一元二次方程專題能力培優(yōu)(含問題詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第2章一元二次方程2.1 一元二次方程專題一利用一元二次方程的定義確定字母的取值1 .已知（m 3）x2Jm 2x 1是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的取值圍是（）A.m w3 B.m >3C.m >2D. m >2 且 m w322 .已知關(guān)于x的方程（m 1）xm 1 （m 2）x 1 0,問:（1） m取何值時(shí)，它是一元二次方程并寫出這個(gè)方程；（2） m取何值時(shí)，它是一元一次方程？專題二利用一元二次方程的項(xiàng)的概念求字母的取值3 .關(guān)于x的一元二次方程（m-1 ） x2+5x+m 2-1=0的常數(shù)項(xiàng)為0,求m的值.24 .若一元二次方程（2a 4）x（3a 6）

2、x a 8 0沒有一次項(xiàng)，則 a的值為:專題三利用一元二次方程的解的概念求字母、代數(shù)式5 .已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個(gè)根是-a （aw0）,則a-b值為（）A.1B.0C.1D.26 .若一元二次方程 ax2+bx+c=0中，a - b+c=0 ,則此方程必有一個(gè)根為 .o2a2 120137 .已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程 x2 2013x+1=0 的解，求代數(shù)式 a 2012a 的值.知識(shí)要點(diǎn)：1 .只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 （二次），等號(hào)兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2 .一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 （aw。），其中ax2是

3、二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù); bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).3 .使一元二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.溫馨提示：1 .一元二次方程概念中一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件.2 .一元二次方程的根是兩個(gè)而不再是一個(gè)方法技巧：1 .ax k+bx+c=0 是一元一次方程的情況有兩種，需要分類討論 2 .利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時(shí)常常用到整體思想，需要同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng) 會(huì).答案: m 3 0一 一1. D 解析：，解得 m >-2且m W3m 2 02.解：（1）當(dāng)2,時(shí)，它是一元二次方程0.解得：m=1當(dāng)m=1時(shí)，原方程可化為

4、2x2-x-1=0 ;“ m 2 0,一一。 一一、.(2)當(dāng)或者當(dāng) m+1+(m-2 ) W0且m 2+1=1 時(shí)，匕是一兀一次方程 .m 1 0解得：m=-1 , m=0.故當(dāng)m=-1或0時(shí)，為一元一次方程.m2 1 0.3 .解：由題息，得：解得：m= -1 .m 1 0.3a 6 0,4 .a=-2 解析：由題意得解得a= -2.2a 4 0.5 . A 解析：,關(guān)于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一個(gè)根是-a (aw0), .a2 ab+a=0. .a (a b+1 ) =0.a 卻，. -1-b+a=0. a-b=-1 .6 .x= 1解析：比較兩個(gè)式子ax2 +hx+c =

5、Qa -h +c=0會(huì)發(fā)現(xiàn)：(1)等號(hào)右邊相同；(2)等號(hào)左邊最后一項(xiàng)相同；(3)第一個(gè)式子x2對(duì)應(yīng)了第二x2 1個(gè)式子中的1 ,第一個(gè)式子中的 x對(duì)應(yīng)了第二個(gè)式子中的-1.故.解得x=1.x 17 .解：實(shí)數(shù) a 是一元二次方程 x2 2013x+1=0 的解，a2 2013a+1=0. .a2+1=2013a , a22013a= - 1./- 2012o-u = a1 -2013d =-l.J一.2.2 一元二次方程的解法專題一利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1 .若方程25x2- (k-1 ) x+1=0的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式；則 k的值為()A. -9 或 11 B.

6、-7 或 8 C. -8 或 9 C. -8 或 92 .如果代數(shù)式x2+6x+m 2是一個(gè)完全平方式，則 m=.3 .用配方法證明：無論 x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+4x 5的值恒小于零.專題二利用判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值圍4 .已知a, b, c分別是三角形的三邊，則方程( a+b ) x2+2cx+ (a+b ) =0的根的情況是( )A.沒有實(shí)數(shù)根B.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5 .關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實(shí)數(shù)卞H,則k的取值圍是()6 .定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0 （aw。）滿足a+b + c=0,那

7、么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知 ax2+bx + c=0 （aw0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 下列結(jié)論正確的是（）A. a=c B. a=bC. b = c D. a = b=c專題三解絕對(duì)值方程和高次方程7 .若方程（x2+y2-5） 2=64 ,貝U x2+y 2=.8 .閱讀題例，解答下題：例：解方程 x2|x1| 1=0.解：（1）當(dāng) x 1 R,即 x/時(shí)，x2 （x1） 1=0 , .x2 x=0.解得：x1=0 （不合題設(shè)，舍去），x2=1.（2）當(dāng) x- 1 < 0,即 x<1 時(shí)，x2+ （x 1） 1=0 , ,-x2+x 2=0.解得x1

8、=1 （不合題設(shè)，舍去），x2= 2.綜上所述，原方程的解是 x=1或x=2.文案大全依照上例解法，解方程x2+2|x+2| 4=0 .專題四 一元二次方程、二次三項(xiàng)式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奧秘，并完成填空:一兀一次方程兩個(gè)根一次二項(xiàng)式因式分解Xj=l ,(x-1) (x-I)Xi=l rx產(chǎn)2x2-3x-2-(x-2)工廠一 3媒Cx - ) <x+l) 31i- 工二一2r:+5X+2-2) Cr-2) 2X =i A 2 =4工F3x-3=4>10 .請先閱讀例題的解答過程，然后再解答：代數(shù)第三冊在解方程 3x (x+2 ) =5 (x+2 )時(shí)，先

9、將方程變形為 3x (x+2 )-5 (x+2 )=0 ,這個(gè)方程左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積，所以方程變形為(x+2 ) (3x-5 ) =0 .我們知道，如果兩個(gè)因式的積等于 0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0;反過來，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于 0,它們的積等于 0.因此，解方程(x+2 ) (3x-5 ) =0 ,就相當(dāng)于解方x+2=0 或3x-5=0 ,得到原方程的解為 xi=-2 , x2= 一.3a 0,a 0,根據(jù)上面解一元二次方程的過程，王力推測： a . b>0,則有或者 請判斷b 0b 0.力的推測是否正確？若正確，請你求出不等式5x 12x 30的解集，如果不正確

10、，請說明理由.專題五利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的取值圍及求代數(shù)式的值11 .設(shè) xi、x2 是一元二次方程 x2+4x 3=0 的兩個(gè)根，2xi (x22+5x 2 - 3) + a=2 ,則 a=212 . (2012已知xi、x2是一兀二次萬程 a 6x 2ax a 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù) a,使x + xx2=4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請你說明理由；求使(x1 + 1) (x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.13 .(1)教材中我們學(xué)習(xí)了：若關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2,x1 +x 2=bc-x1 x2=二根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以

11、求出已知方程關(guān)于x1、x2的代數(shù)式的值.例如：已知aax1、x2為方程x2-2x-1=0 的兩根，則:(1) x1+x 2=,x1 x2=,那么 x12+x22=( x 1+x 2)2-2 x 1 x2=_請你完成以上的填空(2)閱讀材料：已知m2 m 1 0, n2 n 1 0,且mn一 ，211.1斛：由 n n 1 0 可知 n 0.，1 一工 0.-n nn一 2112又m m 1 0,且mn 1,即 m . m, 一是萬程xnn1 mn 1 ,m - 1 .=1 .nn1,求皿的值.n1 1 0. nx 1 0的兩根.(3)根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及1)的方法完成下題的解答.已知

12、2m2 3m 1 0, n2 3n 2 0,且 mn 1 .求 m2知識(shí)要點(diǎn):1 .解一元二次方程的基本思想一一降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2 .一元二次方程的根的判別式 =b-4ac與一元二次方程 ax2+bx+c=0(aw。)的根的關(guān)系：當(dāng)4>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)4=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；長0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解.3 .一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。)的兩根xi、X2與系數(shù)a、b、c之間存在著如下關(guān)系：xi + x2=一6，xi?x2 = " L-C-溫馨提示：1 .x2+6

13、x+m 2是一個(gè)完全平方式，易誤以為m=3.2 .若一元二次方程 ax2+bx+c=0(aw。)的兩根 xi、x2 有雙層含義：(1) axi2+bx i+c=0 ,ax22+bx 2+c=0 ; (2) xi + x2=£, xi?x2= J.方法技巧：1 .求二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c 極值的基本步驟：(i)將ax2+bx+c 化為a (x+h ) 2+k ; (2) 當(dāng) a>0 , k>0 時(shí)，a (x+h ) 2+k 冰；當(dāng) a<0 , k<0 時(shí)，a (x+h ) 2+k <k.2 .若一元二次方程 ax2+bx+c=。的兩個(gè)根為 xi. x

14、2,貝U ax2+bx + c=a (x-xi) (x-x2).3 .解絕對(duì)值方程的基本思路是將絕對(duì)值符號(hào)去掉，所以要討論絕對(duì)值符號(hào)的式子與。的大小關(guān)系.4 .解高次方程的基本思想是將高次方程將次轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)式子的一元二次方程求解.5 .利用根與系數(shù)求解時(shí)，常常用到整體思想.答案：1 .A 解析：根據(jù)題意知，-(k-1) =±2X5X1,，k-1= ±10,即 k-1=10 或 k-1=-10 ,得 k=11 或 k=-9 .2 . ±3 解析：據(jù)題意得，m 2=9 ,，m= ±3.3 .證明：2x2+4x5=2 (x2 2x) 5= 2 (x2 2x

15、+1 ) 5+2= -2 (x1) 2-3. (x1) 2>0,2 (x1) 2<0,2 (x1) 2-3<0.，無論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+4x-5的值恒小于零.4 .A 解析：= (2c) 2-4 (a+b) (a+b) =4 (a+b+c) (cab).根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得c- a - b< 0, a+b+c>0. .,.v0.該方程沒有實(shí)數(shù)根.5 .A 解析：當(dāng)kx2+3x+1=0 為一元一次方程方程時(shí)，必有實(shí)數(shù)根，此時(shí) k=0 ;k 0當(dāng)kx2+3x+1=0為一兀二次方程且有實(shí)數(shù)根時(shí)，如果有實(shí)數(shù)根，則 2.解得3 4 k 2 099k 且kwo.綜上

16、所述k -.886.A 解析：,一一元二次方程 ax2 + bx + c=0 (aw0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，= b2-4ac =0,又 a+b + c=0,即 b = ac,代入 b2-4ac= 0 得(一a c) 2- 4ac = 0,化簡得(a c) 2=0,所以 a = c.7.13 解析：由題意得 x2+y 2-5= ±8.解得x2+y 2=13或者x2+y 2= 3 (舍去).8.解：當(dāng) x+2 R,即 x>-2 時(shí)，x2+2 (x+2 ) 4=0 ,，x，2x=0.解得 xi=0 , x2= 2; 當(dāng) x+2 <0,即 xv-2 時(shí)，x2 2 (x+2 ) -

17、 4=0 ,，x22x 8=0.解得x1=4 (不合題設(shè)，舍去)，x2= -2 (不合題設(shè)，舍去).綜上所述，原方程的解是 x=0或x=2.9. 1 , - 3; 1,3.44發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為xi. X2,則ax2+bx+c=a (x-xi) (x-x2).10.解析；壬癱推惻是正瑞的.5x-l>C 2x-3>0 5x-l<0L2s-3<0解不等式蛆(1)S ；解不等式蛆(2)： K<|；1-不等式，> 口的解集是Q5或置<看.11.8 解析：xix2= 3 , x22+4x23=0 , .2xi(x22+

18、5 x2 3)+ a =2 轉(zhuǎn)化為 2xi(x22+4 x2 3+ x2)+ a =2.2x1x2+a =2. .2X(3)+a = 2.解得 a=8.I2.解：(i)根據(jù)題意，得 = (2a) 2 4xa (a6) =24 a>0. .-.a>0.又,a 6 w0,，a6.2aaa 62aa+4 =,解得 a=24 .a 6 a 6由根與系數(shù)關(guān)系得：xi +x2= , xix2=.由一xi + xix2=4 + x2 得 xi+x2 +4=xix2.一經(jīng)檢驗(yàn) a=24 是方程 -2a- +4 = a的解.a 6 a 6(2) 原式=xi + x2 + xix2 + i= 2a +

19、 + i=為負(fù)整數(shù), a 6 a 66 a- -6 a 為i 或2 , 3, 6.解得 a=7 或 8, 9, i2 .i3.解：(i) 2, i, 6.(3)由 n2+3n-2=0 可知 n 卻，1+一一0.-1=0. n n2n2 n1又 2m 2-3m-1=0, 且 mn wl ,即 m k. nn1 .m+ = n，m、,是方程2x2-3x-1=0 的兩根.3,m 1=-;，m2+ ；=(m+ ,2-2m 1=( 3)2-2 (-1)= 13. 2 n 2n2n n 2242.3 一元二次方程的應(yīng)用專題一、利用一元二次方程解決面積問題1 .在高度為2.8m的一面墻上，準(zhǔn)備開鑿一個(gè)矩形窗

20、戶.現(xiàn)用 9.5m長的鋁合金條制成如圖所示的窗框.問：窗戶的寬和高各是多少時(shí)，其透光面積為3m 2 (鋁合金條的寬度忽略不計(jì)).2 .如圖：要設(shè)計(jì)一幅寬 20cm ,長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2:3,如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？3 .數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)貴在舉一反三，觸類旁通.仔細(xì)觀察圖形，認(rèn)真思考，解決下面的問題：（1）在長為am,寬為bm的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路（如圖（1）,則余下草坪的面積可表示為 m2;（2）現(xiàn)為了增加美感，設(shè)計(jì)師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2）,則此時(shí)余下草坪的面積

21、為 m2 ；（3）聰明的魯魯結(jié)合上面的問題編寫了一道應(yīng)用題，你能解決嗎？相信自己哦！（如圖（3）,在長為50m ,寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為xm的筆直小路和一條長恒為xm的彎曲小路（如圖 3）,此時(shí)余下草坪的面積為 1421 m2.求小路的寬x.Lm圖（1）圖（2）專題二、利用一元二次方程解決變化率問題4 .據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30% ,大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2014年的利用率提高到 60%,求每年的增長率.(取 J2W.41)5 .某種電腦病毒傳播非?？欤?/p>

22、果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請你用學(xué)過的知識(shí)分析， 每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？6 . (2012 )某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準(zhǔn)備以每平方米7000元的價(jià)格出售，由于國家出臺(tái)了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價(jià)后，決定以每平方米5670元的價(jià)格銷售.(1)求平均每次下調(diào)的百分率；實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔( 2 )房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議：先公布下調(diào)5% ，再下調(diào)15% ，這樣更有吸引力請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對(duì)購房者是否更優(yōu)惠？為什么？專題三、利用一元二次方程解決市場經(jīng)濟(jì)問題7 . (201

23、2 一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60 棵，每棵售價(jià)為120 元；如果購買樹苗超過60 棵，每增加1 棵，所出售的這批樹苗每棵售價(jià)均降低0.5 元，但每棵樹苗最低售價(jià)不得少于100 元該校最終向園林公司支付樹苗款8800 元請問該校共購買了多少棵樹苗？8 . (2012 )某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定圍，每部汽車的售價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1 部汽車， 則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27 萬元,每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/部；月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以(含10部)，每部返利0.

24、5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.(1)若該公司當(dāng)月售出 3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為 萬元.(2)如果汽車白售價(jià)為28萬元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車?(盈利=銷售利潤+返利)專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問題9 .(1)經(jīng)過凸n邊形(n >3)其中一個(gè)頂點(diǎn) 的對(duì)角線有條.(2)一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是幾邊形？(3)是否存在有 21條對(duì)角線的凸多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明得出結(jié)論的道理.10 .如圖每個(gè)形是由邊長為 1的小形組成.mit=b（1）觀察圖形，請?zhí)钆c下列表格:形邊長1357n （奇數(shù)）紅色小形個(gè)數(shù)形

25、邊長2468n （偶數(shù)）紅色小形個(gè)數(shù)（2）在邊長為n （n）1）的形中，設(shè)紅色小形的個(gè)數(shù)為 Pi,白色小形的個(gè)數(shù)為 P2,問是否存在偶數(shù)n ,使P2=5P i ?若存在，請寫出 n的值；若不存在，請說明理由.知識(shí)要點(diǎn)：列方程解決實(shí)際問題的常見類型：面積問題，增長率問題、經(jīng)濟(jì)問題、疾病傳播問題、生活中的其他問題.溫馨提示：1 .若設(shè)每次的平均增長（或降低）率為x,增長（或降低）前的數(shù)量為a,則第一次增長（或降低）后的數(shù)量為a（1 ±x）,第二次增長（或降低）后的數(shù)量為a（1枚）2.2 .面積（體積）問題屬于幾何圖形的應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合、平移成規(guī)則圖形，找出未

26、知量與已知量的在聯(lián)系，根據(jù)面積（體積）公式列出一元二次方程.3 .列方程解決實(shí)際問題時(shí)， 方程的解必須使實(shí)際問題有意義，因此要注意檢驗(yàn)結(jié)果的合理性 .方法技巧：1 .變化率問題中常用 a （1 ±x） n=b ,其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數(shù)，x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡單.2 .解決面積問題常常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關(guān)系答案:、9505 2x,、9505 2x1.解：設(shè)高為x米，則寬為9.5 0.5 米.由題意,得x 9.5 0.53.33解得xi1.5, x23 （舍去，高度為2.8m的一面墻上）.當(dāng) x=1.5時(shí)，寬9.50.5

27、 2x9.5 0.5 3 八 2.3文案大全答：高為1.5米，寬為2米.2.解：設(shè)橫、豎彩條的寬度分別為2xcm、3xcm ,由題意，得（20 6x） （30 4x） = （1錯(cuò)誤！未找到引用源。）X20 X30.整理，得 6x265x + 50 = 0.解，得x=錯(cuò)誤！未找到引用源。，x2=10 （不合題意，舍去）.、乂:錯(cuò)誤！未找到引用源。，3x =錯(cuò)誤!未找到引用源。.答：每個(gè)橫、豎彩條的寬度分別為錯(cuò)誤!未找到引用源。cm,錯(cuò)誤！未找到引用源。cm.3 .解：（1） a（b 1）（或 ab a）； （2） a（b 1）（或 ab a）；將筆直的小路平移到草坪的左邊，則余下部分的長為（50

28、-x）m,將彎曲的小路的兩側(cè)重合,則余下部分的寬為（30-x ） m,由題意得：（50-x） （30-x） =1421. 解得 x1=1 , x2=79 （舍去）.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔答：小路的寬為1m.4 .解：設(shè)我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a,合理利用量的增長率是x,由題意，得30%a (1+x) 2=60%a.，x-0.41 , X22-2.41 (不合題意舍去).0.41 .答：每年的增長率約為41% 5 . 解：設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染x 臺(tái)電腦，依題意，得1 + x + (1 + x)x = 81.整理得(1 + x)2 = 81. .X1 = 8 , x2= 10 (舍去).(1 +x)3=(1 +8)3 = 729 > 700 .答：每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染8 臺(tái)電腦，3 輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過700臺(tái)226.解：(1)設(shè)平