武漢大學(xué)大地測量學(xué)課件第4章

1、1 第四章第四章 地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論24.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系 地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球, ,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)( (或稱元素或稱元素):): 長半軸長半軸 短半軸短半軸 橢圓的扁率橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率橢圓的第二偏心率 通常用通常用a , aba abae22abae22ee3 為簡化書寫，還常引入以下符號(hào)2222, tan , cosactBeBbBeVBeW2222cos1

2、sin1221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系44.2 橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.1 各種坐標(biāo)系的建立各種坐標(biāo)系的建立1、大地坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系大地經(jīng)度大地經(jīng)度B 大地緯度大地緯度L 大地高大地高H 52、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球位于總地球橢球( (或參考橢球或參考橢球) )質(zhì)心；質(zhì)心；Z Z軸軸與地與地球平均自轉(zhuǎn)

3、軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X X軸軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)與赤道面的交點(diǎn)G G；Y Y軸軸與此平面垂直，且指向東為正。與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系63、子午面直角坐標(biāo)系子午面直角坐標(biāo)系 設(shè)設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過在過P點(diǎn)的子午面上，以點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x, y

4、平面直角坐標(biāo)系。在平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用點(diǎn)的位置用L, x, y表示。表示。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系74、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢球面上設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓在此子午面上以橢圓中心中心O為原點(diǎn)建立為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系地心緯度坐標(biāo)系; 以橢球長半徑以橢球長半徑a為半為半徑作輔助圓，延長徑作輔助圓，延長與輔助圓相交與輔助圓相交點(diǎn)，則點(diǎn)，則OP與與x軸夾角稱為軸夾角稱為P點(diǎn)的點(diǎn)的歸化緯度歸化緯度u。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系8常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)

5、系5 5、大地極坐標(biāo)系、大地極坐標(biāo)系 M是橢球面上一點(diǎn)，是橢球面上一點(diǎn)，MN是過是過M的子午線，的子午線，S為連接為連接MP的大地線長，的大地線長，A為大地線在為大地線在M點(diǎn)的方位角。點(diǎn)的方位角。 以以M為極點(diǎn)；為極點(diǎn)； MN為極軸；為極軸； P點(diǎn)極坐標(biāo)為（點(diǎn)極坐標(biāo)為（S, A)9常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.2 坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系 子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 22221(1)xy abyxabdxdy22222c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(010常用坐

6、標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 令令: pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos2211常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系c o s, s in, XxLYxLZyl空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系12常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 2coscoscossincossin(1) sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(cos

7、cos)(2nH0l空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系在橢球面上的點(diǎn)：在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：13常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)14 B、u、 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 B和u之間的關(guān)系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcos

8、cos常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系15uexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系n U、之間的關(guān)系之間的關(guān)系n 、之間的關(guān)系之間的關(guān)系n 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)過計(jì)算，當(dāng)B=45時(shí)時(shí)164.3 橢球面上的幾種曲率半徑橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作 法截面法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線法截線。 子午圈曲率半徑d

9、BdSM17BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑1823(1)aeMW3VcM 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑19 卯酉圈曲率半徑(N) 卯酉圈卯酉圈: :過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 麥尼爾定理麥尼爾定理: :

10、假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑20BNrcosWBarxcosWaN VcN BrBPONPncoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑21 卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn)卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn): : 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸卯酉圈曲率半徑恰好等于法線

11、介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。軸上。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑22主曲率半徑的計(jì)算主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑以上討論的子午圈曲率半徑M M及卯酉圈曲率半徑及卯酉圈曲率半徑N N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。統(tǒng)稱為主曲率半徑。 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220s

12、insinsinsin橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑236284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑242322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑251011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmemmemeac

13、m109) (876543211/821062842622402220nennennennenneneacn26 任意法截弧的曲率半徑任意法截弧的曲率半徑 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑27 任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律: 不僅與點(diǎn)的緯度不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角截弧的方位角A有關(guān)。有關(guān)。 當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即； 當(dāng)當(dāng)90時(shí)，為卯酉

14、圈曲率半徑，即時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑。主曲率半徑M及及N分別是分別是的極小值和極大值的極小值和極大值。 當(dāng)當(dāng)A由由090時(shí)，時(shí)，之值由之值由，當(dāng)，當(dāng)A由由90180時(shí)，時(shí)，值由值由N，可見，可見值的變化是以值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑28l 平均曲率半徑平均曲率半徑 橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑 R R 等于該點(diǎn)子午等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑圈曲率半徑M M和卯酉圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑N N的幾何平均值。的幾何平均值。 MNR 22221eWaVNVcWb

15、R橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑29 M，N，R的關(guān)系 MRNcMRN909090橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑30 對(duì)于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑314.4 橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算 子午線弧長計(jì)算公式子午線弧長計(jì)算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin32橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183s

16、in2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin2864203312816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑34 如果以如果以B B9090代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長約為長約為10 002 13710 002 137m m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為為40 008 549

17、.99540 008 549.995m m。即一象限子午線弧長約為即一象限子午線弧長約為10 10 000000kmkm，地球周長約為地球周長約為40 00040 000kmkm。 為求子午線上兩個(gè)緯度為求子午線上兩個(gè)緯度B及間的弧長，只需按及間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的式分別算出相應(yīng)的X及及X，而后取差：而后取差：，該，該即為所求的弧長。即為所求的弧長。 當(dāng)弧長甚短當(dāng)弧長甚短( (例如例如X40kmX40km，計(jì)算精度到計(jì)算精度到0.0010.001m)m)，可視可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑

18、子午圈的曲率半徑M M 橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算35 由子午弧長求大地緯度 迭代解法迭代解法: : 平行圈弧長公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算36橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算 子午線弧長和平行圈弧長變化的比較子午線弧長和平行圈弧長變化的比較374.5 大地線大地線 兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的球面上是兩點(diǎn)

19、間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢一條線呢? ? 它應(yīng)是大地線。它應(yīng)是大地線。 相對(duì)法截線相對(duì)法截線 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba38 相對(duì)法截線相對(duì)法截線 大地線大地線39 相對(duì)法截線的特點(diǎn)相對(duì)法截線的特點(diǎn): :當(dāng)當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。時(shí)，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角各點(diǎn)上正法

20、截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。線構(gòu)成的單一的三角形。 大地線大地線40大地線大地線大地線的定義和性質(zhì)大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線大地線。41 大地線的性質(zhì)大地線的性質(zhì): : 大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角的夾角

21、在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。 長度差異可忽略長度差異可忽略, ,方向差異需改化。方向差異需改化。 31大地線大地線42 大地線的微分方程和克萊勞方程大地線的微分方程和克萊勞方程 大地線的微分方程大地線的微分方程43AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)s

22、insin(90(90)dAdLBdB大地線的微分方程大地線的微分方程44dSMAdBcosBNBdBMAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnCAr sinBdSNAdAtansin大地線的微分方程大地線的微分方程大地線的克萊勞方程大地線的克萊勞方程 在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)也叫大地線常數(shù) 45 當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)當(dāng)大地線穿越赤道時(shí) 當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí)當(dāng)大地線達(dá)極

23、小平行圈時(shí) 由克萊勞方程可以寫出由克萊勞方程可以寫出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos464.6 將地面觀測值歸算至橢球面將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：歸算的兩條基本要求： 以橢球面的法線為基準(zhǔn)；以橢球面的法線為基準(zhǔn)； 將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。 將地面觀測的水平方向歸算

24、至橢球面將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三三差改正差改正。 47垂線偏差改正垂線偏差改正 以測站以測站A為中心為中心作出單位半徑的作出單位半徑的輔助球輔助球, ,u是垂線是垂線偏差，它在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上的圈和卯酉圈上的分量分別以分量分別以,表示，表示，M是地面觀測目標(biāo)是地面觀測目標(biāo)m在球在球面上的投影。垂線偏差對(duì)水平方向的影響是面上的投影。垂線偏差對(duì)水平方向的影響是(R-R1) 11tan)cossin(

25、cot)cossin(mmmmuAAZAA地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面48 標(biāo)高差改正 222212cossin22heHBAMaHH常2地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面49 截面差改正截面差改正 2222111() cossin 212geSBAN 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面50 將地面觀測的長度歸算至橢球面將地面觀測的長度歸算至橢球面 基線尺量距的歸算基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長度，以可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長度，以表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢

26、球面上的大地線長表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度度S。 1. 1.垂線偏差對(duì)長度歸算的影響垂線偏差對(duì)長度歸算的影響 )(22122121HHuuhuuSu地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面512.高程對(duì)長度歸算的影響高程對(duì)長度歸算的影響 RHRHRSSmm10101RHSSm2201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面52電磁波測距的歸算電磁波測距的歸算 12212coscos1ABeNRA)( 2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21cosc

27、os2)(4)(2sin1221222HRHRHHDRSAAA地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面53)1)(1()(1arcsin221212AAAARHRHDHHRDRS232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS232242AAmRDRHDDhDS2322241AAmRDRHhDS)1)(1 ()(121212AARHRHDHHDd地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面54 大地測量主題解大地測量主題解算算4.7.1 大地主題解算的一般說明大地主題解算的一般說明 主題解算分為主題解算分為: : 短距離短距離(400(400kmkm) ) 中距離中距離(

28、1000(1000km)km) 長距離長距離(1000(1000kmkm以上以上) ) 111 21 2222 1(,) ,(,) ,P B L S A P B L A12正 算 : 已 知 求11221 21 22 1(,),(,),P B L P B L S A A12反 算 : 已 知 ， 求551.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。 主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離收斂越慢，因此只適用于較短的距離

29、典型解法：典型解法：高斯平均引數(shù)法高斯平均引數(shù)法 212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd SMALLd SNBBAAA d SNc o ss i nc o st a ns i nd BAd SMd LAd SNBd ABAd SN 大地測量主題解算大地測量主題解算562.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面 向球面的過渡；向球面的過渡；2)2)在球面上解算大地問題；在球面上解算大地問題；3)3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)按球面上

30、得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過渡?，F(xiàn)從圓球向橢球的過渡。典型解法：典型解法：白塞爾大地主題解算白塞爾大地主題解算 特點(diǎn)：特點(diǎn)：解算精度與距離長短無關(guān)，它既適用于短距離解算精度與距離長短無關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應(yīng)解算，也適用于長距離解算?？蛇m應(yīng)20 00020 000kmkm或更長的或更長的距離，這對(duì)于國際聯(lián)測，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都距離，這對(duì)于國際聯(lián)測，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。具有重要意義。 大地測量主題解算大地測量主題解算574.7.2 勒讓德級(jí)數(shù)式勒讓德級(jí)數(shù)式 為了計(jì)算為了計(jì)算 的級(jí)數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求的級(jí)數(shù)展開

31、式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。各階導(dǎo)數(shù)。22332111112323nnnd BSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 22332111112323nnnd LSdLd LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()! 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A, 大地測量主題解算大地測量主題解算58 一階導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)：3coscossinsecsincostan

32、sintansindBAVAdSMcdLAVBBdSNBcdABVABAdSNc 二階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：242222234 190()()(cossin)()d BdB dBdB dAVtAA dSB dS dSA dS dSc 大地測量主題解算大地測量主題解算59 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)22222()()secsincos(4 192)d LdL dBdL dAVtBAA dSB dS dSA dS dSc 2222221 24 194()()sin cos ()()d AdA dBdA dAVAAt dSB dS dSA dS dSc 352222 22222331 39312 2d BVAAtt

33、At5 t dSccos sin()cos() 32322d LVtBAA dScsec sin cos 332222233213d LVBAA+ ttA dScsecsincos()sin 大地測量主題解算大地測量主題解算601cosuSA 1sinvSA 大地測量主題解算大地測量主題解算61 大地測量主題解算大地測量主題解算62 大地測量主題解算大地測量主題解算63 4.7.3 高斯平均引數(shù)正算公式高斯平均引數(shù)正算公式 高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：的基本思想： 首先把勒讓德級(jí)數(shù)在首先把勒讓德級(jí)數(shù)在 P P點(diǎn)展點(diǎn)展開改在大地線長度中點(diǎn)開改在大地線長度中點(diǎn)M M

34、展開，以展開，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn) M M 的復(fù)雜性，將的復(fù)雜性，將 M M 點(diǎn)用大地線兩點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的應(yīng)的 m m 點(diǎn)來代替，并借助迭代計(jì)點(diǎn)來代替，并借助迭代計(jì)算算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。 大地測量主題解算大地測量主題解算6421,22SSMP MP 223322311()()()(4200)22468MMdBSd B Sd B SBB dSdSdS223312311()()()(4201)22468MMMMd

35、BSd BSd BSBB dSdSdS (1)建立級(jí)數(shù)展開式建立級(jí)數(shù)展開式: 33213()()(4202)24MMdBd BBBBSS dSdS 大地測量主題解算大地測量主題解算65mMmMBB AA, 3321324MMdLd LLLLSSdSdS()() 332112324MMdAd AAAASSdSdS()() 2121121118022mmBBB AAA(),() 同理可得同理可得: MMmm BABA,(2) 大地測量主題解算大地測量主題解算66MmmMmMmmmdBfff BABBAAdSBA()(,)()()()() +22222288MmMmSd AAAdSSd A dS()

36、() MMMmMmmMmdBf BAF BBB AAAdS()(,)(,) +MmmMmMmmmdBdBdBdSdSf BABBAAdSBA()()()(,)()()()() +22222288MmMmSd BBBdSSd B dS()() 大地測量主題解算大地測量主題解算67 大地測量主題解算大地測量主題解算32mmmmmmmmAVVdBAAdSMcNcos()coscos 323mmmmmmmVdBAdSctABBN()(cos)()cos (3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):32mmmmmmVdBAVdScAAAN()(cos)()sin 6822222222

37、2388mMmmmmmmmmS VSd BBBtAtAdSN()(sincos) 22222221288MmmmmmmmSd ASAAAAt dSN()sincos() 222222223223333812mmMmm mmmmmmm22mmmmmmVVdBSSAA tAAS +dSNNV AAt +S +5 8N()coscos(sincos)sincos()次 大地測量主題解算大地測量主題解算6923322222332222313924243155mMmmmmmmm22mmmmmmVSd BAAtt +dSN At +tS + ()cossin()cos() 次222222122222212

38、32243195mmmmmmmmmmm mVSBBBSAAtNN At()cossin()cos() 次大地測量主題解算大地測量主題解算70 同理可得：同理可得：22222222124195mmmmmmmmmmSLSBAAtNN Atsecsinsincos() 次22222242221279245225m mmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次大地測量主題解算大地測量主題解算71 注意： 從公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。 除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其

39、計(jì)算經(jīng)緯計(jì)算精度可達(dá)到0.0001”, 方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001”。21211111()222mBBBBBBBB1212m AAA21212112,180BBB LLL AAA724.7.4 高斯平均引數(shù)反算公式高斯平均引數(shù)反算公式 高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出:上述兩式的主式為:222222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmm mSALSANBS tAN SAt2222222222222coscossin(232)243cos(14)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt 2sincos,cosmmmmmmNLBSANB

40、 SAV73230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos 3222201210333192424mmmmmmmm mmNNBNBrB rt rtcoscoscos,(), 2222222101230233233248mmmmmmmmmmmNNBNs stt stVcos,(),() 2432012103221132212412mmm mmmm mmttB tB t tB tcos,cos(),cos() 74已知：求得：1474652.6470B 135 49 36.3300L 1244 12 13.6640A 4

41、4 797.2826S m248 04 09.6384B 23614 45.0004L 2122430.550A 53122111,18022mmAAA AAAsintancosmmmSAASAsinsinmmSASA754.7.5 白塞爾大地主題解算方法白塞爾大地主題解算方法 白塞爾法解算大地主題的基本思想白塞爾法解算大地主題的基本思想: : 以輔助球面為基礎(chǔ)以輔助球面為基礎(chǔ), ,將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形助球面的相應(yīng)三角形, ,由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系, ,將將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件

42、投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。 這種方法的關(guān)鍵問題是找出橢球面上的大地這種方法的關(guān)鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式, ,同時(shí)也要同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。 12121212,BBAAL S 76 在球面上進(jìn)行大地主題解算在球面上進(jìn)行大地主題解算 球面上大地主題正算球面上大地主題正算: : 已知已知 求解求解 球面上大地主題反算球面上大地主題反算:

43、 : 已知已知 求解求解22 , 11 , 12 , 12 , 771、球面三角元素間的相互關(guān)系、球面三角元素間的相互關(guān)系12211121221212 a b c sinsinsincos( )sinsinsincos( )sincoscossinsincoscos( )sincossincoscossinc 12122111221112211 d e f g os()cossinsincoscoscos( )coscoscoscossinsincos()coscossinsincoscoscos()cossincossin 2111 h i( )sinsincoscossincos( ) 7

44、8 球面上大地主題正解112, 2已 知 求,2111sinsincoscossin cos( ) i1111sinsintan( ) ( )coscossinsincos af112111cossintan( ) ( )coscos cossinsin hg79 球面上大地主題反解方法球面上大地主題反解方法 1212, 已 知， 求,121212sin costan( ) ( )coscoscossincosu bduuuu211212sin costan( ) ( )cossinsincoscosp acq111212sincostan( )sinsincoscoscospq p802 2

45、 、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式81 在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:AdBdSMAdLdSNBBdAAdSNcossincostansin dddddAdcossincostansin 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABA dS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 82白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：1. 1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等；大地

46、線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等；3.3.球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸化緯度化緯度。 121212,Aa Aa2111111tan1tantan(1)tanueBuBu2222122tan1tantan(1)tanueBuBu83,?S L 2211dSNNucaNeedBABVVtansintantansintan 2222222222222111111eVeBWue VueueVcoscoscoscos 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABAdS dNdcos()coscossin()cossintansin

47、()tansin 842122211PPLLLeudcos 221dLeudcos 21222211ppdSaeuSaeuddcoscos 1dLudSudNB dBVcossincossin 以上為白塞爾微分方程以上為白塞爾微分方程.85 3 、白塞爾微分方程的積分白塞爾微分方程的積分21221ppSaeudcos 1019090uAcos()sin()sin 2221011uAcoscossin 21212220222201111ppppSaeAd =aeeAd(cossin)cossin 862201Sbkd(sin) kkkk246221 2246(1sin)1sinsinsin281

48、6 24611222311248285153124616321632xxxxxxxxxsincossincoscossincoscoscoskeA2220cos 87 積分得到下式：積分得到下式：1111122222sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2SABCSABC11222222SABCBCsin(cos)sin(cos) 2462464635146 42 5 61 583 21 0 2 431 2 85 1 6kkkAbkkBbkkCbk()()() 88 反算反算: 正算正算: 迭代法迭代法: 直接法:1122sin 2(cos2)sin 2(cos2)SABC

49、BC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 001101522BCAcos ()sin () 89 適合于反算: 適合于正算: 迭代法: 直接法:1122sin 2(cos 2)sin 2(cos 2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 001101522BCAcos ()sin ()902122211QQLLLeudcos 212124624621246242128162816QQQQeeeLLLuuudeee uuud(coscos

50、cos(coscos)cos 22201uAcoscossin 09090AAucos()sin sin() AddNusincos 20udAdcossin 91 將三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項(xiàng)，積分。截去4倍角項(xiàng)，其值小于0.0001秒。212464622006440281681616QQeeeeeLAAe + +Ad sin()()cossin()cossin 92 正算：正算： 反算：反算：1111AuuAsinsintancoscossinsincos 2102122LLLAsin(sinsin) 02122LAsin(sinsin) 246466240046624003

51、281616 16128323264eeeeeeAAeeeAA() ()cos()cos()cos()cos 934 白塞爾法大地主題正算步驟白塞爾法大地主題正算步驟 1.計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度2.計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)A,B,CA,B,C以及以及, 1111222221BLAAS B LAA,(),()22111WeBsin 21111 euBWsinsin 1111uBWcoscos 011111AuA tgtguAsincossinsec 94 4.計(jì)算球面長度計(jì)算球面長度 迭代

52、法: 直接法:111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 10101022222sin ()sinsincoscos 10101022222cos ()coscossinsin 001101522BCAcos ()sin ()95 5.計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù)計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù) 6.計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角 010122LAsin(sin()sin) 2111uuuAsinsincoscoscossin 2222222222222222222222111111111euB uBWW ueBuu B Bar

53、ctaneueusinsincoscostantansinsintancos-cos 96112111uAAarctanuAucossincoscoscossinsin 1111AarctanuuAsinsincoscossinsincos 21LL 975 白塞爾法大地主題反算步驟白塞爾法大地主題反算步驟 1. 1.輔助計(jì)算輔助計(jì)算112112BLBL AAS,21lLL 22111WeBsin 22221WeBsin 21111BueWsinsin 22221BueWsinsin 111BuWcoscos 222BuWcoscos 112auusinsin 212auucoscos 112

54、buucossin 212buusincos 982.用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長度及用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長度及經(jīng)差經(jīng)差 ，第一次趨近時(shí)，取第一次趨近時(shí)，取。211212upAuuuuqsincostancossinsincoscos 2121ppu qbb Aarctanqsincoscos 11pAqAsincostancos 11pAqAsinsincos 12aacoscos arctansincos L L99 計(jì)算下式計(jì)算下式,重復(fù)上述計(jì)算過程重復(fù)上述計(jì)算過程2.3. 計(jì)算大地線長度計(jì)算大地線長度S 4. 計(jì)算反方位角計(jì)算反方位角21+ 111uA

55、tantansec 011AuAsincossin 02122LAsin(sinsin) L 11222222SABCBCsin(cos)sin(cos) 1212uAbbc o ss ina r c t a nc o s 100101102),(),(21BLFyBLFx4.8 地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念 1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程 所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說來就是將橢球面上元素所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上，

56、研究這個(gè)問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。上，研究這個(gè)問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。投影變換的基本概念投影變換的基本概念103 2 、地圖投影的變形地圖投影的變形1.長度比 : 長度比長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。二者之比。 不不同點(diǎn)上的長同點(diǎn)上的長度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長度比也不相同度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長度比也不相同 1212012p pPPmP Plim dsmdS 投影變換的基本概念投影變換的基本概念1042.主方向和變形橢圓主方向和變形橢圓 投影后一點(diǎn)的長度比

57、依方向不同而變化。其中最大及投影后一點(diǎn)的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。最小長度比的方向，稱為主方向。 在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長度比在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。的極值方向，也就是主方向。 投影變換的基本概念投影變換的基本概念105 , a bxy122byax,12222byaxrrm1投影變換的基本概念投影變換的基本概念 以定點(diǎn)為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個(gè)長以定點(diǎn)為中心，以長度比的

58、數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個(gè)長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。106 3.投影變形 1 1）長度變形長度變形 2222sincosbarm1 mvbyax,投影變換的基本概念投影變換的基本概念1072）方向變形方向變形 tantanababxy) sin() sin(babababa)sin(sin00abba00tan,tan投影變換的基本概念投影變換的基本概念1083）角度變形：角度變形： 角度變形就是投影前的角度角度變形就是投影前的角度u u 與投影后對(duì)應(yīng)角度與投影后對(duì)應(yīng)角度uu之差之差 211111801802u 21111180180

59、2u 112uuuaa() 2uababsin 22abuabarcsin 投影變換的基本概念投影變換的基本概念1094）面積變形：面積變形：P-1P-14.8.3 4.8.3 地圖投影的分類地圖投影的分類1.1.按變形性質(zhì)分類按變形性質(zhì)分類1 1）等角投影：投影前后的角度不變形，投影的長度比等角投影：投影前后的角度不變形，投影的長度比與方向無關(guān)，即某點(diǎn)的長度比是一個(gè)常數(shù)，又把等與方向無關(guān)，即某點(diǎn)的長度比是一個(gè)常數(shù)，又把等角投影稱為正形投影。角投影稱為正形投影。 2）等積投影：投影前后的面積不變形等積投影：投影前后的面積不變形. . 3）任意投影：既不等角，又不等積任意投影：既不等角，又不等積

60、. . ababP投影變換的基本概念投影變換的基本概念1102.按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類 1）方位投影方位投影 取一平面與橢球極點(diǎn)相切，取一平面與橢球極點(diǎn)相切，將極點(diǎn)附近區(qū)域投影在該將極點(diǎn)附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以平面上。緯線投影后為以極點(diǎn)為圓心的同心圓，而極點(diǎn)為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。線交角不變。 Light SourcelBf),(投影變換的基本概念投影變換的基本概念111 2）圓錐投影圓錐投影: 取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪