高中數(shù)學(xué)解題的思維模式和策略

1、高中數(shù)學(xué)解題八種思維模式和十種思維策略引言“數(shù)學(xué)是思維的體操”“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)(思維 活動的教學(xué)。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該看成是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程以及數(shù)學(xué)思維結(jié)果這二者的綜合，因而可以說數(shù)學(xué)思維是動的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)知識本身是靜的數(shù)學(xué)，這二者是辯證的統(tǒng)一。作為思維載體的數(shù)學(xué)語言簡練準(zhǔn)確和數(shù)學(xué)形式具有符號化、抽象化、結(jié)構(gòu)化傾向。高中數(shù)學(xué)思維中的重要向題它可以包括:高中數(shù)學(xué)思維的基本形式高中數(shù)學(xué)思維的一般方法高中數(shù)學(xué)中的重要思維模式高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)思維策略高中數(shù)學(xué)非邏輯思維(包括形象思維、直覺思維 問題研究;高中數(shù)學(xué)思維的指向性(如定 向思維、逆向思維、集中思維和發(fā)散思維等 研究;高中數(shù)學(xué)思維能力評估：廣闊

2、性、深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、 創(chuàng)造性高中數(shù)學(xué)思維的基本形式從思維科學(xué)的角度分析，作為理性認(rèn)識的人的個體思維題可以分成三種：邏輯思維、形象思維、直覺思維一數(shù)學(xué)邏輯思維的基本形式1、概念是邏輯思維的最基本的思維形式，數(shù)學(xué)概念間的邏輯關(guān)系，a同一關(guān)系b 從屬關(guān)系c 交叉關(guān)系以及d 對立關(guān)系e 矛盾關(guān)系 2、判斷是邏輯思維在概念基礎(chǔ)上的發(fā)展， 它表現(xiàn)為對概念的性質(zhì)或關(guān)系有所肯定或否定，是認(rèn)識概念間聯(lián)系的思維形式。 3、推理是從一個或幾個已知判斷推出另一個新判斷的思維形式，是對判斷間的邏輯關(guān)系的認(rèn)識。二數(shù)學(xué)形象思維的基本形式 1圖形表象是與外部幾何圖形的形狀相一致的腦中示意圖，2圖式表象是與外部

3、數(shù)學(xué)式子的結(jié)初關(guān)系相一致的模式形象。 3形象識別直感是用數(shù)學(xué)表象這個類象（普遍形象）的特征去比較數(shù)學(xué)對象的個象，根據(jù)形象特征整合的相似性來判別個象是否與類象同質(zhì)的思維形式。4模式補形直感是利用主體已在頭腦中建構(gòu)的數(shù)學(xué)表象模式 ，對具有部分特征相同的數(shù)學(xué)對象進行表象補形，實施整合的思維形式。5形象相似直感是以形象識別直感和模式補形直感為基礎(chǔ)基礎(chǔ)的復(fù)合直感。6 象質(zhì)轉(zhuǎn)換直感是利用數(shù)學(xué)表象的變化或差異來判別數(shù)學(xué)在對象的質(zhì)變或質(zhì)異的形象特征判斷。7圖形想象是以空間形象直感為基礎(chǔ)的對數(shù)學(xué)圖形表象的加工與改造。8圖式想象是以數(shù)學(xué)直感為基礎(chǔ)的對數(shù)學(xué)圖式表象的加工與改造。9關(guān)于聯(lián)想和猜想，它們既是數(shù)學(xué)形象思維

4、中想象推理不同表現(xiàn)形式，也是數(shù)學(xué)形象思維的重要方法。三數(shù)學(xué)直覺思維的基本形式 1、直覺是運用有關(guān)知識組塊和形象直感對當(dāng)前問題進敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決向題的方向或途徑的思維形式。 2。靈感（或頓悟）是直覺思維的另一種形式。直覺思維是一種敏銳、 快速的綜合思維，既需要知識組塊和邏輯推理的支持，也需形象、經(jīng)驗和似真推理的推動。意識又可分為顯意識與潛意識。直感是顯意識，而靈感是潛意識。思維的基本規(guī)律一反映同一律：等值變形，等價變換二思維相似律：同中辨異，異中求同數(shù)學(xué)思維的特性一數(shù)學(xué)思維的概括性 數(shù)學(xué)思維能揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系這些本質(zhì)特征和規(guī)律，能夠把握一類事物共有的數(shù)學(xué)屬性

5、。數(shù)學(xué)思維的概括性與數(shù)學(xué)知識的抽象性是互為表里、互為因果的。二數(shù)學(xué)思維的問題性 數(shù)學(xué)思維的問題性是與數(shù)學(xué)知識的問題性相聯(lián)結(jié)的，定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的隊任何一個都不是數(shù)學(xué)的心臟，只有問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)解題的思維過程是數(shù)學(xué)問題的變換過程，數(shù)學(xué)問題的推廣、引申和應(yīng)用過程，是新的數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，也是數(shù)學(xué)思維的深化過程和數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程。三數(shù)學(xué)思維的相似性 數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似律在數(shù)學(xué)思維活動中的反映。解決數(shù)學(xué)問題的根本思想在于尋求客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的樣式， 從已解決的問題中概括出思維模式，再用模式去處理類似問題。 并進而形成新模式，構(gòu)成相似系列，即各種

6、概念、命題與方法的相似鏈。數(shù)學(xué)思維的材料與結(jié)果數(shù)學(xué)思維的材料就有外部材料與內(nèi)部材料的區(qū)分外部材料是指數(shù)學(xué)思維的對象，即現(xiàn)實世界中存在的數(shù)量關(guān)系、空間 形式以及由此引申發(fā)展的各種結(jié)構(gòu)關(guān)系。例如各種具體的思維目標(biāo)：數(shù)學(xué)的概念、命題、定理、公式、法則，數(shù)學(xué)問題初始狀態(tài)中的圖形、符號和語言文字等。內(nèi)部材料是指思維主體已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗，是儲存于人腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息塊。其中數(shù)學(xué)知識信息塊由一些明晰的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系結(jié)構(gòu)組成，而數(shù)學(xué)經(jīng)驗信息塊是一種帶有模糊性質(zhì)的思維“相似塊”。數(shù)學(xué)思維能力的評價標(biāo)準(zhǔn)廣闊性：發(fā)散思維深刻性：收斂思維集中思維和分析思維靈活性：辨證思維，進退互用，正難則反，倒順相通敏捷性：直

7、覺思維，轉(zhuǎn)化化歸，識別模式，反應(yīng)速度，熟練程度獨創(chuàng)性：創(chuàng)新思維直覺思維和發(fā)散思維中，解題方法新穎獨特。批判性：獨立思考，善于提問，總結(jié)回顧，調(diào)控思維進程等六個方面，是高中數(shù)學(xué)思維能力的評價標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)思維的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的三個方面包含的主要內(nèi)容是：數(shù)學(xué)關(guān)系數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)語言等；心理關(guān)系動機與意志，情感、情境與興趣，性格與態(tài)度，精神與作風(fēng)等；社會條件一社會與時代的政治、經(jīng)濟、文化背景與主體的關(guān)系及其影響。高中數(shù)學(xué)思維的一般方法(一 觀察與實驗(二 比較、分類與系統(tǒng)化(三 歸納、演繹與數(shù)學(xué)歸納法(四 分析與綜合(五 抽象與概括(六 一般化與特殊化(七 模型化與具體化(八 類比與映射(九

8、 聯(lián)想與猜想高中數(shù)學(xué)中的重要思維模式一逼近模式 把問題歸結(jié)為條件與結(jié)論之間因果關(guān)系的演繹；選擇適當(dāng)?shù)姆较蛑鸩奖平繕?biāo)。正向逼近一順推演繹法、逆向逼近一逆求分析法、雙向逼近一分析綜合法或兩頭夾法、反面逼近-反證法、模糊逼近一嘗試探索法、近似逼近一極限法等。二疊加模式 采用化整為零、以分求合的思想對問題進行橫向分解或縱向分層實施各個擊破而使問題獲解的思維方式。其思維程序是：（1）把問題歸結(jié)為若干種并列情形的總和或者播入有關(guān)的環(huán)節(jié)構(gòu)成一組小問題；（2）處理各種特殊情形或解決各個小問題，將它們適當(dāng)組合 、疊加而得到問題的一般解。爬坡法、邏輯劃分法（分類、分域進行討論和枚舉、窮舉都是它的別稱）、 中途點

9、法、 輔助定理法等都是此類， 容斥原理、抽屜原理與重疊原則，以及負(fù)向的疊加可稱為疊減，在某種程度上也 體現(xiàn)了登加模式的思想。三變換模式 變換模式是通過適當(dāng)變更問題的表達形式使其由難化易、由繁化簡，從而最終達到解決問題的思維方式。其思維程序是： （1）選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q，等價的或不等價的（加上約束條件）， 以改變問題的表達形式， （2）連續(xù)進行有關(guān)變換，注意整個過程的可控制性和變換的技巧，直至達到目標(biāo)狀態(tài)。所謂等價變換，是指把原問題變更為新問題，使兩者的答案完全相同。不等價變換則指新問題擴大或縮小了原問題的允許值范圍。包括代數(shù)變換代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)換元法、方程與不等式的同解變換與可控制變換等；三

10、角變換三角式的恒等變形、三角換元法、萬能變換等，幾何變換合同變換（即平移、對稱與旋轉(zhuǎn)）、相似變換（包括位似變換）、反演變換等。四映射模式 映射模式是把問題從本領(lǐng)域（或關(guān)系系統(tǒng)）映射到另一領(lǐng)域，在另一領(lǐng)域中獲解后再反演回原領(lǐng)域使問題解決的思維模式， 它與變換模式在本質(zhì)上是一致的，但變換通常是指從一個數(shù)學(xué)集合到它自身的映射。幾何法：把數(shù)、式的問題歸結(jié)為形的問題加以解決；解析法：把幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題加以解決； 復(fù)數(shù)法與向量法一把幾何或代數(shù)、三角問題歸結(jié)為復(fù)數(shù)或向量向題加以解決； 模擬法：把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為物理問題或其他學(xué)科問題加以解決，其他如極坐標(biāo)法、參數(shù)法等也屬于映射模式的范圍。五方程模式 方程

11、模式（又稱函數(shù)模式）是通過列方程（或方程組）與解方程（或方程組）來確定數(shù)學(xué)關(guān)系或解決問題的思維方式。方程模式是反映客觀事物數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型，它是溝通已知元素與未知元素之間的辯證聯(lián)系的一種基本方法。 其思維程序是： （1）把問題歸結(jié)為確定一個或幾個未知量； （2）列出已知量與未知量之間按照條件必須成立的所有關(guān)系式（即方程）；（3）解所得的方程或方程組得出結(jié)果。方程模式的思想通常適用于解決有關(guān)方程、函數(shù)與不等式等方面的許多問題，這是因為這三種數(shù)學(xué)對象之間存在某種相似和性，在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化、相互為用的。六交軌模式 交軌模式是通過分離問題的條件以形成滿足每個條件的未 知元素的軌跡（

12、或集合），再通過疊加來確定未知元素而使向題解決的思維方式。交軌是一種特殊的疊加，通常的疊加是求出集合才的并，而交軌的疊加是求出集合的交。交軌模式與方程模式也具有部分相通的關(guān)系，方程組與不等式組等內(nèi)容既可以用交軌觀點去看待，也可以用方程觀點去分析，它們之間的區(qū)別僅是觀察問題時所強調(diào)的側(cè)重面的不同。交軌模式下的具體模式主要有：1、軌跡相交法：它包括雙軌跡模式、相似形模式、輔助圖形模式及三軌跡模式等。雙軌跡模式是：“把問題簡化為作一個點。然后把條件分為兩體部分，使每一部分變成未知點的一條軌跡；而每一條軌跡必須是 一條直線或者是一個圓”。2、交集法一把向題的解歸結(jié)成由幾個條件所決定，每一個條件都可以確

13、定出某種元素的一個集合，這些集合的交集元素就是所求的解。七退化模式 退化模式是運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的思想，將問題按適當(dāng)方向后退到能看清關(guān)系或悟出解法的地步，再以退求進來達到問題結(jié)論的思維方式。其思維程序是： （1）將問題從整體或局部上后退，化為較易解決的簡化問題、類比問題或特殊情形、極端情形等，而保持轉(zhuǎn)化回原問題的聯(lián)系通途； 2用解決退化問題或情形的思想方法，經(jīng)過適立當(dāng)變換以解決原問題。如 降維法：從高維向低維后退。包括數(shù)據(jù)、數(shù)量的簡化： 空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，方程同題的消元、降次，行列式的降階、 去邊等。 類比法：聯(lián)想形式類似的熟悉問題與原問題作性質(zhì)或解法的 比較對照，從中悟出相似性聯(lián)系以達到轉(zhuǎn)化

14、。 特殊化方法：從一般向特殊后退。即從問題的特殊情形或個別情況入手，觀察性質(zhì)或方法的變化規(guī)律，得出正確的解題途徑。 極端化方法：將問題退到極端情形，即考察極端元素耳或臨界位置，往往能找到對解決問題有用的奠基因素以實現(xiàn)解題方法的過渡。八遞歸模式 遞歸模式是通過確立序列的相鄰各項之間的一般關(guān)系以及初始值來確定通項或整個序列的思維方式。它適用于定義在自然 數(shù)集上的一類函數(shù)，是解決數(shù)學(xué)向題的一種重要邏輯模式，在計 算機科學(xué)中有著重要的應(yīng)用。其思維程序是： （1）得出序列的第一項或前幾項； （2）找到一個或幾個關(guān)系式，使序列的一般項和它相鄰的前 若干項聯(lián)系起來； （3）利用上面得到的關(guān)系式或通過變換求出

15、更為基本的關(guān)系式（如等差、等比關(guān)系等），遞推地求出序列的一般項或所有項。一般地，在遞推關(guān)系轉(zhuǎn)換成基本關(guān)系時，用迭代方法就能消去全部中間項而得到序列的通項公式。高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)思維策略(一 以簡馭繁。數(shù)學(xué)知識的發(fā)展是由簡單到復(fù)雜，繁衍發(fā)展以至推演成為各門數(shù)學(xué)學(xué)科的。解題時的思維反應(yīng)主要是學(xué)會濃縮觀察數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)，從總體的粗線條上把握題目的數(shù)學(xué)圖式 ；或者將題中有關(guān)的概念或方法轉(zhuǎn)化為較簡的情形入手解決。數(shù)學(xué)中的換元法、代換法、變換法、遞推法、母函數(shù)法及解方程中的消元、降次方法等就是體現(xiàn)這個策略的解題方法(二 進退互用。先足夠地退到我們所容易看清楚 的地方，認(rèn)透了鉆深了，然后再上去（華羅庚語）

16、。主要方式有：從一般向特殊后退；從抽象向具體后退，從高維向低維后退和從較強命題向較弱命題后退。 數(shù)學(xué)歸納法、經(jīng)驗歸納法、類比法、遞推法、降維法、放縮法等數(shù)學(xué)方法或解題方法就是進退互用的辯證思維在具體方法中的 一些總結(jié)。(三 數(shù)形遷移。在解決數(shù)學(xué)問題時，若把一個命題的條件或結(jié)論給出的數(shù)量關(guān)系式稱為式結(jié)構(gòu)，而把它在幾何形態(tài)上的表現(xiàn)（圖像或圖形等）稱為形結(jié)構(gòu)， 數(shù)（或式）和形之間的相互遷移、轉(zhuǎn)化的表現(xiàn)形態(tài)主要有：A 、 由形結(jié)構(gòu)遷移至式結(jié)構(gòu)，解析幾何是體現(xiàn)這種研究的典范。B 、由式結(jié)構(gòu)遷移至形結(jié)構(gòu)，這就是通常所說的數(shù)形聯(lián)想或幾何方法，可使求解過程顯得簡潔直觀。 C 、式結(jié)構(gòu)或部分式結(jié)構(gòu)之間的遷移，這

17、是等價的式結(jié)構(gòu)間的相互轉(zhuǎn)換，常能發(fā)現(xiàn)隱含條件和認(rèn)識各種變式間的本質(zhì)聯(lián)系與統(tǒng)一性，或者通過局部類比或相似聯(lián)想的誘發(fā)解題線索以解決問題。D 、形結(jié)構(gòu)或部分形結(jié)構(gòu)之間的遷移，幾何變換就是利用了某種不變性來實現(xiàn)形與形之間的溝通。如類比接法、關(guān)系映射反演原則、模擬法、坐標(biāo)法、交集法、抽屜原則、幾何變換法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法和解題方法均在一定意義上屬于這個思想范疇。(四 化生為熟。人們認(rèn)識事物的過程是一個漸進的逐步深化的過程，往往會呈現(xiàn)相對的階段性 ，在數(shù)學(xué)中就是所研究的問題總會有較為熟悉和比較生疏之分。 這樣，在認(rèn)識一個新事物或解決一個新問題時，往往會用已認(rèn)識的事物性質(zhì)和問題特征去比較對照新事

18、物和新問題，設(shè)法將新問題的分析研究納入到已有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)或模式中來?；鸀槭斓哪康氖怯鲂滤缄悾脐惓鲂?，起到用同求異，化難 為易的作用。數(shù)學(xué)解題方法中的變更問題法或化歸法、模式法、放縮法、構(gòu)造法、類比法等都含有化生為熟的指導(dǎo)思想。(五 正難則反。解決數(shù)學(xué)間題時，一般總是先從正面入手按照習(xí)慣的思維途徑去進行思考，這就是正向思維。如果這種思維方式對于特定的數(shù)學(xué)問題形成了一種較為強烈的意識，則就是一 種定向思維。人們常常借助于一些具體的模式和方法先加強這種思維定勢，而使許多數(shù)學(xué)問題得到解決。 但是往往也會遇到從正面入手較繁或較難的情況，或出現(xiàn)一題些邏輯上的困境。這時，就要從辯證思維的觀點出發(fā)，克服思維

19、定勢的消極面，從問題或其中的某個方面的反面入手去進行思考， 采取順繁則逆、正難則反的思維策略。就是說，當(dāng)用順證不易解決時就考慮用反證法或逆推法；當(dāng)正向思維不能奏效時就采用逆向思維去探索；當(dāng)推理中出現(xiàn)邏輯矛盾或缺陷時，就嘗試從反面提出假設(shè)，通過背向思維進行論證。(六 倒順相通。 解數(shù)學(xué)題往往會用順推，從條件出發(fā)之推出某些關(guān)系或性質(zhì)去逼近結(jié)論，或者用逆求，由結(jié)論去尋找使它成立的充分條件，直至追溯到已知事項，但是最有效和簡捷的解題途徑是這兩者的有機結(jié)合。 倒順相通策略的運用有兩種表現(xiàn)形式。一種是側(cè)重于整體性的思考，即抓住兩頭，盯著目標(biāo)，尋求壓縮中間環(huán)節(jié)的解題捷徑；一種是側(cè)重于聯(lián)通性的思考，即兩頭夾擊

20、，溝通中間，達到目標(biāo)的總體思路，也可以在解題過程中的局部加以使用。分析綜合法 就在此列。(七 動靜轉(zhuǎn)換。 動和靜（數(shù)學(xué)中常表述為定）是事物狀態(tài)表現(xiàn) 的兩個側(cè)面。在數(shù)學(xué)中，一方面動和靜在一個參照系統(tǒng)中是相對的，可以轉(zhuǎn)化的。另一方面，對于同一事物可以追尋形成靜止?fàn)顟B(tài)以前的運動過程；或者反過來，從運動表現(xiàn)中推出事物將會達到的相對靜止局面。因此，在解決數(shù)學(xué)問題時，可用動的觀點來處理靜的數(shù)量和形態(tài)，即以動求靜，也可以用靜的方法來處理運動過程和事物，即以靜求動，數(shù)學(xué)中的變換法，局部固定法，幾何作圖中的軌跡相交法等就是動靜轉(zhuǎn)換策略的具體運用。高中數(shù)學(xué)思維講義，蔣老師培訓(xùn)班專用 (八分合相輔。 從辯證思維的角

21、度觀察，任何事物的構(gòu)成都具有“一中有多、多中有一”的性 質(zhì)，從而任何事物都是可以分割或分解的·反映在數(shù)學(xué)思維策略上，就是在解題過程中可以將求解問題 進行分割或分解， 轉(zhuǎn)化成一些較小的 且易于解決的小問題， 再通過相加或合成， 使原問題在整體上得 到 解決，這就是化一為多，以分求合的思想方法。有時也可以反過 來，把求解問題納入到較大的合成問題 中，寓分于合，以合求分， 使原問題迎刃而解。因此，分與合相輔相成、互寓互用、轉(zhuǎn)化統(tǒng)一， 是辯 證思維的重要策略之一。 分合相輔的主要表現(xiàn)形式是：綜合與單一間的分合；整體與部分間的分合；無 限與有限間的分合等。數(shù)學(xué)中微積分方法的思想就是思維中的一與

22、多、分與合、有限與無限及離散與連 續(xù)間的辯證關(guān)系的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)解題方法中的枚舉法、疊加法、中途點法， 幾何中的形體割補法，代數(shù)與 三角中的拆項、添項法等都是分合 相輔策略的具體運用。 (九引參求變。數(shù)學(xué)中的常量和變量是相互依存，并在一定 條件下可以相互轉(zhuǎn)化的。而參數(shù)（或 參變量）是介于常量和變量之 間的具有中間性質(zhì)的量。二 參變量的本質(zhì)雖然屬于變量，但又可把 它看 成常數(shù)。正是由于參數(shù)的這種二重性和靈活性，在解決數(shù)學(xué)問題時，引進了參數(shù)就能表現(xiàn)出較大的能動 作用和活力。引參求變的思維策略是 將求解問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)問題加以解決，它是解決各種數(shù)學(xué)向題的有 力武器 （通常提到參數(shù)就局限于解析幾何中的參數(shù)方程的理解 是非常片面的） 而數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法、 。 參數(shù)過渡法與參數(shù)方程法等都是體現(xiàn)引參求變思想的具體解題方法。 (十以美啟真。教學(xué)美的含義是豐富的，數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的