【課件】6.2.3向量的數(shù)乘運算

1、特點：特點：共起點，連終點，方向指向被減數(shù)共起點，連終點，方向指向被減數(shù)1.1.向量加法三角形法則向量加法三角形法則: :aAbBCba aaAbBbOCba 特點特點:首尾連首尾連特點特點:共起點共起點b a b Ba ABAab O2.2.向量加法平行四邊形法則向量加法平行四邊形法則: :3.3.向量減法三角形法則向量減法三角形法則: :3a3a一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個 ，這種運算叫做向量的 ，記作a，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|a| .一 向量數(shù)乘的定義(2)a(a0)的方向當 時，與a的方向相同；當 時，與a的方向相反.特別地，當0時，a .當1時，(1)aa.向量數(shù)乘

2、|a|000a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2二 向量數(shù)乘的運算律1.設(shè)，為實數(shù)，那么(1)(a) .(2)()a .(3)(ab) .特別地，()a(a) ，(ab) .2.向量的線性運算向量的 、 、 運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)，1，2，恒有(1a2b) .()aaaab(a)ab加減數(shù)乘1a2b例1(1)若a2bc，則化簡3(a2b)2(3bc)2(ab)等于（ ） A.a B.b C.c D.以上都不對題類一、向量的線性運算解 原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.(2)若3(xa)2(x2a)4(

3、xab)0，則x_.解 由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0， 所以x4b3a.4b3a【悟】向量線性運算的基本方法( (1)1)類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、 移項移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用， 但是但是這里的這里的“同類項同類項”“”“公因式公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù). .( (2)2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把

4、所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方方 法法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算. .【練1】計算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.題類二、用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的兩種方法【悟】(1)直接法(2)方程法當當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建平行四邊形法則建立立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，

5、然后解關(guān)于所求關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的向量的方程方程. .題類二、用已知向量表示其他向量:(1)0,.a abbaab對對于于向向量量 ，以以及及實實數(shù)數(shù) 如如果果， 那那么么 向向量量 與與 ，事事共共線線實實(|)0|-2|abbaabaabbaabba向向量量 與與 共共線線，且且向向量量的的長長度度是是向向量量 的的長長度度 即即，那那么么當當 與與 同同向向時時， 有有，當當 與與 反反向向反反過過來來， 已已時時 ，有有知知的的 倍倍。三向量共線定理向量向量a(a0)與與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使使 .b

6、a三向量共線定理思考向量共線定理中為什么規(guī)定a0?答案若將條件a0去掉，即當a0時，顯然a與b共線.(1)若b0，則不存在實數(shù)，使ba.(2)若b0，則對任意實數(shù)，都有ba.思考辨析 判斷正誤 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若向量b與a共線，則存在唯一的實數(shù)使ba.()2.若ba，則a與b共線.()3.若a0，則a0.()4.|a|a|.()題類三、向量共線的判定及應(yīng)用,a0a bb 設(shè)是兩個向量，是兩個實數(shù)，在中，例2(1)0ab若 ， 至少有一個不為，則與共線，(2)0ab若 與 共線， 至少有一個不為；000-ababab ， 向量 與向量 共線。證

7、明： (1)， 至少有一個不為，不妨，由=-10a0=-10a0abRbaabbb 向量 與向量 共線，使得即（ ），在中，至少存在 、，使得成立。證明： (2)，,0/ / )0abbaabba 是兩個向量，是兩個實數(shù)與 共線（， 至少有一若，則個不為，題類三、向量共線的判定及應(yīng)用,a0a bb 設(shè)是兩個向量，是兩個實數(shù)，在中，例2(3)0ab若只有， 全為時才成立，則與不共線，(4)= =0ab 若 與 不共線，則。00abab反證，假設(shè)向量 與向量共線，則存在使，與題設(shè)矛盾， 原結(jié)論正確。證明： (3)，至少有一個不為， 0a0bab反證，若 、 不全為 ，由，向量與向量共線，與題設(shè)矛盾

8、， 原結(jié)論成立。證明： (4),00a babab 是兩與 不共個向量，是兩個實數(shù)，若，線則三向量共線定理（另一種敘述）,0a bab ：是兩個向量，是【兩個實數(shù)，若理】，則定/ / )0abab與 共線（， 至少（ ）有一個不為20ab與 不共線（1）1212123,4.e eeekeek 例例 ：設(shè)設(shè)是是兩兩個個不不共共線線的的向向量量，而而和和共共線線， 求求實實數(shù)數(shù) 的的值值12121212-4-4eekeeRkeeee 解：和和共共線線，使使得得（），1212-1-40keeee 即即（） （），又又和和不不共共線線，-011-404kk，題類三、向量共線的判定及應(yīng)用例4設(shè)a，b是不

9、共線的兩個向量.A，B，C三點共線. 132.22tt若，共線，求實數(shù)的值baab題類三、向量共線的判定及應(yīng)用例4設(shè)a，b是不共線的兩個向量. 132.22tt若，共線，求實數(shù)的值baab 13132-2222tRt 解：，共共 線線 ， 使使 得得（） ，baabbaab13(-1)022t即即 （），與與 不不 共共 線線 ，abab11=03232-1=0=-23tt131-=.223tt當，共共 線線 時時baab【悟】(1)證明或判斷三點共線的方法 要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)，使得 即可.(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相

10、應(yīng)向量系數(shù)相等求解.A，B，DA，B，D三點共線.核心素養(yǎng)HE XIN SU YANG三點共線的常用結(jié)論A.1 B.2 C.3 D.4解 連接AO，O是BC的中點，又M，O，N三點共線，則mn2.素養(yǎng)判斷三點共線的一個常用結(jié)論： + =1.OxyOAxOB yOCABx yC 若， 為直線外一點存在實數(shù) 、， ， 三點共線使 ，則課堂練習(xí)課堂練習(xí)KE TANG LIAN XI課堂練習(xí)1.下列運算正確的個數(shù)是 (3)2a6a； 2(ab)(2ba)3a； (a2b)(2ba)0. A.0 B.1 C.2 D.3解 據(jù)向量數(shù)乘運算和加減運算規(guī)律知正確； 中，(a2b)(2ba)a2b2ba0，是零向量，而不是0，所以該運 算錯誤. 所以運算正確的個數(shù)為2.課堂練習(xí)解 因為M是BC的中點，課堂練習(xí)所以點P為線段AC的中點，故選項B正確.4.化簡4(a3b)6(2ba)_.解 4(a3b)6(2ba