幾何概型經(jīng)典練習(xí)習(xí)題

1、1幾何概型題目選講幾何概型題目選講1在長為 12 cm 的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于 32 cm2的概率為()錯(cuò)誤錯(cuò)誤!錯(cuò)誤錯(cuò)誤!錯(cuò)誤錯(cuò)誤!錯(cuò)誤錯(cuò)誤!解析：設(shè)ACx，由題意知x(12x)320 x4 或 8x12，所求事件的概率P401281223.2已知圓 C：2212, :4325xylxy在圓上任取一點(diǎn) P,設(shè)點(diǎn) P 到直線l的距離小于 2 的事件為 A 求 P(A)的值。解：P(A)=163設(shè)不等式組0 x20y2表示的平面區(qū)域?yàn)?D.在區(qū)域 D 內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于 2 的概率是解析：坐標(biāo)系中到原點(diǎn)距離不

2、大于 2 的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2 為半徑的圓內(nèi)及圓上，0 x2，0y2表示的區(qū)域 D為邊長為 2 的正方形及其內(nèi)部，所以所求的概率為444444.4在區(qū)間0,9上隨機(jī)取一實(shí)數(shù) x，則該實(shí)數(shù) x 滿足不等式 1log2x2 的概率為_解析：由 1log2x2，得 2x4，根據(jù)區(qū)間長度關(guān)系，得所求概率為29.5在6,9內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù) m，設(shè) f(x)x2mxm，則函數(shù) f(x)的圖像與 x 軸有公共點(diǎn)的概率等于_解析： 函數(shù) f(x)的圖像與 x 軸有公共點(diǎn)應(yīng)滿足m24m0， 解得 m4 或 m0， 又 m6,9， 故6m4 或 0m9，因此所求概率 P29151115.6甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不

3、能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是 4 小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時(shí)間為 4 小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為 2 小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率解析：(1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為 x、y，則 0 x24,0y24 且 yx4 或 yx4.作出區(qū)域0 x24，0y24，yx4 或 yx4.設(shè)“兩船無需等待碼頭空出”為事件 A，則 P(A)212202024242536.(2)當(dāng)甲船的停泊時(shí)間為 4 小時(shí)， 乙船的停泊時(shí)間為 2 小時(shí)， 兩船不需等待碼頭空出， 則滿足 xy

4、2 或 yx4.2設(shè)在上述條件時(shí)“兩船不需等待碼頭空出”為事件 B，畫出區(qū)域0 x24，0y24，yx4 或 xy2.P(B)1220201222222424442576221288.7.知 k 2,2 ， 則 k 的值使得過 A(1,1)可以作兩條直線與圓 x2y2kx2y54k0 相切的概率等于【解析】.圓的方程化為222k5kk(x)(y 1)1244 ，5kk240，k1.過 A(1,1)可以作兩條直線與圓222k5kk(x)(y 1)1244 相切，A(1,1)在圓外，得222k5kk(1)(1 1)1244 ，k040，k k 1.1.過過A A(1,1)(1,1)可以作兩可以作兩

5、條直線與圓條直線與圓x xk k2 22 2( (y y1)1)2 25 5k k4 4k k2 24 41 1 相切，相切，A A(1,1)(1,1)在圓外，得在圓外，得1 1k k2 22 2(1(11)1)2 2 5 5k k4 4k k2 24 41 1，k k00，故，故k k( (1,0)1,0)，其區(qū)間長度為，其區(qū)間長度為 1 1，因?yàn)?，因?yàn)閗 k 2,22,2，其區(qū)間長度為，其區(qū)間長度為 4 4，P P1 14 4. .9 9已知集合已知集合A A x x| |33x x11，B Bx x|x x2 2x x3 300.(1).(1)求求A AB B，A AB B；(2)(2)

6、在區(qū)間在區(qū)間( (4,4)4,4)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x x，求求“x xA AB B”的概率的概率；(3)(3)設(shè)設(shè)( (a a，b b) )為有序?qū)崝?shù)對(duì)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中其中a a是從集是從集合合A A中任取的一個(gè)整數(shù)，中任取的一個(gè)整數(shù)，b b是從集合是從集合B B中任取的一個(gè)整數(shù)，求中任取的一個(gè)整數(shù)，求“b ba aA AB B”的概率的概率解：解：(1)(1)由已知由已知B B x x| |22x x33，A AB B x x| |22x x11，A AB B x x| |33x x3(a ab b) )2 2恒成立恒成立”的概率的概率3解解：(1)(1)由題意可知由題意可知：

7、n n1 11 1n n1 12 2，解得解得n n2.2.(2)(2)不放回地隨機(jī)抽取不放回地隨機(jī)抽取 2 2 個(gè)小球的所有基本事件為個(gè)小球的所有基本事件為：(0,1)(0,1)，(0,2(0,21 1) )，(0,2(0,22 2) )，(1,0)(1,0)，(1,2(1,21 1) )，(1,2(1,22 2) )，(2(21,1,0)0)，(2(21,1,1)1)，(2(21,1,2 22 2) )，(2(22,2,0)0)，(2(22,2,1)1)，(2(22,2,2 21 1) )，共共 1212 個(gè)個(gè)，事件事件A A包包含的基本事件為：含的基本事件為：(0,2(0,21 1) )

8、，(0,2(0,22 2) )，(2(21,1,0)0)，(2(22,2,0)0)，共，共 4 4 個(gè)個(gè)P P( (A A) )4 412121 13 3. .記記“x x2 2y y2 2(a ab b) )2 2恒成立恒成立”為為事件事件B B，則事件，則事件B B等價(jià)于等價(jià)于“x x2 2y y2 244”，( (x x，y y) )可以看成平面中的點(diǎn)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可以看成平面中的點(diǎn)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域(x x，y y)|0)|0 x x2,02,0y y2 2，x x，y yRR，而事件B所構(gòu)成的區(qū)域B(x，y)|x2y24，(x，y)，P(B)SBS222214.11、

9、“已知圓 C：x2y212，設(shè) M 為此圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn) N，連接 MN.”求弦 MN 的長超過 26的概率解：如圖，在圖上過圓心 O 作 OM直徑 CD.則 MDMC2 6.當(dāng) N 點(diǎn)不在半圓弧 CMD上時(shí)，MN2 6.所以 P(A)2 322 312.12(1)已知 A 是圓上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置上任取一點(diǎn) A，則 AA的長度小于半徑的概率為_(2)在 RtABC 中，BAC90，AB1，BC2.在 BC 邊上任取一點(diǎn) M，則AMB90的概率為_解析：(1)如圖，滿足 AA的長度小于半徑的點(diǎn) A位于劣弧 BAC上，其中ABO 和ACO為等邊三角形，可知BOC23

10、，故所求事件的概率 P23213.(2)如圖，在 RtABC 中，作 ADBC，D 為垂足，由題意可得 BD12，且點(diǎn) M 在 BD 上時(shí)，滿足AMB90，故所求概率 PBDBC12214.答案：(1)13(2)1413在體積為 V 的三棱錐 SABC 的棱 AB 上任取一點(diǎn) P，則三棱錐 SAPC 的體積大于V3的概率是_解析：如圖，三棱錐 SABC 的高與三棱錐 SAPC 的高相同作 PMAC 于 M，BNAC 于 N，則PM、BN 分別為APC 與ABC 的高，所以VSAPCVSABCSAPCSABCPMBN，又PMBNAPAB，所以APAB13時(shí)，滿足條件設(shè)ADAB13，則 P 在 B

11、D 上，所求的概率 PBDBA23.14在區(qū)間0,1上任取兩個(gè)數(shù) a，b，則函數(shù) f(x)x2axb2 無零點(diǎn)的概率為解析：要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需 a24b20，即(a2b)(a2b)0.4a，b0,1，a2b0，a2b0.作出0a1，0b1，a2b0的可行域，易得該函數(shù)無零點(diǎn)的概率 P1121121134.15設(shè) AB6，在線段 AB 上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn) A、B 除外)，將線段 AB 分成了三條線段(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率解：(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能情況是 1,1,4；1,2,3；2,2,2 共 3種情況，其中只有三條線段長為 2,2,2 時(shí)，能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為 P13.(2)設(shè)其中