助說明以幾何操作方式建立數(shù)值滑桿對象，需先選擇工具按鈕中的 數(shù)值滑桿按 鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中任意位置點擊后，會出現(xiàn)一數(shù)值滑桿設(shè)定窗口，

32、 其 中要填入者，有起始值、終值、增量及數(shù)值角度選擇鈕。其余屬性如大小顏色 等，可隨個人喜好設(shè)定，填妥后按確定，即建立一數(shù)值滑桿對象。此對象目前 無法由 代數(shù)式建立。注意數(shù)值滑桿內(nèi)之起始值、終值、增量等，皆無法以變量 設(shè)定，須 以明確的數(shù)字設(shè)定之。這通常是給使用者控制各項數(shù)值大小的工具， 以便能做出 各種動態(tài)呈現(xiàn)的圖形。以幾何操作方式建立文字對象，需先選擇工具按鈕中的 文字按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中任意位置點擊后，會出現(xiàn)一文字編輯窗口，在其中可運用 各 式的代數(shù)式對象，及類程序語法組成一文字字符串，并可選擇是否搭配 Latex表示式來呈現(xiàn)（有關(guān)Latex表示式請參閱相關(guān)教學(xué)網(wǎng)頁）。注意，若

33、全句皆 沒有雙引號， 則視為純字符串。若與雙引號一起運用時，可加入如 ifexpression," 文字 A","文字B",這樣的式子，增加其動態(tài)顯示的效果，且字符串的連接須以加號用按。 在文字輸入窗口中，要使用 Latex表小式，記得一定要點選 Latex勾選 框，系統(tǒng) 才會將字符串轉(zhuǎn)譯成正確的數(shù)學(xué)式，以增加可讀性，這對閱讀者來 說，是一方便的界面。GeoGeb使用入門9 .對象的屬性設(shè)定對于任何一個對象，都有其相對應(yīng)的屬性。這些屬性大致包含有以下四類:1 . 一般：包含對象名稱、對象的代數(shù)式定義、顯示與否、名稱或數(shù)值的顯示方式、 是否設(shè)定為輔助對象等

34、。其中名稱、代數(shù)式定義這二項在造出對象時，大概 就已經(jīng)被使用者所指定好。例如圓c=circle（A,2），其中c就是這個圓的名稱, circle（A,2） 是這個圓c的定義。其余關(guān)于顯示與否、名稱或數(shù)值的顯示方式、 是否設(shè)定為輔助對象等，則可隨使用者設(shè)定勾選。（如下圖一）2 .顏色：顧名思義，此即為對象顏色的設(shè)定。（如下圖二）3 .樣式：包含線寬等級及填色的比例設(shè)定。（如下圖三）4 .進(jìn)階：通常是伴隨一個布爾變量或布爾表達(dá)式，去設(shè)定此對象要顯示與否的條 件，若此條件被設(shè)定，則在前面一般設(shè)定中顯示對象與否的勾選框便自動失 效。另外有隨著不同對象會出現(xiàn)的不同屬性，如代數(shù)式顯示方式、數(shù)值滑桿 設(shè)定、

35、文字字號等，使用者可逐一實驗。（如下圖四）圖一圖二圖三圖四進(jìn)階操作范例1 .直線方程式、函數(shù)有些對象，無法由幾何編輯接口建立，這時以代數(shù)式直接在 GeoGebra下方輸 入列中建立，是一個很方便的方法。例如指定系數(shù)的直線方程式、或一些自訂 函 數(shù)，如L:2x-5y=-2 ,其中L為此直線方程式的名稱，注意以冒號區(qū)隔式 子。其中系數(shù)與代數(shù)項x或y之間，須填入一空格，以代表不同的對象相 乘，若沒有以空 格隔開，系統(tǒng)會將其錯認(rèn)為另一代數(shù)變量對象。函數(shù)的建立，通常遵循一般常用的表示法，例如可在代數(shù)輸入列中 鍵入f(x)=xA2+3x-1 ,其為一個二次拋物線函數(shù)，建立完成后，系統(tǒng)便直接將此 函數(shù)在 幾

36、何區(qū)中繪出。其中a為次方的連接符號，例如在本例中，xA2就代表x 的2次方。GeoGebll使用入門2 .動態(tài)文字處理、代數(shù)式定義處理：if語法的應(yīng)用范例：四邊形的種類在文字的呈現(xiàn)處理中，可以搭配一些控制語法如if敘述，來強化其動態(tài)顯示 的效果，例如在上例中，除了點 A為唯一自由點以外，其余三個頂點分別以 z 數(shù) 值滑桿來決定四邊形的長寬，用 a角度數(shù)值滑桿來決定 A點傾斜的角度。 其定義語法如下B=Ifz <3.5, (x(A) + z cos( a), y(A) +zsin( a), (x(A) +3.5 cos( a), y(A) +3.5 sin( a) 表示點B位置為距A點z單

37、位，且傾斜a角度的上方位置。當(dāng)z值小于3.5時，AB長度隨z值大小改變，若z值大于3.5,則AB長度停 留在3.5 ,不隨z值大小而改變。C=Ifz <6, (x(B) +z, y(B), (x(B) + 6, y(B)表示點C位置為距B點z單位的右方位置。當(dāng)z值小于6時，BC長度隨z值大小改變，若z值大于6,則AB長度停留 在6,不隨z值大小而改變。D=(x(A) +z, y(A)表示 D 點在點 A 的右邊 z 單位遠(yuǎn)°這樣的設(shè)定，可以讓二個數(shù)值滑桿就變化出正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形等不同的四邊形類型。而在文字說明的呈現(xiàn)上，若搭配 if布爾值，真 值的字符串，偽

38、值時的字符串的語法，可顯示出相對應(yīng)的四邊形類型名稱。其中上圖紅框中的語法為”目前這個四邊形是一個" +（If a? 90° , Ifz <3.5,"正四邊形（即正方形）", Ifz > 6,"梯形"，"矩形（即長方形）",Ifz < 3.5,"菱形"，Ifz < 6,"平行四邊形"，"梯形""）+ ""GeoGeb.使用入門3 .參數(shù)曲面(Curve)這個范例是另一個比較簡單的連續(xù)參數(shù)曲面，在上圖中，我

39、們用了二個數(shù)值 滑桿r、t,及一個角度數(shù)值滑桿8、分別控制這個圓的半徑，及畫出多少角度的 弧，t滑桿則是為了突顯參數(shù)曲面的函數(shù)性格。即當(dāng)作是L參數(shù)區(qū)面中的定義 域的角度值，以計算出相對應(yīng)的點坐標(biāo)對象值，在本例中，A=L(t),會隨t值變化計 算出在圓上的一個點坐標(biāo)。其中紅色的參數(shù)區(qū)面(圓弧)定義為：L=Curver cos(t), r sin(t), t, 0,0 表示L為由半徑為r,且角度為t的極坐標(biāo)點(r,t)所構(gòu)成的無限點集合。其中t是由0到9的動態(tài)變量值。此圖形可隨著不同的終值9 ( 0< 9 <2pi)之變化，繪出不同大小的圓如GeoGebra使用入門4 .序列物件(Se

40、quence)范例 - 多邊形內(nèi)角和公式序列對象，對繪制離散形集合對象，是一個好用的代數(shù)定義方法。圖中以正 多邊形為講解范例，意圖將正多邊形內(nèi)角和公式，用內(nèi)部三角形切割方式拼湊 出 來，圖中我們用了二個數(shù)值滑桿 r、n,分別去控制這個正多邊形半徑的大 小，及 正多邊形的邊數(shù)。一組控制觀察角度的旋轉(zhuǎn)對象、三個序列對象：n個頂點、n條邊、n 3條切割線，及一組靜態(tài)文字，一組動態(tài)文字，除靜態(tài)文字較 簡單外，其余對象之定義方法分別說明如下：GeoGeb.使用入門一、n數(shù)值滑桿為了方便學(xué)生觀察各種多邊形的內(nèi)角切割情形，可定義一個名為n的數(shù)值滑桿，以控制多邊形邊數(shù)。二、r數(shù)值滑桿 為了視覺效果是否清晰與觀

41、察單純化的考慮，我們用正多邊形為觀察對象。定義一個名為r之?dāng)?shù)值滑桿，控制這個正多邊形中心到頂點的長度，亦即此正多邊形外接圓的半徑。三、一組旋轉(zhuǎn)控制對象是為了要能從各種角度觀察出此正多邊形切割后的情形，所設(shè)計的一組對象。3.1 一個基于圓心 B,半彳全為1的應(yīng)變控制圓 c=circleB,1,其中B為一自變點對象。3.2 一個在圓c上，圓心 B的x坐標(biāo)加一單位的觀察角度基準(zhǔn)點，應(yīng)變對象 C= B+ (1,0)。3.3 在圓c上建立一自由點D=pointc。雖然他被限制在圓c的圓周上游移，但其值并未被限制死，仍應(yīng)視為一依附于圓c的自變對象。3.4 建立一個應(yīng)變角度對象a =AngleC,B,D,以

42、B為頂點，由基準(zhǔn)點 C轉(zhuǎn)到D的有向角。四、建立此正多邊形的動態(tài)切割圖4.1 一個自變自由點對象O,當(dāng)作此正多邊形的中心。4.2 一組基于點 O半徑r、觀察角度 a,所動態(tài)產(chǎn)生的 n個應(yīng)變頂點對象，可用序列集合對象，命名為 Pset,定義為 SequenceO+(rcos( a+(i-1)360 ° /n),r sin( a+(i-1)360 °/n),i,1,n由于這部分比較復(fù)雜，說明如下：我們希望建立的n數(shù)值滑桿在變動時，頂點數(shù)及相關(guān)位置也會跟著變動。例如當(dāng)n變成5,則圖形就出現(xiàn)正五邊形的五個頂點，可以讓我們藉此做出正五邊形及切割線。而這五 個頂點我們將它視為一個對象。如

43、此設(shè)計，使得不管n值滑到多少，這 n個頂點都只算是一個對象，這樣就可以很方便的控制它。而要達(dá)成這個目的，可以使用 sequence。它包含 4或5個參數(shù)，一是對象代數(shù)式 定義，二是變動指標(biāo)，三是起始值，四是終值，五是增量，若 是第五個參數(shù)沒寫，則內(nèi)定為 1。GeoGebra 使用入門例如：sequence(i,i+1),i,1,5,這個指令可以造出一個包含5 個點的集合對(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)如上頁圖中的點。若將第一個參數(shù)改成線段對象，則會造出一個包含5條線段的集合，指令可改成sequencesegment(i,i),(i,i+1),i,1,5,如上頁圖中的線段。在

44、本文中，第一個參數(shù)是點的代數(shù)定義式，其中 x坐標(biāo)為rcos( a +(i-1)360 ° /n) , y坐標(biāo)為r sin( a +(i-1)360 ° /n)。將這二個式子用小括號包起來，則形成一個點。再加上原點O,表示以 。為圓心，r為半徑，a 為起始的有向角度，依序每隔360° /n ,在這個沒顯 示出來的圓上，所畫出的n個頂點。4.3 切割線頂點 A= ElementPset,1,表示 Pset集合對象中的第一個元素。Element 是擷取sequence集合對象中某個元素的指令。4.4 正多邊形的各邊對象命名為slideset ,定義如下：Sequence

45、SegmentElementPset,Modi-1,n+1,ElementPset,Modi,n+1,i,1,n,表示依Pset集合對象中的點元素順序，所依序畫出正多邊形的n個邊。其中Modi,n,表示i除以n之后的余數(shù)。這樣可以讓我回抓一整圈的頂點，以便造出所 有的邊。4.5 基于切割頂點 A的切割線，命名為 Crosslide 的對象，定義如下：SequenceSegmentA, ElementPset,i+2,i,1,n-3 ,表示以 A 為頂點，依序畫出n-3條從A點到除了自己及其相鄰頂點之外的各頂點聯(lián)機(jī)段之切割線集合對象。五、動態(tài)說明文字由于參用到 n數(shù)值滑桿，所以此段說明文字，也屬

46、于應(yīng)變對象。其中的 +號，是代表將前后字符串，串在一起的連接指令。呈現(xiàn)如下：+ 以A為頂點，連到除自己及相鄰兩頂點以外的"+(n - 3)+"個頂點”+ "將此多邊形切成"+(n- 2)+"個三角形"+ "可得此正"+ n + "邊形內(nèi)角和為 180° x (n 2)="+180+ "X"+(n -2)+"="+(180(n- 2)+"°"六、對象屬性甲察為準(zhǔn)叫，調(diào)蹩各對象國性，如豆亍與否.少色.大小等，以利叫察與操

47、作。GeoGeb，使用入門5.自訂工具列管理當(dāng)使用者設(shè)計了一個對象時，一般來說，可將此對象的成份，分析歸類成自 變對象及應(yīng)變對象，以及一些中間過程參用到的輔助對象，這些輔助對象其本 質(zhì) 也大概都是應(yīng)變對象。若此時使用者認(rèn)為設(shè)計出的對象具有常用的價值，就 可以 將他包裝成一個新工具。爾后再次使用到時，就會非常方便，不用再重新 設(shè)計。本單元以繪制等腰直角三角形為例說明之。首先還是依照一般方式將等腰直 角三角形先造出來，其代數(shù)定義式 程序如下：1. A=(2,3)2. k=53. B=A+(k,0)4. C=B+(0,k)5. poly_1=PolygonA,B,C圖(一)此時會在幾何區(qū)造出一個等腰

48、直角三角形，也會同時造出此三角形三邊所成 的三條線段a、b、c。仔細(xì)分析此三角形，可看出真正的自變對象為點A數(shù)值k。而最后造出的對象為三角形poly_1 ,其余中間過程的應(yīng)變對象有點R C,三角形的三邊a、b、c也可視為是中間過程的應(yīng)變對象。接下來可點選菜單列 的工 具，新工具后，出現(xiàn)新工具編輯窗口如圖(一)。GeoGebra使用入門此時需要設(shè)定三個部分，說明如下：1 .輸出對象:在下拉式選單中選取三 角形polyl:多邊形A,B,C2 .點選輸入對象，會自動出現(xiàn)此三角 形所對應(yīng)的輸入對象，即其自變物件，如圖（二），此時選取點A,并將之往上移，以控制新工具自變物件的輸入順序。圖（二）3 .在名

49、稱與圖標(biāo)的卷標(biāo)頁中，須設(shè)定工具名稱，指令名稱，與工具說明 三項。其中工具名稱為顯示在功能表列上的文字，指令名稱則為代數(shù)式的定義字符，工具說明則與工具 名稱一起出現(xiàn)在菜單列上，是一個提示使用者如何操作的功能說明，如圖（三八圖（二）以上三部份皆設(shè)定完成后，按下完成，則在功能按鈕列的最右一格會出現(xiàn)此 等腰三角形的功能鈕。使用者可以按此方式在一個檔案中，造出多個工具。之 后 也可以在菜單列中的工具、工具管理中編輯各自訂工具的名稱指令 與說明。接下來便可以一般幾何方式，或代數(shù)方式直接運用此工具。例 如輸入DDR=S1G,5,則會造出一名為 DDR且以點G為左下角頂點，腰長為 5的等腰直角三角形。注意以此

50、方法所造出的工具,只能隨原檔案一同存盤，若想在別的GeoGebra 檔案中使用此工具，必須將原檔另存成附檔名為ggt的檔案，然后在想?yún)⒂么斯?具的ggb檔中開啟此ggt檔，這個開檔動作并不會影響此ggb檔的內(nèi)容，但是乞 在功能按鈕中出現(xiàn)匯入的新工具按鈕。GeoGeb.使用入門附錄：以代數(shù)式建立對象之指令速查表類別物件代數(shù)式范例簡易說明數(shù)值數(shù)a=5指定a變數(shù)值為5點自由點A=(3,2)在坐標(biāo)平向上建立點A(3,2)交點A=Intersecta,b直線a、b的交點A中點C=MidpointA, B點A、B之中點CC=Midpoints線段s之中點C線直線L=lineA,B通過A、B兩點的直線線段a=segmentA,B通過A、B兩點的線段射線a=RayA,B從點A通過點B的射線a向量u=VectorA,B從點A通過點B的向量uu=VectorA從原點通過點A的向量u射線a=RayA, u從點A且方向為向量u的射線垂直線PerpendicularC,a趣過點C且垂直于線a的直線PerpendicularC,u通過點C且垂直于向量u的直并行線L=lineC,a過C點且平