曲邊梯形的面積教學設計人教課標版(新教案)

1、河北正定中學毛雙景一、教學內(nèi)容解析微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段導數(shù)和定積分都是微積分的核心概念，它們有極其豐富的實際背景和廣泛的應用本節(jié)課是人教版選修第一章第五節(jié)定積分的起始課，曲邊梯形的面積是定積分概念的幾何背景，求曲邊梯形面積的過程蘊含著定積分的基本思想方法，為引入定積分的概念和體會定積分的基本思想奠定基礎二 . 學生學情分析：本節(jié)課的教學對象是石家莊市重點中學的學生，學生的思維比較活躍，數(shù)學基礎較好，理解能力、運算能力和學習交流能力較強學生在本節(jié)課之前已經(jīng)具備的認知基礎有如下幾個方面.（）在過去的學習中，學生已經(jīng)知道“直邊圖形”面積的求法，知道

2、通過割補的方法將不規(guī)則圖形轉化為若干規(guī)則圖形來計算面積.（）在（數(shù)學）必修中的閱讀與思考內(nèi)容中已有了對劉徽的“割圓術”具體介紹，個別學生對“以直代曲” “逐步逼近”思想已有所了解 .（）學生在學習本節(jié)前已經(jīng)知道如何對數(shù)列進行求和.學生在本節(jié)課學習中將會面臨兩個難點：一是如何“以直代曲”，即學生如何將割圓術中“以直代曲、無限逼近”的思想靈活地遷移到一般的曲邊梯形上，具體來說就是：如何選擇適當?shù)闹边厛D形（矩形、三角形、梯形）代替曲邊梯形，并使細分的過程程序化且便于操作和計算；二是對“極限”和“無限逼近”的理解，即理解為什么將直邊圖形面積和取極限正好是曲邊梯形面積的精確值.三、教學目標分析依據(jù)教學大

3、綱，結合教材內(nèi)容和學生的認知水平，我將本節(jié)課的教學目標確定如下：（） 知識與技能: 從問題情境中了解定積分的實際背景；掌握求曲邊梯形面積的方法及步驟；（）過程與方法: 經(jīng)歷求曲邊梯形面積的過程，體會“以直代曲”、 “無限逼近”的微積分基本思想方法；（） 情感、 態(tài)度與價值觀: 讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學知識產(chǎn)生的過程，提升學生的交流合作意識，體驗“有限與無限對應統(tǒng)一”的辯證觀點 .四、教學重點、難點：重點： 探究求曲邊梯形面積的方法.難點： 把 “以直代曲”的思想方法轉化為具體可操作的步驟，理解 “無限逼近”思想的方法.五、教學策略分析：根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，學生情況和教學目標，為了突出教學重點，突破

4、難點，體現(xiàn)新課標“以人為本，主動發(fā)展”的教學理念，教學中采用“教師設疑引導，學生交流合作”的教學方法，通過問題激發(fā)學生的思維，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)、探究、合作、交流、展示，使其在探究中對問題本質(zhì)的思考逐步深入，思維水平不斷提高。針對本節(jié)課的重點探究求曲邊梯形面積的方法， 教學中采用從一般到特殊再到一般的教學過程，先通過討論一般的曲邊梯形如何以直代曲，再通過特例應用實施，小結步驟，最后進行一般推廣，共性歸納，從而逐步強化求曲邊梯形面積的方法和步驟，突出教學重點本節(jié)課的難點之一就是如何“以直代曲”針對這個難點，教學中采取兩個措施一是引導學生在回顧割圓術的過程中思考：為什么用正多邊形計算圓的面積？為什么讓邊

5、數(shù)逐次加倍？怎樣才能 “越來越接近”？通過以上幾個問題的討論使學生對割圓術的認識不僅僅停留在思想和方法層面，同時引導學生在以往的學習和生活中也有以直代曲的例子，使學生對以直代曲的方法認識清楚二是通過分組的方式讓學生進行自主探究，通過分析和比較各種方案優(yōu)劣繁簡，為后面的具體操作奠定基礎本節(jié)課的另一個難點是對“極限”和“無限逼近”的理解針對這個難點，教學中先分別采用圖形、數(shù)表兩種方式呈現(xiàn)逐漸細分和無限逼近的過程，通過對含n 的代數(shù)式對變量n的理解，當n 趨近于無窮大時，Sn 都趨近于同一個常數(shù)，在此基礎上引出取極限的方法，使學生從感性認識上升到理性認識的過程水到渠成六、教具分析為更好的完成教學目標

6、，體現(xiàn)學生探究學習的過程，利用實物投影展現(xiàn)學生研究成果；借助教學課件形象直觀的展示問題；利用幾何畫板軟件動態(tài)演示分割變細過程，感悟無限逼近的極限思想.七、教學過程設計：為實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，根據(jù)“啟發(fā)性原則”和“循序漸進原則”，我把教學過程設計為“問題引入尋找方案實施方案解覺問題提煉本質(zhì)”五個階段（）問題引入，點出課題：問題： 在實際生活中，經(jīng)常會遇見一些不規(guī)則的曲邊圍成的平面圖形（ 如圖蔬菜大棚的橫截面 ） ，你能求這些圖形的面積嗎？如右圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線我們把由直線x a , x b（a b） , y 0和曲線 y f（x）所圍成的圖形稱為曲邊

7、梯形問題 ： 求 yx2與 y 0軸及 x 1所圍成的平面圖形面積？設計意圖：在初等數(shù)學中，學生已經(jīng)學習了一些簡單圖形的面積，但實際生活中出現(xiàn)的圖形常是具有不規(guī)則的曲邊，這是定積分要解決的問題，產(chǎn)生學生的認知矛盾， 激發(fā)學生的探究欲望, 設置兩個問題也符合學生的認知水平，符合從特殊到 （二）尋找方案學生活動（）思考：目前為止能求面積的平面圖形，并說明是什么方法？面積做鋪墊，并引導學生積極的參與到學習活動中來。設計意圖：溫故知新，復習用公式法、割補法等求平面圖形的幾種方法，為研究曲邊梯形的學生活動（）圓的面積如何推導的？設計意圖：通過查閱資料讓學生對以直代曲的思想方法有個初步的了解，為研究曲邊梯

8、形的方法做好鋪墊.學生活動（）在日常生活和以前的學習中，有沒有體現(xiàn)一直帶曲、無限逼近的方法，請舉例設計意圖：通過曲線上某點出的切線、拱形門洞、球的表面積推導過程，讓學生從不同角度認識到以直代曲是一種研究問題的方法，為進一步研究曲邊梯形的面積提供能讓學生理解、順利接受的方法。學生活動（）：為什么要逐次加倍正多邊形的邊數(shù)？解無限逼近的思想，分割的越多，誤差就會越小，為下面對曲邊梯形的分割提供支持. 分割：學生活動（） ：請討論：如何分割？ 展示學習小組的部分分割的方案：矩形不足矩形中點梯形代替設計意圖：學生的思維是比較發(fā)散的，分割的時候可能有不同的角度，表揚學生的個性，通過對比交流，確定容易操作的

9、分割方案，培養(yǎng)學生的辯證思維意識 .學生活動（）：請討論：分割多少份合適？設計意圖：學生只知道分割，具體分割多少份不知道如何確定，利用劉徽的割圓術，知道分割的越多，誤差越小，為了便于操作，引導學生會利用控制分割的份數(shù)，把 分割成等份. 近似代替：學生活動（）：以什么樣的直邊圖形近似代替小曲邊圖形？ 展示學習小組的部分近似代替的方案：設計意圖：學生分割后，轉化成個曲邊梯形，利用直邊圖形代替，不同的小組可能有不同的方案，通過學生合作交流確定方案，讓學生感受不同角度思考問題，每一種方案都體現(xiàn)出學生的智慧，對學生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)有很大的促進作用. 求和：學生活動（）：如何用的式子表示直邊圖形的面積和？

10、展示學習小組部分計算結果：111（）以左端點函數(shù)值計算：S1（1）（1）3 n 2n111（）.以右端點函數(shù)值計算S21 （1 1 ）（11 ）2 3 n 2n11（）以中間點的函數(shù)值S31 （11 ）3 3 2n 2設計意圖：通過分割、近似代替兩步以后，肯定要進行求和，每個小組根據(jù)自己的方案計算出面積和，發(fā)現(xiàn)每一種和結果的代數(shù)式子不一樣，為后面引入極限做個鋪墊，讓學生體現(xiàn)成功的喜悅.學生活動() ： 請討論：對控制變量怎樣理解，面積變化趨勢怎樣？展示學生思維結果：n 時，n 時，S11 (1 1)(13n2n111S231(11n)(121n)111n 時，S3(1)3 3 2n 23設計意

11、圖：以上三種方案得到的面積都是用表示的表達式，而曲邊梯形的面積應該是一個常數(shù)，如何確定這個常數(shù)，學生已經(jīng)知道分割的份數(shù)越多，誤差就越小，利用前面導數(shù)的概念，可以確定當趨近于無窮大時，趨近于一個常數(shù)，進一步讓學生體會無限逼近的思想方法，理解極限的含義.學生活動()： 請對賦值， ，等進行驗證，當變大時，誤差是否變??？等分數(shù)不足近似值()過剩近似值()精確度()()()設計意圖：讓學生在教學中先分別用形、數(shù)兩種方式體會無限逼近的過程，再在此基礎上引出取極限的合理性，使學生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，實現(xiàn)從感性到理性的過渡為以后定積分的學習奠定基礎(四)操作應用：學生活動()：你能概括出求這個曲邊梯形面

12、積的步驟嗎？學生答案：設計意圖：引導學生回顧求曲邊梯形面積的過程，并概括求曲邊梯形面積的方法、步驟以及其中蘊含的數(shù)學思想，初步形成解決曲邊梯形面積問題的一般方法。2 i1i學生活動 ()： 在求小矩形的面積時，我們提到了可以取f (x) x2在區(qū)間, 上任意nn一點 i 處的值 f ( i ) 作為小矩形的高，會有怎樣的結果？nn11展示學生結果：S lim f ( i ) x lim f ( i )x 0i1n i1n3設計意圖：讓學生理解定積分的本質(zhì)，進一步理解無限逼近、極限的含義，掌握數(shù)學符號的作用，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).（ 五 ） 課堂總結學生活動（）： 請同學交流，談談本節(jié)課的收獲？1

13、. 求曲邊梯形面積的步驟是：分割近似代替求和取極限；2. 學習到的基本數(shù)學方法是：以直代曲、無限逼近。八、課后作業(yè)設置. 請用數(shù)學式子表示對應的曲邊圖形的面積？課本P42 練習題；閱讀課本P48 49 ，并用電腦操作驗證.設計意圖：通過不同的作業(yè)，掌握解決具體問題的步驟與方法，交給學生能操作的知識與手段，結合電腦對課本上的一些結論進行進一步驗證，幫助學生進一步理解概念，形成能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).九、板書設計曲邊梯形的面積一、曲邊梯形概念二、求曲邊梯形面積的步驟. 分割. 近似代替. 求和. 求極限三、思想與方法. 割補法 . 以直代曲 . 無限逼近（極限）十、教學課后反思：本節(jié)課在教學重點

14、上，教學過程以“問題設疑，尋找方案、實施方案、解決問題、提煉本質(zhì)”的順序展開，符合新課標要求的“以人為本”的理念，基本達到了讓學生學有用的數(shù)學的新課程要求，教學過程以“求曲邊梯形的面積”為主題，以“探究求曲邊梯形面積的方法”為主線，學生學會了求曲邊梯形面積的方法，并對“以直代曲，無限逼近”的數(shù)學思想方法有了比較深刻的認識。使學生初步體會定積分的基本思想是從有限中認識無限、從近似中認識精確、從量變中認識質(zhì)變的一種數(shù)學思想本節(jié)課在教學設計和實施過程中，努力創(chuàng)設一個探索數(shù)學的學習環(huán)境，力求符合學生的認知規(guī)律，充分發(fā)揮學生的主體意識，使學生在探究問題的過程中，親身體驗數(shù)學概念形成的過程本節(jié)課在難點突破

15、上，教學過程設計合理，自然流暢，比較各種方案以及幾何畫板的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形動態(tài)、變化的過程，使得學生對“以直代曲，無限逼近”數(shù)學思想方法從感性升華到理性，難點突破水到渠成。本節(jié)課教學方法上以問題為主線，通過學生個體獨立思考和小組合作、探究、交流、辨析相結合，學生匯報交流和老師的點撥引導相結合，激發(fā)學生的思維，從而建構知識、形成方法、培養(yǎng)能力，整個教學過程符合學生的認知規(guī)律，切實突出了學生的主體地位。本節(jié)課在滲透數(shù)學文化、突出數(shù)學本質(zhì)、教學有效性。但在一些細節(jié)有待于改進，如計算過程沒有更深層次的體現(xiàn)出來，這需要可先督促學生進一步的計算，提升計算能力.雖然在學習的過程中會遇到許多不順心的事，但古人說得好吃一塹，長一智。多了一次失敗，就多了一次教訓；多了一次挫折，就多了一次經(jīng)驗。沒有失敗和挫折的人，是永遠不會成功的。 快樂學習并不是說一味的笑，而是采用學生容易接受的快樂方式把知識灌輸?shù)綄W生的大腦里。因為快樂學習是沒有什么大的壓力的，人在沒有