高考備考精品：數(shù)學(xué)解題能力快速提升

1、高考備考精品：數(shù)學(xué)解題能力快速提升一不等式解題方法一、從與的大小說起【引例】 正實(shí)數(shù)中，對(duì)任意a，b，m，都有這就是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”：分?jǐn)?shù)的分子和分母乘以同一個(gè)正數(shù)，其值不變.這，連小學(xué)生都知道. 但， 我們的話題卻要從這兒開始.【問題】對(duì)以上“性質(zhì)”，如果將冒號(hào)后的文字改變一個(gè)字，將“乘”改成“加”，即變成    這里的等號(hào)還能成立嗎？請(qǐng)看下例.【例1】若b>a>0，m>0，則有A.      B.     C.  

2、;    D.【解答】 （淘汰法）令a=1，b=2，m=3  淘汰B，C，D，答案為A.【例2】（變例1為解答題）若b>a>0，m>0，試比較和的大小.【解1】 （比較法  作差變形判定符號(hào)）因?yàn)?#160;  【解2】 （綜合法 由因推果  由整式推出分式）a<bma<mbab+am<ab+bma(b+m)<b(a+m)【說明】 因果關(guān)系，步步清楚，只是在第三步時(shí)，對(duì)ab的無中生有，不易想到. 【解3】 （分析法 由果索因  由分式

3、化為整式）欲使                  只須 a(b+m)<b(a+m)     只須 am<bm                    

4、只須 a<b               由式真反推式真.【說明】 由果追因，化繁為簡(jiǎn). 只是第一步的“假設(shè)”是種猜想，事先應(yīng)有某種傾向. 【解4】 （放縮法  從右到左）（ >）【說明】a放大為b，則縮小為，結(jié)果是分值縮小.將縮成，目標(biāo)是“約”去m. 【解5】 （放縮法  從左到右）（ <）【說明】 “最后”令kb=m的合理性來自正數(shù)k的任意性.事實(shí)上，我們可以提前設(shè)置m=kb

5、.將放成，目標(biāo)是“添”上m.這里的第二步利用了連比定理.放縮法實(shí)為對(duì)比較法、分析法、綜合法等基本方法所得簡(jiǎn)單結(jié)果的一種整合運(yùn)用. 【小結(jié)】 證不等式，比較法是基礎(chǔ)，放縮法是整合，方法網(wǎng)絡(luò)圖如下：  【練習(xí)】 正實(shí)數(shù)中，求證 （）用比較法證明；  （）用綜合法證明；（）用分析法證明；  （）用放縮法證明. 二、比大小 從方程、函數(shù)到不等式還是那個(gè)題目 b>a>0，m>0，求證【法1】 （等式法  不等式變?yōu)榉匠蹋?#160;    

6、;  設(shè)         得         即 x>0，故有  .【說明】 這種等式法實(shí)為比較法的一種變式. 即作差法的另種形式. 【法2】 （等式法 未知數(shù)論設(shè)作因子）設(shè)         則        所以 

7、;【說明】 這種等式法為比較法的另一種形式. 即作商法的另種形式. 【法3】 （函數(shù)法 視m為x，）      設(shè)有函數(shù)         函數(shù)在0，m上是減函數(shù)，故是0，m上的增函數(shù).（圖右，其中a=1，b=2）f（0）<f（m），即.【說明】 函數(shù)法比大小在于建構(gòu)并利用函數(shù)的單調(diào)性. 反比例函數(shù)（k>0）是（0，+）上的減函數(shù).【法4】 （不等式法  把證不等式化為解不等式）  &#

8、160;  解不等式 即 x=m為正數(shù)時(shí)，原不等式真.【說明】 證不等式可視為一種特殊形式的解不等式.如證a2-a+1>0，即x2-x+1>0的解為R，視參數(shù)為變量. 解出的參數(shù)值域符合題設(shè)的取值范圍即可.【法5】 （極限法 把參數(shù)m作極端處理）  &nbs,p;      當(dāng)m0時(shí)，         當(dāng)m時(shí)，     

9、;   故有  【說明】 對(duì)于解答題來講，這種解法的理由不充分，因?yàn)閷?duì)于函數(shù)f (m)=的單調(diào)性并沒講清楚，沒有交待f(m)是上的增函數(shù).如果是確定性的選擇題例1，即與的大小關(guān)系是確定的，不需要討論m的范圍時(shí)，則這種極限法是很簡(jiǎn)便的.【小結(jié)】 真分?jǐn)?shù)的“放大性”：真分?jǐn)?shù)的分子和分母加上同一個(gè)正數(shù)，其值變大.以這種“放大性”為基礎(chǔ)，可推出許多重要的分式不等式，如（1）|a+b|a|+|b|（2）數(shù)列an=是增數(shù)列；而數(shù)bn=是減數(shù)列.【練習(xí)】 1.正數(shù)中，再證.分別用函數(shù)法、方法程和解不等式法.2.用不同的方法證明.3.用不同的方法證明.三、千方百法

10、60; 會(huì)戰(zhàn)高考不等式【考題1】 （2006年贛卷第5題）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）f¢（x）³0，則必有（   ）A  f（0）f（2）<2f（1）            B.  f（0）f（2）£2 f（1）C. f（0）f（2）³2f（1）         

11、   D. f（0）f（2）>2f（1） 【分析】 從已知條件（x-1）f ¢ (x)0出發(fā)，可得如下的不等式組或. 因此f(x)有兩種可能：其一，f (x)為常數(shù)；其二，f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù). 【解答】 （綜合法）依題意，當(dāng)x³1時(shí)，f¢（x）³0，函數(shù)f（x）在1，¥上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f¢（x）£0，f（x）在（¥，1）上是減函數(shù)所以 f（0）³f（1），f（2）³f（1），所以f(0)+f (2

12、)2f (1),當(dāng)f (x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)即f (x)=a(常數(shù))，f ¢（x）=0，滿足不等式(x-1) f¢（x）0成立.此時(shí)f (0)+f (2)=2f(1)，所以f（0）f（2）2f（1）.故選C.【說明】 本題如用分析法，即各選項(xiàng)反推，顯然麻煩. 【考題2】 （2002年蘇卷第22題 不等式與函數(shù)綜合  不等式為主）已知a>0，函數(shù)f(x)=ax-bx2.（）當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意xR都有f(x)1，證明a；（）當(dāng)b>1時(shí)，證明：對(duì)任意x0,1，|f(x)|1的充要條件是b-1a；（）當(dāng)0<b1時(shí)，討論：對(duì)任意x0

13、,1，|f(x)|1的充要條件.【解】 依設(shè)，對(duì)任意xR，都有f(x)1.  f(x)=（放大）1.  a>0，b>0，a.【解】 先證必要性：對(duì)任意x0,1，|f (x)|1-1f(x)，據(jù)此可以推出-1f (1)，即a-b-1，ab-1；對(duì)任意x0,1，|f (x)|1f (x)1，因?yàn)閎>1，可以推出1，即  a·-11， a； b-1a.再證充分性：因?yàn)閎>1，ab-1，對(duì)任意x0,1，可以推出ax-bx2b(x-x2)-x-x-1.即  ax-bx21；因?yàn)閎>1，a，對(duì)任意x0,1，

14、可以推出ax-bx21，即 ax-bx21.-1f(x)1.綜上，當(dāng)b>1時(shí)，對(duì)任意x0,1，|f(x)|1的充要條件是b-1a.【解】因?yàn)閍>0，0<b1時(shí)，對(duì)任意x0,1：f(x)=ax-bx2-b-1，即 f (x) -1；f (x)1f(1)1a-b1，即ab+1， f (x)(b+1)x-bx21，即 f (x)1.所以，當(dāng)a>0，0<b1時(shí)，對(duì)任意x0,1，|f(x)|1的充要條件是ab+1.【說明】 綜合、分析、放縮輪番上陣，證不等式大題，就是如此“三斧頭”配合；不等式的證明在命制解答題時(shí)，經(jīng)常與數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，特別是函

15、數(shù)和數(shù)列組成綜合大題.在30年的數(shù)學(xué)卷上，這樣的題目在壓軸題中占三分之一. 【考題3】 （2005年鄂卷第22題 不等式與數(shù)列綜合  不等式為主）已知不等式，其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足，（）證明：，；（）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值；（）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任意b>0，都有【分析】 本題的第（）、（）、（）小題之間成梯式結(jié)構(gòu)，（）是（）和（）的基礎(chǔ).從策略上看，如在（）上遇著困難，可承認(rèn)（）的結(jié)論，并利用它迅速地解出（）和（）來.此題恰恰是第（）難，而（）、（）容易.對(duì)于（），已知為

16、兩個(gè)不等式，而求證一個(gè)不等式.其基本思路是，對(duì)已知不等式用綜合法“下推”，對(duì)求證不等式用分析法“上追”. 如：欲使  只須  = 此時(shí)，“綜合下推”的方向就清楚了.【解】 當(dāng)n2時(shí)，即，于是有，所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時(shí)有， 【解】  又an>0. 故有=0.【解】 （放大為了化簡(jiǎn)） 令，則有，故取N=1024，可使當(dāng)n>N時(shí)，都有 【說明】 本小題是條件不等式的證明，已知2個(gè)不等式，求證1個(gè)不等式.在分析綜合放縮三法聯(lián)合證明綜合大題時(shí)，優(yōu)先考慮分析法.隨時(shí)思考待證的不等式需要什么，需要的東

17、西如何從已知的不等式中得到. 【練習(xí)】 對(duì)考題3，已知條件不變，對(duì)設(shè)問作如下改寫（）設(shè)，利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式（）利用上述結(jié)果，證明不等式二函數(shù)最值的求解方法一、二次函數(shù)最值尋根初中生研究二次函數(shù)的最值，是從配方法開始的.設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c=初三學(xué)生已知，二次函數(shù)f(x)，在a>0時(shí)，有最小值；a<0時(shí)，有最大值.到了高中，學(xué)生更關(guān)心二次函數(shù)得到最值的條件，即上述不等式中等號(hào)成立的條件：.這個(gè)條件自變量x的取值，稱作二次函數(shù)最值對(duì)應(yīng)的“最值點(diǎn)”（以下簡(jiǎn)稱“最點(diǎn)”），俗稱函數(shù)“最值的根”.對(duì)于高一學(xué)生，老師把二次函數(shù)的“最值”與二次函數(shù)的“單調(diào)區(qū)間”

18、相捆綁，要求用比較法探索“最點(diǎn)”. 【例1】 已知a>0，探索二次函數(shù)y = ax2+bx+c的單調(diào)區(qū)間.并指出函數(shù)的最值點(diǎn).【解答】 任取 x1<x2，x1，x2R.則有  y1  y2 = f (x1)  f (x2) = ()（1）當(dāng)x1，x2-時(shí)，有由式()得    y1  y2 =a函數(shù)f (x)在上為減函數(shù).（2）當(dāng)x1，x2-時(shí)，有

19、由式（）得   y1  y2 =a即函數(shù)f (x)在上為增函數(shù).綜合（1）、（2）可知，二次函數(shù)y =ax2+bx+c ( a>0 ) 有減區(qū)間和增區(qū)間.顯然，二次函數(shù)的最值點(diǎn)為，函數(shù)有最小值.【評(píng)說】 從這里看到，二次函數(shù)的最點(diǎn)，就是兩個(gè)“異性”單調(diào)區(qū)間的交接點(diǎn). 【練1】  試研究一次函數(shù)沒有最點(diǎn)，從而沒有最值.【解】  任取，則有（1）時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù).時(shí)，;時(shí)，.（2）時(shí)，函數(shù)在R上為減函數(shù).時(shí)，;時(shí)，.所以，一次函

20、數(shù)在R上沒有最點(diǎn)，從而一次函數(shù)無最值（既無最大值，也無最小值）.【說明】  一次函數(shù)定義在R上，定義域內(nèi)找不到這樣的“點(diǎn)”，使得該點(diǎn)兩邊鄰域是異性的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間.本例從反面看到：最點(diǎn)是單調(diào)區(qū)間的“變性”的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”. 二、從到高中生將“最點(diǎn)”變形為，并由此得到一個(gè)一次函數(shù).精明的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個(gè)一次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有某種“關(guān)系”，甚至有學(xué)生在偷偷地利用這種“關(guān)系”.這種“關(guān)系”到了高三才徹底解決：函數(shù)正是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即.函數(shù)求“最根”的問題，正好是的導(dǎo)函數(shù)的“求根”問題.導(dǎo)函數(shù)的根，就是的駐點(diǎn).很清楚，二次函數(shù)的駐點(diǎn)就是二次函數(shù)的最點(diǎn).問題變得這么明朗：求的最

21、點(diǎn)，就是求的根.俗說中“最根”，真的與“根”字巧合了.【例2】  設(shè)，在同一坐標(biāo)系中，分別作得和的圖象（如右）.試說明的正負(fù)性與單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【解析】  與相交于. （1）時(shí)，,遞減； （2）時(shí)，,遞增；（3）時(shí)，,得到最小值.故對(duì)應(yīng)關(guān)系為：（1）負(fù)區(qū)與的減區(qū)對(duì)應(yīng)；             （2<, SPAN style="COLOR: black; FONT-FAMILY: 宋體; m

22、so-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">）正區(qū)與的增區(qū)對(duì)應(yīng)；             （3）零點(diǎn)與的最值對(duì)應(yīng).【練2】  已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如右圖的直線，則有 （1）=（   ），增區(qū)間為（    ），減區(qū)間為（ 

23、60;  ）； （2）的最（    ）值為（     ）；（3）若，求的解析式.【解答】  從右圖上看到（1）的根為，故有=1；（2）時(shí)，>0，故的增區(qū)間為；     時(shí)，<0，故的減區(qū)間為；（3）有最大值，最大值為.（4）令，圖上知；令，得.故有.【說明】  注意與并非一一對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的，反過來，每一個(gè)這樣的卻對(duì)應(yīng)著無窮個(gè)，它們只是相差一個(gè)常數(shù)c.這就

24、是本題中，為什么已經(jīng)知道了的圖象后，還要給出時(shí)才能確定的解析式. 三、三次函數(shù)的駐點(diǎn)、極點(diǎn)和最點(diǎn)一次函數(shù)沒有駐點(diǎn)，自然沒有最點(diǎn).二次函數(shù)有一個(gè)駐點(diǎn)，這個(gè)駐點(diǎn)就是二次函數(shù)的最點(diǎn).三次函數(shù)呢？三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)根的情況有3種：（1）有2個(gè)相異的根，（2）有2個(gè)相同的根；（3）無根.如果三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無根，則無駐點(diǎn)，自然也無最點(diǎn)，也無最值.如果有根呢？自然一定有駐點(diǎn).那么，這些駐點(diǎn)是否為其最點(diǎn)呢？ 【例3】  研究函數(shù)的駐點(diǎn)、極點(diǎn)和最點(diǎn).【解析】  令，得，為的2個(gè)駐點(diǎn).（1）時(shí)，>0，函數(shù)遞增；（2）時(shí)，&l

25、t;0，函數(shù)遞減；（3）時(shí)，>0，函數(shù)遞增.故在有極大值，在上有極小值.故，是的2個(gè)極點(diǎn)，前者為極大點(diǎn)，后者為極小點(diǎn).又時(shí)，故函數(shù)既無最大值，也無最小值.從而無最點(diǎn).【說明】  這是三次函數(shù)有2個(gè)駐點(diǎn)，且都為極點(diǎn)的例子.而三次函數(shù)無駐點(diǎn)或有駐點(diǎn)但不是極點(diǎn)的例子如下（練3）.【練3】  研究下列三次函數(shù)的駐點(diǎn)、極點(diǎn)、最點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間.（1）         （2）【解析】  （1）,函數(shù)無駐點(diǎn)，無極點(diǎn)，無最點(diǎn). 是上的增函數(shù).（2）,

26、有2個(gè)重合的駐點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)也遞增.因此，駐點(diǎn)不能分出兩個(gè)“相異”的單調(diào)區(qū)間，故不是的極點(diǎn)，無極點(diǎn)，當(dāng)然也無最點(diǎn).是R上的增函數(shù).【說明】  函數(shù)相重合的兩駐點(diǎn)不成為極點(diǎn)，可理解為它們消去了“中間”的一個(gè)“相異”的單調(diào)區(qū)間后，將兩邊的“同性”的單調(diào)區(qū)進(jìn)行了鏈接而成為一個(gè)單調(diào)區(qū)間.經(jīng)過以上的討論得知，定義在R上的三次函數(shù)，不管它有無駐點(diǎn)或極點(diǎn)，它是不會(huì)有最點(diǎn)的。 四、極點(diǎn)何時(shí)為最點(diǎn)不重合的2個(gè)駐點(diǎn)可以分別成為極點(diǎn).那么，在什么條件下極點(diǎn)成為最點(diǎn)呢？駐點(diǎn)是極點(diǎn)的必要不充分條件，那么極點(diǎn)是最點(diǎn)的什么條件呢？我們研究，極點(diǎn)何時(shí)成為最點(diǎn).【例4】

27、  已知的導(dǎo)函數(shù)，試探究的極點(diǎn)和最點(diǎn).【解析】  .有3個(gè)相異的根：它們都是的極點(diǎn).易知原函數(shù)  （R）易知為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.的4個(gè)單調(diào)區(qū)間依次成“減增減增”的順序，使得首、尾兩個(gè)區(qū)間的單調(diào)性相異，從而使得在“兩次探底”中得到最（小）點(diǎn).比較三個(gè)極值的大?。旱玫淖钚≈禐?，對(duì)應(yīng)兩個(gè)最小點(diǎn)和1.【說明】  定義在一個(gè)開區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)如果有n個(gè)極點(diǎn)：x1<x2<<xn.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有最點(diǎn)存在.最點(diǎn)在依次為奇數(shù)的極點(diǎn)中產(chǎn)生，通過奇數(shù)位上的極值比大小可得.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)

28、無最點(diǎn). 【練4】  求函數(shù)的最值.【解析】  函數(shù)是定義在一個(gè)開區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),令得的唯一駐點(diǎn)即為最點(diǎn).時(shí)，函數(shù)遞增,時(shí)，函數(shù)遞減,故有最大值.【說明】  本函數(shù)是二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用配方法求最值也很簡(jiǎn)便.,等號(hào)成立條件是. 五、最值尋根的導(dǎo)數(shù)判定若定義在一個(gè)開區(qū)間上的函數(shù)有導(dǎo)函數(shù)存在，那么是否有最值的問題可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)是否有最根的問題來研究：（1）若導(dǎo)函數(shù)無根，即，則無最值；（2）若導(dǎo)函數(shù)有唯一的根，即，則有最值.此時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的根即是函數(shù)最根.（3）若導(dǎo)函數(shù)有多個(gè)的根，則應(yīng)從多個(gè)駐點(diǎn)中依次判定極點(diǎn)、最點(diǎn)的

29、存在性. 【例5】  在以下四個(gè)函數(shù)中，有最值存在的函數(shù)是A.     B.    C.    D.【解析】  對(duì)于A，定義區(qū)間雖有兩個(gè)，但都有，無最值；對(duì)于B，函數(shù)有重合的兩駐點(diǎn)，無最值；對(duì)于C，無最值；對(duì)于D，.當(dāng)時(shí)，令，得，有最值=1.本題答案為D.【練5】  判斷以下函數(shù)，是否有最值，如果有，求出最值.（1）       

30、;      （2）【解析】  （1），無最值.（2）.當(dāng)時(shí)，由，得.有最值，.當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，是減, 函數(shù).故是的最大值.六、最根與高考題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于高考，一般都在研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值問題，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來講，這兩個(gè)問題互相捆綁著，于是導(dǎo)數(shù)問題的“根本”則變成“最根”問題.【例6】  已知可導(dǎo)函數(shù)在R上恒有，且不為常數(shù)，試研究的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)最值.【解析】  由可知時(shí)，函數(shù)為減函數(shù);時(shí)，函數(shù)為增函數(shù);由此可知，是的唯一的根，故為最根.故有減區(qū)間，增區(qū)間，有最大值.【說

31、明】  本題是在研究“抽象函數(shù)”無具體解析式的一類函數(shù)的性質(zhì)，只在滿足性質(zhì)條件下，通過“最根”的判定而確定了的單調(diào)區(qū)間和最值.有些不等式的證明，還可以通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的“最值”而確認(rèn)不等式是否成立.【練6】  已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)，證明：.【解析】  （1），故有唯一的最根，故的最大值為.（2），.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，因此在內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，因此在上為增函數(shù).從而，當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)?，所以，?【說明】  問題（2）的解決，是用“最根”證明不等式. 七、余興 

32、0;荒唐錯(cuò)誤  打從何來學(xué)生小新讀完上文，很感興趣，他模仿著【練4】的題型，只是變了幾個(gè)系數(shù)，結(jié)果成了下面的問題. 【例7】 研究函數(shù)有無最值.【小新解答】  .令，得的唯一駐點(diǎn)為“最點(diǎn)”.因此有最值.【討論】  是最值嗎？若為最大值，我們可以找到比它更大的；如果是最小值，我們可以找到比它更小的.解答錯(cuò)了！錯(cuò)在哪里？作為思考題留給讀者.【提示】  本函數(shù)的定義域不是“一個(gè)”開區(qū)間.三二項(xiàng)式的展開1、二項(xiàng)式 ( a + b ) n展開&#

33、160; 追根 n = 1根據(jù)乘法法則，分別有：（1）  (a+b)1 = a+b（2）  (a+b)2 = a2+2ab+b2（3）  (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3（4）  (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3 +b4展開后，（2）的系數(shù)是（1）的系數(shù)“錯(cuò)位相加”，（3）的系數(shù)是（2）的系數(shù)“錯(cuò)位相加”，（4）的系數(shù)是（3）的系數(shù)“錯(cuò)位相加”，（n）的系數(shù)是

34、（n1）的系數(shù)“錯(cuò)位相加”. 草式如下.      由此看到( a + b ) n展開式的系數(shù)是由( a + b )1的系數(shù)“1+1”錯(cuò)位相加、累計(jì)(n-1)次的結(jié)果. 【例2】 設(shè) ( a + b ) 6 = A0 a 6 + A1a 5 b + A2a 4 

35、;b2+ + A6 b 6( a + b ) 7 = B0 a 7 + B1a 6 b + B2a 5 b2+ + B7 b 7試用Ai(i = 0，1，6)的代數(shù)式表示Bj ( j =0，1，2，7) 【解析】 ( a + b ) 7 = (

36、60;a + b ) 6 ( a + b )        = ( A0 a 6 + A1a 5 b + + A5ab 5 +A6 b 6) ( a + b )        =&

37、#160;A0 a 7 + ( A0 + A1) a 6 b + ( A1 + A2) a5 b2 + + ( A5 + A6) a b 6 + A6 b7于是有  B0 = A0；B1 = A0 + A1；B2 = A1 + A2；B3&

38、#160;= A2 + A3；        B4 = A13+ A4；B5 = A4 + A5；B6 = A5 + A6；B7 = A6 .      【說明】 由（6）到（7）的系數(shù)“錯(cuò)位相加”草式如下.  這是一個(gè)有趣的規(guī)律，它說明：二項(xiàng)式展開式的每個(gè)系數(shù)也是“二

39、項(xiàng)式”，即展開式的每個(gè)系數(shù)都是一個(gè)二項(xiàng)式的和.一般地：Br +1 = Ar + A r+1  (r = 0，1，n - 1)特別地：B0 = 0 + A0 = A0，Bn = An-1+ 0 = An-1  2、二項(xiàng)式含二項(xiàng)式  看楊輝三角收藏上面的“錯(cuò)位加法”有意思，二項(xiàng)式中的二項(xiàng)式更有意思，如果把草式簡(jiǎn)化，只把各行的“加法結(jié)果”依次開列出來，就得到我們熟悉的楊輝三角形（圖右）.這個(gè)三

40、角形可命名為“1+1三角形”.因?yàn)椋海?）這個(gè)三角形是從1+1開始的；（2）三角形的任何一行數(shù)的和，自我相加之后變成了下一行各數(shù)之和.這個(gè)三角形可命名為“2打滾三角形”，因?yàn)閺?開始，上行各數(shù)之和翻一倍，便成為下行各數(shù)之和.這個(gè)三角形還可命名為“二項(xiàng)式中的二項(xiàng)式三角形中”，因?yàn)檫@個(gè)三角形中的任何一個(gè)數(shù)，都等于這個(gè)數(shù)肩上2數(shù)之和. 如三角形中第5行的第3數(shù)10，就等于它的肩上兩數(shù)第4行第2、3兩數(shù)的和：10=4+6.二項(xiàng)式中的二項(xiàng)式“肩挑兩數(shù)”中兩數(shù)是唯一的嗎？ 【例3】 在楊輝三角形中，第5行第3數(shù)上的數(shù)10，寫成肩上2數(shù)的和，可以是：A.10=4+6  

41、;        B.10=3+7         C.10=2+8             D.10=5+5【解答】 楊輝三角形中的任何一個(gè)數(shù)，都由1+1的錯(cuò)位加法形成，因?yàn)榧臃ǖ慕Y(jié)果有唯一性. 所以，第5行第3個(gè)數(shù)10，肩挑兩數(shù)的結(jié)果4+6是唯一的. 答案為A. 【說明】這個(gè)

42、三角形還可以命名為“單肩串?dāng)?shù)三角形”.因?yàn)槿切沃腥魏我粋€(gè)數(shù)都等于它的“一個(gè)肩上數(shù)斜向上頂住的一串?dāng)?shù)”.如三角形中第5行第3數(shù)10，它等于它右肩上的數(shù)6，并由6向左斜上方串聯(lián)的一組數(shù)的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的數(shù)4，并由4向右斜上方串聯(lián)的一組數(shù)的和，即10=4+3+2+1“單肩串?dāng)?shù)”實(shí)為“肩挑兩數(shù)”性質(zhì)推論. “單肩串?dāng)?shù)”實(shí)為“肩挑兩數(shù)”遞推的結(jié)果，例如數(shù)10，如果是右肩串?dāng)?shù)，則是3次“肩挑兩數(shù)”的結(jié)果.10=6+4=6+（3+1）=6+3+（1+0）=6+3+1+0“單肩串?dāng)?shù)”是“肩挑兩數(shù)”的遞推結(jié)果；從而是“錯(cuò)位加法”的累計(jì)結(jié)果（圖右）.3、子集組合  得

43、展開式系數(shù)為了弄清二項(xiàng)式 (a+b)n = (a+b) (a+b)(a+b)= A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn  展開時(shí)系數(shù)的形成過程，我們先回頭看“和的平方”展開時(shí)，系數(shù)是怎樣形成的.(a+b)2 = (a+b) (a+b)我們視a為主字母，視b為系數(shù)，其中的2個(gè)b分別記作b1和b2，于是有(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)           

44、;  =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2由此看到，最高項(xiàng)a2的系數(shù)為1. 次高項(xiàng)a的系數(shù)是b1 +b2，這是從集合 b1，b2中，每次取1個(gè)元素所成的組合. 其組合數(shù)為=2.常數(shù)項(xiàng)b1b2，是從集合 b1，b2每次取出2個(gè)元素所成的組合，組合數(shù)為=1.統(tǒng)一地看，最高項(xiàng)a2中不含b，因此可以看作，從集合 b1，b2每次取出0個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的組合.組合數(shù)為=1.這樣一來，“和的平方”展開式可寫成 (a+b)2 =a2+ab+b2有了這個(gè)基礎(chǔ)，我們也可以用“組合數(shù)”表示二項(xiàng)式

45、(a+b)n展開后各項(xiàng)的系數(shù). 【例4】 試探索用組合數(shù)表示二項(xiàng)式         (a+b)n=(a+b) (a+b)(a+b) = A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn展開式中各系數(shù)A0，A1，An-1，An.【解答】 對(duì)于an，它是從集合 b1，b2，bn 中每次取出0個(gè)元素的組合. 組合數(shù)為A0=.對(duì)于an-1b，它是從集合 b1，b2，bn 中，每次取

46、出1個(gè)元素的組合，組合數(shù)為A1=.對(duì)于abn-1，它是從集合 b1，b2，bn 中，每次取出n-1個(gè)元素的組合，組合數(shù)為.對(duì)于bn，它是從集合 b1，b2，bn 中，每次取出n個(gè)元素的組合，組合數(shù)為.于是，二項(xiàng)式(a+b)n可展開成如下形式(a+b)n=an+an-1b +abn-1 +bn  這就是所謂的“二項(xiàng)式定理”. 【說明】二項(xiàng)式展開后各項(xiàng)的系數(shù)依次為：， ，.其中，第1個(gè)數(shù)=1，從第2個(gè)數(shù)開始，后面的每一個(gè)數(shù)都可以用前面的那個(gè)數(shù)表示為    這就

47、是二項(xiàng)式展開“系數(shù)遞推”的依據(jù). 二項(xiàng)式系數(shù)遞推實(shí)際上是組合數(shù)由到的遞推. 4、  加法定理  來自二項(xiàng)式性質(zhì)將楊輝三角形中的每一個(gè)數(shù)，都用組合符號(hào)表示出來，則得圖右的三角形. 自然，“肩挑兩數(shù)”的性質(zhì)可寫成組合的加法式.   如 這里，（1）相加兩數(shù)和是“下標(biāo)相等，上標(biāo)差1”的兩數(shù)；（2）其和是“下標(biāo)增1，上標(biāo)選大”的組合數(shù).一般地，楊輝三角形中第n+1行任意一數(shù)，“肩挑兩數(shù)”的結(jié)果為組合的加法定理：  有了組合的加法定理，二項(xiàng)式(a+b)n展開式的證明就變得非常簡(jiǎn)便了. 

48、【例5】 試用數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理(a+b)n=an+an-1b +abn-1 +bn【證明】 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a+b =a +b=a + b  命題真.（2）假設(shè) n=k時(shí)命題真，即              (a+b)k =ak +ak-1b +abk-1 +bk兩邊同乘以(a+b)，由“錯(cuò)位加法”

49、可得         (a+b)k+1=ak+1 +()akb +()ak-1 b2 +()ab k + bk+1                =ak+1 + akb + ab k + bk+1綜合（1），（

50、2）可知，對(duì)任意的nN+，二項(xiàng)式(a+b)n展開式成立.   5、n始于1  r始于0二項(xiàng)式定理將(a+b)的乘方式展開成一個(gè)數(shù)列的和：(a+b) n=an+an-1b +an-rbr +bn =an-rbr展開式中的r從0取到n，故展開式共有n+1項(xiàng)，其中關(guān)于r的通項(xiàng)an-rbr不是它的第r項(xiàng)，而是第r+1項(xiàng). 故二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=an-rbr   初學(xué)者經(jīng)常誤成 Tr=an-rbr在通項(xiàng)公式中弄清了“n與r的關(guān)系”后，以下考題可以做到

51、“一揮而就”.【例6】 已知，求展開式中x9的系數(shù).【分析】 x9的系數(shù)與x9的二項(xiàng)式系數(shù)雖然不是一回事，但仍可用通項(xiàng)公式an-rbr求出對(duì)應(yīng)的r來.【解答】 設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)能化簡(jiǎn)得到x9項(xiàng).則有     Tr+1 =(x2)9-r·=令   18-3r = 9   得r =3         故  &

52、#160;x9的系數(shù)為 【說明】 數(shù)學(xué)解題，切忌拘泥公式. 如本題中求r的值，不一定要硬套通項(xiàng)公式. 事實(shí)上，展開式按x的降冪排列：第1項(xiàng)的指數(shù)是18，第2項(xiàng)的指數(shù)是15，依次遞減，指數(shù)為9的項(xiàng)是第4項(xiàng)，故有r = 3.由此直接得 x9的系數(shù)為 . 這樣的計(jì)算量大為減少.  6、數(shù)形趣遇  算式到算圖     二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對(duì)天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué). 求二項(xiàng)式展開式系數(shù)的問題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問題. 用系數(shù)通項(xiàng)公式來

53、計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計(jì)算，稱作“圖算”. 【 例7】 （2007全國(guó)甲卷理13文16）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為                        .【式算】 先考慮展開后的常數(shù)項(xiàng)Tr +1 =x 8  r=    （1）

54、令8 2r = 0，得r = 4，得= 70；    （2）令8 2r = 2，得r = 5，得= 56.故求得的展開式中常數(shù)項(xiàng)為70 2×56 = 42 【圖算】 常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生在展開后的第5、6兩項(xiàng). 用“錯(cuò)位加法”很容易“加出”楊輝三角形第8行的第5個(gè)數(shù). 簡(jiǎn)圖如下： 1  4  6  4  1      1  5&

55、#160; 10  10  5  1  15  20  15  6    1     35  35  21              70  56   

56、;圖上得到=70，=56.故求得展開式中常數(shù)項(xiàng)為70 2×56 = 42 【點(diǎn)評(píng)】 “式算”與“圖算”趣遇，各揚(yáng)所長(zhǎng)，各補(bǔ)所短.<, /o:p>楊輝三角形本來就是二項(xiàng)式展開式的算圖. 對(duì)楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：1，6，15，20，15，6，1那么他可以心算不動(dòng)筆，對(duì)本題做到一望而答.楊輝三角形在3年內(nèi)考了5個(gè)（相關(guān)的）題目，這正是高考改革強(qiáng)調(diào)“多想少算”、“邏輯思維與直覺思維并重”的結(jié)果. 這5個(gè)考題都與二項(xiàng)式展開式的系數(shù)相關(guān)，說明數(shù)形結(jié)合思想正在高考命題中進(jìn)行深層次地滲透.四函數(shù)周期性的求解1、正弦函數(shù)的周期三角函數(shù)，以正弦函

57、數(shù) y = sin x為代表，是典型的周期函數(shù).冪函數(shù) y = x 無周期性，指數(shù)函數(shù) y = ax 無周期性，對(duì)數(shù)函數(shù) y =logax無周期，一次函數(shù) y = kx+b、二次函數(shù) y = ax2+bx+c、三次函數(shù) y = ax3+bx2 + cx+d無周期性.周期性是三角函數(shù)獨(dú)有的特性. （1）正弦函數(shù) y=sin x 的

58、最小正周期在單位圓中，設(shè)任意角的正弦線為有向線段MP.正弦函數(shù)的周期性動(dòng)點(diǎn)P每旋轉(zhuǎn)一周，正弦線MP的即時(shí)位置和變化方向重現(xiàn)一次.同時(shí)還看到，當(dāng)P的旋轉(zhuǎn)量不到一周時(shí)，正弦線的即時(shí)位置包括變化方向不會(huì)重現(xiàn).因此，正弦函數(shù)y=sinx的最小正周期2. （2）y=sin（x）的最小正周期設(shè)>0，y =sin（x）的最小正周期設(shè)為L(zhǎng) .按定義 y = sin （x+L） = sin（x+ L） = sinx .令x = x    則有 sin （x + L） = sin

59、 x因?yàn)閟inx最小正周期是2，所以有例如 sin2x的最小正周期為sin的最小正周期為 （3）正弦函數(shù) y=sin（x+） 的周期性對(duì)正弦函數(shù)sinx的自變量作“一次替代”后，成形式y(tǒng) = sin （x+）.它的最小正周期與y = sinx的最小正周期相同，都是.如的最小周期與 y = sin（3x）相同，都是.于是，余弦函數(shù)的最小正周期與sinx的最小正周期相同，都是2.  2、復(fù)合函數(shù)的周期性將正弦函數(shù) y = sin x 進(jìn)行周期變換xx，sinx

60、 sinx后者周期變?yōu)槎谝韵碌母鞣N變換中，如（1）初相變換sinx  sin（ x+）；（2）振幅變換sin（x +） Asin（ x+）；（3）縱移變換  Asin（ x +）  Asin（ x+）+m；后者周期都不變，亦即 Asin（ x +） +m與sin（x）的周期相同，都是.而對(duì)復(fù)合函數(shù) f （sinx）的周期性，由具體問題確定. （1）復(fù)合函數(shù) f（sinx） 的周期性【例題】 研究以下函數(shù)的周期性：（1）2 sinx；&

61、#160;      （2）（2）的定義域?yàn)?k，2k+，值域?yàn)?，1，作圖可知， 它是最小正周期為2的周期函數(shù).【解答】 （1）2sinx 的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，作圖可知，它是最小正周期為2的周期函數(shù).【說明】 從基本函數(shù)的定義域，值域和單調(diào)性出發(fā)，通過作圖，還可確定，loga x，sinx，sin（sinx）都是最小正周期2的周期函數(shù). （2）y= sin3 x 的周期性對(duì)于y = sin3x =(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否

62、還有更小的周期呢？我們可以通過作圖判斷，分別列表作圖如下.   圖上看到，y = sin3x 沒有比2更小的周期，故最小正周期為2. （3）y= sin2 x 的周期性對(duì)于y = sin2x = (sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否為2？可以通過作圖判定，分別列表作圖如下.  圖上看到，y = sin2x 的最小正周期為，不是2. （4）sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性y

63、 = sin2x 的最小正周期為，還可通過另外一種復(fù)合方式得到.因?yàn)?cos2x 的周期是，故 sin2x的周期也是.sin2x的周期，由cosx的2變?yōu)閟in2x的. 就是因?yàn)榉?hào)法“負(fù)負(fù)得正”所致.因此，正弦函數(shù)sinx的冪符合函數(shù)sinmx，當(dāng)m=2n時(shí)，sinm x的最小正周期為；m = 2n1時(shí)，sinmx的最小正周期是2.  （5）冪復(fù)合函數(shù)舉例【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期. 【解答】 最小正周期為. 【例2】 求的最小正周期.

64、【解答】 最小正周期為2. 【例3】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期為.【說明】 正弦函數(shù)sinx的冪復(fù)合函數(shù).當(dāng)q為奇數(shù)時(shí)，周期為2；q為偶數(shù)時(shí)，周期為.3、周期函數(shù)的和函數(shù)兩個(gè)周期函數(shù)，如 sin x 和 cosx ，它們最小正周期相同，都是 2. 那么它們的和函數(shù)，即 sinx + cos x的最小正周期如何？和函數(shù)的周期與原有函數(shù)的周期保持不變. 這個(gè)結(jié)論符合一般情況.對(duì)于另一種情況，當(dāng)相加的兩個(gè)函數(shù)的最小正周期不相同，情況將會(huì)如何？ （1）函數(shù) sinx +

65、sin2 x 的周期性sin x的最小正周期為2，sin2x的最小正周期是，它們之間誰依賴誰，或依賴一個(gè)第三者？列表如下. 表上看到函數(shù)sinx+sin2x的最小正周期是2. （2）函數(shù) sinx + sin2x 的周期性依據(jù)上表，作sinx+sin2x 的圖像如右.從圖上看到，函數(shù)的最小正周期為2. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者決定，因?yàn)榍罢呤呛笳叩?倍.從圖上看到，sinx+sin2x仍然是個(gè)“振動(dòng)函數(shù)”，但振幅已經(jīng)不是常數(shù)了. （3）函數(shù)sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期為

66、2，sinx的最小正周期是3.們之間的和sinx + sinx的最小正周期也由“較大的”決定嗎？即“和函數(shù)”的周期為3嗎？不妨按周期定義進(jìn)行檢驗(yàn). 設(shè)則x0 +3=因此3不是sinx + sinx的最小正周期.通過作圖、直觀看到，sinx+sinx的最小正周期為6，即sinx和sinx最小正周期的最小倍數(shù).4、周期函數(shù)在高考中三角函數(shù)是高考命題的重要板塊之一，小題考，大題也考，比分約占高考總分的七分之一，與立體幾何相當(dāng). 與立幾不同的是，它還與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、向量等內(nèi)容綜合.正弦函數(shù)是三角函數(shù)的代表，而周期性又是正弦函數(shù)的特性.關(guān)系到正弦函數(shù)的試題，有2

67、種形式.（1）直接考，求正弦函數(shù)的最小正周期.（2）間接考，考周期在正弦函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用. 求單調(diào)區(qū)間，求最值，簡(jiǎn)單方程的通解等. （1）求正弦函數(shù)的周期【例1】 函數(shù) y =|sin |的最小正周期為（A）          （B）           （C）2        

68、    （D）4【解答】最小正周期是 最小正周期的一半，即2. 答案為（C）【說明】 圖象法判定最簡(jiǎn)便，|sin x|的圖象是將sin x的圖象在x軸下方部分折到x軸上方去.倍角法定判定最麻煩【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x決定 （2）求正弦函數(shù)的周期【例2】 （1）y =2cos2x+1的最小正周期為           

69、;              .（2）y =|sinx + cosx|的最小正周期為                       .【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最

70、小正周期由cos2x決定，故答案為.（2）   故答案為.【說明】 都可看作sinx的冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù). （3）函數(shù)周期性應(yīng)用于求值    【例題】 f (x)是R上的偶函數(shù)，且是最小正周期為的周期函數(shù).【解答】【說明】 周期性應(yīng)用于區(qū)域轉(zhuǎn)化. 將“無解析式”的區(qū)域函數(shù)轉(zhuǎn)化到“有解析式”的區(qū)間上求值.若               時(shí)&#

71、160;f (x) = sinx    試求           的值. （4）函數(shù)周期性應(yīng)用于求單調(diào)區(qū)間【例題】 xR，求函數(shù) y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的單調(diào)增區(qū)間.    【解答】函數(shù)的最小正周期為.    令    

72、60;  得 因?yàn)楹瘮?shù)周期為，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .【說明】 先求包含零點(diǎn)的增區(qū)間，再用最小正周期求單調(diào)增區(qū)間的集合.周期函數(shù)在高考中 （5）周期性應(yīng)用于求函數(shù)零點(diǎn)【例題】 已知函數(shù) .【解答】             令            得   &#

73、160; 故交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值的集合為 .【說明】 先求絕對(duì)值最小的解，再利用最小正周期求“通解”. 5、高考史上的周期大難題高考史上第一次“周期大難題”出現(xiàn)在恢復(fù)高考后的第3年，即1980年的理科數(shù)學(xué)卷上.本題排在該卷的第六大題上. 在有十個(gè)大題的試卷上，這是個(gè)中間位置，然而，從當(dāng)年的得分情況來看，本題的難度超過了包括壓軸題和附加題在內(nèi)的所有題目. 這點(diǎn)為命題人事先未能預(yù)料.后來分析，該題的難點(diǎn)有三 .（1）函數(shù)抽象，導(dǎo)致周期中含有參數(shù)；（2）求參數(shù)范圍，與解不等式綜合；（3）求最小正整數(shù)解，連命題人自擬的“標(biāo)答”都含糊不清. 20多年來數(shù)學(xué)界質(zhì)疑不斷. 【考題】設(shè)三角函數(shù) ，其中k0.（1）寫出 f (x)極大值M、極小值m與最小正周期;（2