空間解析幾何簡(jiǎn)介ppt課件

1、第一講第一講 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系; 2. 空間兩點(diǎn)之間的距離空間兩點(diǎn)之間的距離; 3.空間曲面、空間曲線常見(jiàn)的二次曲面空間曲面、空間曲線常見(jiàn)的二次曲面; 4.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影?？臻g曲線在坐標(biāo)面上的投影。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.初步建立空間的概念，理解空間直角坐初步建立空間的概念，理解空間直角坐標(biāo)系；標(biāo)系； 2. 理解曲面及其方程的概念；理解曲面及其方程的概念； 3. 掌握幾種特殊曲面的方程及其圖形；掌握幾種特殊曲面的方程及其圖形； 4. 理解空間直線及其方程概念；理解空間直線及其方程概念； 5. 掌握幾種空間直線方程的形

2、式特點(diǎn)；掌握幾種空間直線方程的形式特點(diǎn)； 6. 理解空間曲線及其方程概念；理解空間曲線及其方程概念； 7. 掌握幾種空間曲線及其方程形式特點(diǎn)。掌握幾種空間曲線及其方程形式特點(diǎn)。x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時(shí)，大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間直角

3、坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離,121xx

4、PM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)

5、等腰三角形三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.例例 2 2 設(shè)設(shè)P在在x軸上，它到軸上，它到)3 , 2, 0(1P的距離為的距離為到點(diǎn)到點(diǎn))1, 1 , 0(2 P的距離的兩倍，求點(diǎn)的距離的兩倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo).解解設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因因?yàn)闉镻在在x軸軸上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 曲面方程的定義：曲面方程的定義：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在

6、曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：三、空間曲面三、空間曲面水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：曲面方程的概念曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方

7、方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 例例 2 2 求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為例例 3 3 已已知知

8、)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡(jiǎn)得所求方程化簡(jiǎn)得所求方程. 07262 zyx解解zxyo1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.c圖形

9、上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（2 2已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（1 1已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程四、空間曲線四、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，

10、不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：特點(diǎn)：例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.五、常見(jiàn)曲面五、常見(jiàn)曲面ozyx（一橢球面（一橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓截面的大小隨平面位置的變化

11、而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1（二拋物面（二拋物面zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq橢圓拋物面橢圓拋物面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（三雙曲面（三雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo六、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影六、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的投

12、影柱面的投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：0),( yxH如圖如圖:投影曲線的研究過(guò)程投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線,yoz面上的投影曲線面上的投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的投影曲線面上的投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. . 211222zzyx解解（1消去變量消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3同理在同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2因?yàn)榍€在