第1節(jié)中值定理ppt課件

1、中值定理與中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章第四章第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理 微分中值定理的核心是拉格朗日微分中值定理的核心是拉格朗日 (Lagrange) 中中值定理，費馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它值定理，費馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣的特例，柯西定理是它的推廣.預(yù)備定理預(yù)備定理費馬費馬(Fermat)(Fermat)定理定理 費馬費馬Fermat，1601-1665），法國人，），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何幾何. 因提出費馬大、因提出費馬大、小定理而著名于世小定理而著名于世.1 2 幾何解釋：幾何解釋：預(yù)備定理預(yù)備定理費

2、馬費馬(Fermat)(Fermat)定理定理. 0)( )( ),( )( 000 xfxxfxbaxf可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在點點且且取取得得最最值值，內(nèi)內(nèi)一一點點在在若若函函數(shù)數(shù) 曲線在最高點曲線在最高點或最低點如果有切或最低點如果有切線，則切線必然是線，則切線必然是水平的水平的. .xyo)(xfy 證明證明:.0)(達達到到最最大大值值證證明明在在只只就就xxf0 )()( lim)(0000 xxfxxfxfx由極限的保號性，由極限的保號性，設(shè)設(shè)在在0 x的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)恒恒有有)()(0 xfxf ,于于是是對對任任意意0 x (xx 0屬屬于于該該鄰鄰域域)，總總有有0)()(0

3、0 xfxxfy, 當當0 x時時， 0)()(00 xxfxxfxy當當0 x時時， 0)()(00 xxfxxfxy0 )()( lim)( 0000 xxfxxfxfx所以所以0 )()( lim)(0000 xxfxxfxfx0 )()( lim)(0000 xxfxxfxfx又又)(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)， )()()(000 xfxfxf 即即有有0)(0 xf且且0)(0 xf, .0)(0 xf所所以以一、羅爾一、羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理xO yC by=f (x)AB幾何解釋：幾何解釋： 如果連續(xù)光滑的曲如果連續(xù)光滑的曲線線 y=f (x) 在端點在端點

4、A、B 處的縱坐標相等處的縱坐標相等. 那么，在曲線弧上至那么，在曲線弧上至少有一點少有一點 C(x , f(x)，曲線在曲線在 C點的切線是點的切線是水平的水平的.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 滿足：滿足： (1) 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù); (2) 開區(qū)間開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); (3) 端端點點函函數(shù)數(shù)值值)()(bfaf , 則則至至少少存存在在一一點點),(ba , 使使得得0)( f. a證證,)1(mM 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mM和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則,0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),

5、()(bfaf ),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使，則則由費馬引理由費馬引理,.0)( f所以最大值和最小值不可能同時在端點取得所以最大值和最小值不可能同時在端點取得.注意：注意： f (x)不滿足條件不滿足條件(1) f (x)不滿足條件(3) f (x)不滿足條件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立.在在, 0 上上連連續(xù)續(xù), ,), 0( 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), , 且且0)()0( ff, , 例例1 1驗證驗證，xxfsin)( ，xxfcos)( ，0)2( f. ), 0(2 xxxf 3)(是是定定

6、義義在在3,( 上上的的初初等等函函數(shù)數(shù),所所以以它它在在3, 0上上是是連連續(xù)續(xù)的的; 驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxxf 3)(在在區(qū)區(qū)間間 3, 0上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的所所有有條條件件,并并求求出出定定理理中中的的 . 例例2 2解解xxxxf 323)(,32)2(3xx 在在)3, 0(內(nèi)內(nèi)有有定定義義, 故故)(xf在在)3, 0(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo); 0)3()0( ff, 所所以以)(xf在在3, 0上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的所所有有條條件件. 例例3 3D（A A） 0 , 0 0 , 1sin)(xxxxf （B B） 0 , 0 0 , 1sin)(xxxxxg （C

7、C） 0 , 0 0 , 1sin)(2xxxxxh （D D） 0 , 0 0 , 1sin)(22xxxxx （A A連續(xù)；連續(xù)； （B B連續(xù)但不可導(dǎo)：連續(xù)但不可導(dǎo)： （C C）可可導(dǎo)導(dǎo)但但) 1() 1 ( ff 解解xxxxgxgxx1sinlim0)0()(lim00 不存在不存在.例例4 4 不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的的導(dǎo)數(shù)有幾個零點，以及其所在范圍導(dǎo)數(shù)有幾個零點，以及其所在范圍. .解解 f (1)=f (2)=f (3)=0 f (1)=f (2)=f (3)=0，f(x)f(x)

8、在在1, 21, 2，2, 32, 3上滿足羅爾定理的三個條件上滿足羅爾定理的三個條件. . 在在 (1, 2) (1, 2) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 x1 x1，使，使 f f (x1)=0(x1)=0，x1x1是是 f f (x)(x)的一個零點的一個零點. . 在在(2, 3)(2, 3)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 x2 x2，使，使f f (x2)=0(x2)=0，x2x2也也是是f f (x)(x)的一個零點的一個零點. . f f (x) (x) 是二次多項式，只能有兩個零點，分別在是二次多項式，只能有兩個零點，分別在區(qū)間區(qū)間(1, 2)(1, 2)及及(2, 3)(2,

9、3)內(nèi)內(nèi). .考慮：考慮：f f (x)(x)的零點呢？的零點呢？ 如果函數(shù)f (x)滿足：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， (2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點x(a, b)內(nèi)，使得幾何意義：幾何意義： 得得到到將將羅羅爾爾定定理理條條件件中中去去掉掉),()(bfaf 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理.,ABCAB行行于于弦弦該該點點處處的的切切線線平平在在至至少少有有一一點點上上在在曲曲線線弧弧.)()()(abafbff C2h h xO yABaby=f (x)C1 證明證明容容易易驗驗證證, ,)(xF滿滿足足羅羅爾爾定定理

10、理的的條條件件, , 于于是是),(ba , ,使使 即即 abafbff )()()( . . 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù) xafbfabxfxFaxabafbfafxfxF)()()()()()()()()()(或，0)()()()( abafbffF xxfln)( , ,在在e, 1 上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的條條件件, , 例例8 8，xxf1)( ，1e11e)1() e ( ff，e), 1(1e .1e)1() e ()( fff 使使)10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又稱有限增量公式拉格朗日中值公式又稱有限增量公

11、式.，)()()(abfafbf 之之間間和和介介于于ba 或或)()()(ababafafbf ,10 , 特別地特別地,或或.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值公式另外的表達方式：拉格朗日中值公式另外的表達方式：abafbff )()()( 推論推論1 1),(, ),(2121xxxxba 內(nèi)內(nèi)任任取取兩兩點點在在)( )()()(211212xxxxfxfxf 則則，0)()(, 0)(12 xfxff . )()(12xfxf 即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知, , )(xf常常數(shù)數(shù), ,),(bax . . 證明證明在在,21xx上上對對)(xf使使用用拉

12、拉格格朗朗日日定定理理, , 由由推推論論 1 1 知知 Cxgxfx )()()( ， 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù) )()()(xgxfx , , 則則 0)()()( xgxfx , , 推論推論2 2證明證明即得結(jié)論即得結(jié)論.而而 2)0( f, , 故故 2)( xf, ,1, 1 x. . 證證明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx, , 1, 1 x 設(shè)設(shè) xxxfarccosarcsin)( , ,1 , 1 x 01111)(22 xxxf, ,)1, 1( x Cxf )( ,)1, 1( x 且且 2)1()1( ff, , 類類似似可可得得：2cotarcarcta

13、n xx, ,Rx . . 例例9 9證證由推論由推論1知知,利用拉格朗日定理證明不等式利用拉格朗日定理證明不等式證證明明：aababb1lnln1 ,)0(ba 令令 xxfln)( , ,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 例例1010證證，ababf lnln1)( ,ba ,111ab .1lnln1aababb 即即得得例例1111.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當當證證, 0)(條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0

14、又又x 111 , 11111 x,11xxxx ),1ln()(ttf 設(shè)設(shè).)1ln(1 xxxx 即即得得不不妨妨設(shè)設(shè)yx , ,令令ttfsin)( , , 在在,yx上利用拉格朗日定理：上利用拉格朗日定理： 而而 1|cos| , , 故故 |sinsin|yxyx . . 在在上上式式中中令令0 y，即即得得結(jié)結(jié)論論. . ),(yx , ,使使 )(cossinsinyxyx , , 例例1212證證類似可證：類似可證： ，|arctanarctan|yxyx Ryx ,，證證明明|sinsin| yxyx Ryx ,推論推論，|sin|xx Rx 三、柯西三、柯西(Cauchy

15、)(Cauchy)中值定理中值定理 設(shè)函數(shù)f (x)及g (x)滿足條件： (1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， (2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)， (3)在(a, b)內(nèi)任何一點處g(x)均不為零，則至少存在一點x(a，b)內(nèi)，使得)()()()()()( gfagbgafbf 如果取g(x)x，那么柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理.說明：說明：證略證略. .例例1313證證設(shè)設(shè)ba 0, ,函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), ,在在),(ba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,證證明明存存在在,),(ba 使使 .)()()()(abbafabfff 右端改為右端改為,11)()()()(abaafbb

16、fabaafbbf 令令,1)(,)()(xxGxxfxF 則則)(xF和和)(xG在在,ba上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, , 故故存存在在,),(ba 使使 令令,1)(,)()(xxGxxfxF 則則)(xF和和)(xG在在,ba上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, , ,)()()()()()()()(abbafabfaGbGaFbFGF ,)()()(2xxfxfxxF ,1)(2xxG 代入上式得代入上式得.)()()()()()(abbafabfGFff * *四、構(gòu)造輔助函數(shù)法舉例四、構(gòu)造輔助函數(shù)法舉例例例5 5證證對對)(e)(xfxgx 使

17、使用用羅羅爾爾定定理理, , ，)()(e)(xfxfxgx )(xf的的零零點點即即為為)(xg的的零零點點, , 而而)(xg 的的零零點點即即為為)()(xfxf 的的零零點點, , 結(jié)論得證結(jié)論得證. . 類類似似, ,欲欲證證)()(xfxf 存存在在零零點點, ,取取 )(e)(xfxgx 即即可可. . 證證設(shè)設(shè))(xf在在 1, 0上上連連續(xù)續(xù), ,在在) 1, 0(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且0) 1( f，證證明明：存存在在, ) 1, 0( 使使得得 .0)(1)( ff 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù) , )()(xxfxF 則則 , )()()(xfxxfxF 顯顯然然)(xF在在1, 0上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, , 故故存存在在, ) 1, 0( 使使得得 ,0)()()( ffF例例6