極值和最值教材學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1極值極值(j zh)和最值教材和最值教材第一頁，共54頁。多元多元(du yun)函數(shù)的極值函數(shù)的極值內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(xioji)與作與作業(yè)業(yè)條件極值與拉格朗日乘子法條件極值與拉格朗日乘子法第1頁/共53頁第二頁，共54頁。若函數(shù)(hnsh) 極大值和極小值統(tǒng)稱(tngchng)為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點極值點.00( , )(,)f x yf xy00( , )(,)f x yf xy或00( , )(,)zf x yxy 在點的某鄰域定義定義則稱函數(shù)在該點取得極大值極大值(極小值極小值) .00(,)f xy 對 n 元函數(shù)可類似定義極值.內(nèi)有1. 多元函數(shù)的極值多元

2、函數(shù)的極值第2頁/共53頁第三頁，共54頁。xyz例如例如(lr) :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值(j zh).2243yxz22zxy yxz xyzxyz分析各函數(shù)分析各函數(shù)(hnsh)在點在點 (0,0) 處的梯度與極值的處的梯度與極值的關(guān)系關(guān)系.第3頁/共53頁第四頁，共54頁。0),(,0),(0000yxfyxfyx且在該點取得(qd)極值 ,則有定理定理(dngl)若函數(shù)( , )zf x y在點存在偏導(dǎo)數(shù),00(,)xy證證:從而取得極值 ,取得極值,取得極值,00( , )(,)zf x yxy因在點0( ,)zf x y在

3、0 xx 故0(, )zf xy在0yy 或00(,)0f xy即00(,)0;xfxy即00(,)0;xfxy00(,)0.f xy第4頁/共53頁第五頁，共54頁。 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為(chn wi)駐點(或穩(wěn)定點) ； 駐點(zh din)不一定是極值點； 若點 是可微函數(shù)的駐點，且在其任何鄰域內(nèi)既存在函數(shù)值大于 的點，又存在函數(shù)值小于 的點，則稱該點為鞍點鞍點.00(,)xy00(,)f xy00(,)f xy二元函數(shù)(hnsh)的駐點條件:0),(,0),(0000yxfyxfyx三元函數(shù)的駐點條件:000000000(,)0,(,)0,(,)0 xyzfxyzfxyzfxy

4、z第5頁/共53頁第六頁，共54頁。0 x(1) 如果(rgu) H(x0) 正定，則 x0 為 f (x)的極小值點；在點0()fx0（極值(j zh)的必要條件）定理定理(dngl)推廣推廣( )f x0 x0 x 設(shè) n 元函數(shù)在點處對各個自變量的一階處取極值，則有偏導(dǎo)數(shù)都存在，且在點定理定理( )f x0 x (極值的充分條件) 設(shè) n 元函數(shù)處具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且0(),fx0(2) 如果 H(x0) 負(fù)定，則 x0 為 f (x)的極大值點；(3) 如果 H(x0) 不定，則 x0 為 f (x)的鞍點;(4) 如果 H(x0) 半正定，則需要進(jìn)一步判別.第6頁/共53頁第七頁，

5、共54頁。2000001()()()()2Tffxx- xxx- xx- x證：證：函數(shù) 在點 處展開成泰勒公式：( )f x0 x0( )()ffxx200001()()()2Tfx- xxx- xx- x關(guān)于關(guān)于 的二次型的二次型x 若 正定， 200()()Hf xx00()()Tfxx - x0由二階偏導(dǎo)數(shù)(do sh)的連續(xù)性知，200()0fxx - x從而(cng r)0( )(),ffxx即 為 的極小值點.0 x( )f x同理可證其它(qt)情形.第7頁/共53頁第八頁，共54頁。若若 正定正定, 曲面與其切平面有何位置關(guān)系曲面與其切平面有何位置關(guān)系?( )H x0( )(

6、)ffxx200001()()()2Tfx- xxx- xx- x00()()Tfxx - x( )H x正定(zhn dn)）000()()()Tffxxx - x0此時曲面(qmin)位于切平面上方.凸函數(shù)凸函數(shù)凹函數(shù)凹函數(shù)(hnsh)第8頁/共53頁第九頁，共54頁。A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有(mi yu)極值.時, 不能確定(qudng) , 需另行討論.時, 具有極值 1) 當(dāng)02 BAC02 BAC02 BAC定理定理一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且若函數(shù)00( , )(,)zf x yxy在點的0000(,)0,(,)0,xyfxyfxy某鄰域內(nèi)具有令000000(,

7、) ,(,) ,(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy，則第9頁/共53頁第十頁，共54頁。0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy00( , )(,),f x yxy由于的二階偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)所以(suy)Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00第10頁/共53頁第十一頁，共54頁。22221kCkhBhA于是(ysh)z),(21khQ22()hk,hk因此當(dāng)很小時( , ).zQ h k 的正負(fù)號可由確定(1) 當(dāng)

8、ACB2 0 時, 必有 A0 , 且 A 與C 同號, 2222221( , )(2)()AQ h kA hABhkB kACBk)()(2221kBACkBhAA可見(kjin) ,0,( , )0,AQ h k當(dāng)時從而z0 , 因此),(yxf00(,);xy在點有極小值2()o22221kkhh第11頁/共53頁第十二頁，共54頁。0,( , )0,AQ h k當(dāng)時從而(cng r) z0,( , )f x y因此在點00(,);xy有極大值(2) 當(dāng) ACB2 0 時, 若A , C不全為零, 無妨(w fn)設(shè) A0, 則 221( , )()AQ h kAhBkk)(2BAC 0

9、000( , )()()0(,)x yA xxB yyxy當(dāng)沿直線接近時, 有,0kBhA( , )Q h kA故與異號異號;000( , )0(,),0,x yyyxyk當(dāng)沿直線接近時 有( , )Q h kA故與同號同號(tn ho).可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 00( , )(,);f x yxy因此在點無極值xy),(00yxo第12頁/共53頁第十三頁，共54頁。+xy),(00yxo則必有 B0 ,不妨(bfng)設(shè) B0 ,此時(c sh) 222),(kCkhBhAkhQ00(,)xh yk對點,h k當(dāng)同號時,0),(khQ,h k當(dāng)異號時,0),(kh

10、Q可見(kjin) z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 00( , )(,);f x yxy因此在點無極值khB20,z 從而0,z 從而(3) 當(dāng) AC B2 0 時, 若 A 0,則21)(),(kBhAkhQA若 A 0 ,則 B 0 ,2),(kCkhQ( , )Q h k 可能為零或非零第13頁/共53頁第十四頁，共54頁。此時(c sh)(),(221okhQz因此(ync) 2( , )0,(),Q h kzo因為時的正負(fù)號由確定不能斷定(dundng) (x0 , y0) 是否為極值點 . 第14頁/共53頁第十五頁，共54頁。求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)求具有二階連

11、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)(hnsh)極值極值的步驟的步驟:第一步 求駐點(zh din). 求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 解方程組( , )0 xfx y ( , )0yfx y 求得一切實數(shù)(shsh)解, 即可求得一切駐點.第二步 對于每個駐點, 求出二階偏導(dǎo)數(shù)值 A, B, C;根據(jù)極值充分條件判別各駐點是否為極值點, 是極大值點還是極小值點.第15頁/共53頁第十六頁，共54頁。求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點(zh din).得駐點(zh din): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別(pnbi).在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC)

12、,(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233第16頁/共53頁第十七頁，共54頁。在點(3,0) 處不是(b shi)極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是(b shi)極值;6,0,12CBA)2

13、, 1 (f,0)6(122 BACABC第17頁/共53頁第十八頁，共54頁。及是否(sh fu)取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們都是它們(t men)的的駐點駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值因此 z(0,0) 不是極值.因此220,xy當(dāng)時222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz第18頁/共53頁第十九頁，共54頁。1. 討論函數(shù)的極值問題時討論函數(shù)的極值問題時,如果函數(shù)在所討論的區(qū)域如果函數(shù)在所討論的區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

14、內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), 則極值只可能則極值只可能(knng)在駐點處取得在駐點處取得, 然而如果函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在然而如果函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點當(dāng)然這些點當(dāng)然不是駐點不是駐點, 但可能但可能(knng)是極值點是極值點.如 在(0,0)是極值點而不是它的駐點.22zxy 2. 計算隱函數(shù)極值的方法計算隱函數(shù)極值的方法(fngf)與計算顯函數(shù)極值方與計算顯函數(shù)極值方法法(fngf)相同相同, 即先在函數(shù)的定義域內(nèi)找出駐點即先在函數(shù)的定義域內(nèi)找出駐點, 再計再計算出算出 A, B, C, 最后利用極值充分條件進(jìn)行判別最后利用極值充分條件進(jìn)行判別, 所不同所不同的是在計算駐點坐標(biāo)時要

15、利用隱函數(shù)求導(dǎo)法的是在計算駐點坐標(biāo)時要利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.注注:第19頁/共53頁第二十頁，共54頁。求由方程(fngchng)解解: 將方程兩邊將方程兩邊(lingbin)分別對分別對 x, y 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),得得所確定(qudng)222224100 xyzxyz的函數(shù) z = f (x, y) 的極值.22240 xxxz zz22240yyyz zz由函數(shù)取得極值的必要條件, 得駐點為P(1, 1) .將方程組再分別對 x, y 求偏導(dǎo),得0,0 xyzz222()240 xxxxxzz zz222()240yyyyyzz zz2240yxxyxyzzz zz第20頁/共53頁第二十一頁

16、，共54頁。1|2xxPAzz|0 xyPBz1|2yyPCzz由2210(2)(2)ACBzz故函數(shù)(hnsh)在 P點處有極值, 將 P(1,1)代入方程有122,6zz 當(dāng) 時,12z 104A(1, 1)2zf 為極小值;當(dāng) 時,26z 104A (1, 1)6zf為極大值.第21頁/共53頁第二十二頁，共54頁。函數(shù)(hnsh) f 在閉域上連續(xù)函數(shù)(hnsh) f 在閉域上可達(dá)到最值 可能最值點 駐點邊界上的最值點特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點 P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值(大)(大)依據(jù)第22頁/共53頁第二十三頁，共54頁。1. 如果如果 f

17、(x, y) 定義在有界閉區(qū)域上定義在有界閉區(qū)域上, 則先求出則先求出 D內(nèi)部的內(nèi)部的全部駐點全部駐點, 不可導(dǎo)點及相應(yīng)的函數(shù)值不可導(dǎo)點及相應(yīng)的函數(shù)值, 然后求出然后求出 f 在在 D上的最值上的最值(可將邊界曲線代入可將邊界曲線代入 f (x, y) ,化為一元函數(shù)的最化為一元函數(shù)的最值問題值問題), 最后最后(zuhu)取所有這些函數(shù)值的最大者為最大取所有這些函數(shù)值的最大者為最大值值, 最小者為最小值最小者為最小值.多元多元(du yun)函數(shù)最值的計算函數(shù)最值的計算方法方法2. 如果如果 f (x, y) 定義定義(dngy)在無界區(qū)域上在無界區(qū)域上, 則去掉明則去掉明顯取不到最值的無界

18、子區(qū)域部分顯取不到最值的無界子區(qū)域部分, 使之成為有界閉區(qū)使之成為有界閉區(qū)域上的最值問題域上的最值問題.第23頁/共53頁第二十四頁，共54頁。3. 利用 對 x, y累次求最值. maxmaxmaxmaxmaxxyyxf 或4. 如果如果 f (x, y) 定義在有界開區(qū)域定義在有界開區(qū)域(qy) D上上, 有時先將有時先將f (x, y) 的定義域連續(xù)延拓到的定義域連續(xù)延拓到 D + D 上上, 然后求有界閉區(qū)域然后求有界閉區(qū)域(qy)上的最大值和最小值上的最大值和最小值, 最后分析結(jié)果最后分析結(jié)果.第24頁/共53頁第二十五頁，共54頁。求函數(shù)解解: 先求函數(shù)在區(qū)域先求函數(shù)在區(qū)域(qy)

19、 D 內(nèi)的駐內(nèi)的駐點點.在區(qū)域(qy)22zxy上的最大值和最小值.22zzx,yxy由于(yuy)220,zxy22:2 22 25D xyxy所以駐點為 (0, 0).000 xyz為函數(shù)的最小值.再求函數(shù)在區(qū)域邊界上的駐點.將區(qū)域 D 的邊界曲線方程改寫成參數(shù)方程23cos ,0223sin ,xttyt 第25頁/共53頁第二十六頁，共54頁。故求函數(shù)在邊界曲線(qxin)上的駐點時，可化為求2223cos23sinztt的駐點(zh din). 令d6 2sincos0dzttt得駐點(zh din)5.44t,t計算5024425,1,13 6 2,13 6 2ttttzzzz當(dāng)

20、即4t 522xy時, 函數(shù)取得最大值25.第26頁/共53頁第二十七頁，共54頁。解解: 設(shè)水箱設(shè)水箱(shuxing)長長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則則高為高為則水箱(shuxing)所用材料的面積為令得駐點(zh din)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233第27頁/共53頁第二

21、十八頁，共54頁。把它折起來做成解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面(dun min)面積x24一個(y )斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面第28頁/共53頁第二十九頁，共54頁。令令222224sin4 sin2 sincos024 cos2cos(cossin)0 xAxxAxxx解得:由題意(t y)知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有(zhyu)一個(y )駐點,故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2si

22、n2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x第29頁/共53頁第三十頁，共54頁。例例7. 在在 xoy 平面上有平面上有3個點個點 O(0,0), A(1,0), B(0,1),在在三角形三角形 OAB 的閉區(qū)域的閉區(qū)域(qy)上求至上求至3個頂點的距離個頂點的距離的平方和為最大和最小的點的平方和為最大和最小的點.解解. OAB 上的點上的點 P(x, y) 至它的至它的3個頂點個頂點(dngdin)的距離的平方和的距離的平方和:222222( , )(1)(1)f x yxyxyxy2233222xyxy問題歸

23、結(jié)為求函數(shù) f (x, y) 在OAB 的閉區(qū)域上的最大值和最小值. 由于(yuy) f (x, y) 在閉區(qū)域上連續(xù), 故函數(shù)在此三角形閉區(qū)域上必有最大值和最小值.第30頁/共53頁第三十一頁，共54頁。將三角形閉區(qū)域分為三部分考慮(kol): 三角形開區(qū)域內(nèi),三角形邊界(不包括三個頂點), 三角形三頂點.1. 求開區(qū)域(qy)內(nèi)的駐點. 解方程組( , )620( , )620 xyfx yxfx yy得駐點(zh din)1 1,.3 3在此駐點處函數(shù)值1 14,.3 33f2.三角形邊界(不包括三個頂點). 在OA邊上, y =0 (0 x 1)2( ,0)322f xxx( ,0)6

24、2xfxx得駐點1,0 .3在此駐點處函數(shù)值15,0.33f第31頁/共53頁第三十二頁，共54頁。在OB邊上(bin shn), x 0 (0 y 1)2(0, )322fyyy(0, )62yfyy得駐點(zh din)10,.3在此駐點(zh din)處函數(shù)值150,.33f在AB邊上, y 1x (0 x 1)2( ,1)663f xxxx126dfxdx得駐點1 1,.2 2在此駐點處函數(shù)值1 13,.2 22f3.在三角形三個頂點處. 0,02f1,03f0,13f比較所有各點的函數(shù)值知 max(1,0)0,13fffmin1 14,3 33ff第32頁/共53頁第三十三頁，共54

25、頁。極值(j zh)問題無條件極值:條 件 極 值:條件極值的求法: 方法方法(fngf)1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題(wnt)對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化( , )0,x y在條件下( , )zf x y求函數(shù)的極值.( , )0( ) .x yyx從條件中解出)(,(xxfz條件極值條件極值第33頁/共53頁第三十四頁，共54頁。例如(lr),( , )0,x y在條件下( , )zf x y求函數(shù)的極值.觀察函數(shù)( , )f x y的等值線的變化: 0000,f xyxyABCAB沿曲線( , )0 x y 函數(shù)( , )f

26、x y的值減小 函數(shù)( , )f x y的值增加 C00(,)B xy( , )f x yk( , )0 x y 在點處，恰好與曲線相切 有一條等值線00000,f xyxy ( , )0 x y ( , )5f x y 10 1520 xOy第34頁/共53頁第三十五頁，共54頁。引入輔助(fzh)函數(shù)輔助函數(shù)(hnsh)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)(hnsh).0 xxxFfg0yyyFfg0Fg 利用(lyng)拉格極值點必滿足0 xxfg0yyfg( , )0g x y 則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法.( , )( , )Ff x y

27、g x y第35頁/共53頁第三十六頁，共54頁。定理定理 (Lagrange定理定理 ) 設(shè) 在點 x0 n 處可微, 在點 x0處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且向量組 線性無關(guān), 若 x0 是問題 (3.2.1) 的局部極小點, 則存在實數(shù) 使 :nf:(1,2, )njhjl10200(),(),()lhhhxxx,1,2, ,jvjl001()()0.ljjjfvhxx意義意義: Lagrage定理將等式約束定理將等式約束(yush)最優(yōu)化問題的最優(yōu)化問題的求解化為無約束求解化為無約束(yush)最優(yōu)化問題的求解最優(yōu)化問題的求解 第36頁/共53頁第三十七頁，共54頁。拉格朗日乘數(shù)法可推廣到

28、多個(du )自變量和多個(du )約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到(d do)條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F第37頁/共53頁第三十八頁，共54頁。要設(shè)計一個(y )容量為0V則問題(wnt)為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別分別(fnbi)表示長、表示長、寬、高寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、

29、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz第38頁/共53頁第三十九頁，共54頁。得唯一(wi y)駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(shj)是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用(su yn)材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等

30、 .第39頁/共53頁第四十頁，共54頁。已知平面(pngmin)上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓(tuyun)圓周(yunzhu)上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解解:CBAoyxED設(shè) C 點坐標(biāo)為 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx例例9.第40頁/共53頁第四十一頁，共54頁。設(shè)拉格朗日函數(shù)(hnsh)解方程組得駐點(zh din)對應(yīng)(duyng)面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF0

31、92)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx2,3.5,DESS第41頁/共53頁第四十二頁，共54頁。解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們(t men)所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù)(hnsh)2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx第42頁/共53頁第四十三頁，共54

32、頁。例例11.求函數(shù) 在球面( , )lnln3lnf x yxyz22225xyzR(0,0,0)xyz上的最大值,并證明對任何正數(shù)a, b, c 有53275abcabc 解解: 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)(hnsh)2222lnln3ln(5)FxyzxyzR令2222120,120,320,5xyzFxxFyyFzzxyzR即2222222210,210,230,5xyzxyzR 解得21,2,3RxRyRzR 第43頁/共53頁第四十四頁，共54頁。因此函數(shù)的可能極值點為( , , 3 )R RR在第一卦限內(nèi)球面的三條邊界線上,函數(shù)值均趨于負(fù)無窮大,故函數(shù)的最大值必在曲面內(nèi)部取得,

33、而可能極值點唯一,因此在 處函數(shù)取得最大值.( , , 3 )R RR5( , , 3 )lnln3ln3ln(3 3)f R RRRRRR對于(duy)球面上的所有點(x, y, z)有:5lnln3lnln(3 3)xyzR即52222353 35xyzxyzR令222,xa yb zc得53275abcabc 第44頁/共53頁第四十五頁，共54頁。1. 函數(shù)(hnsh)的極值問題第一步 利用必要條件(b yo tio jin)在定義域內(nèi)找駐點.第二步 利用(lyng)充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法內(nèi)容小

34、結(jié)與作業(yè)內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,在條件),(yxfz ( , )0g x y ( , , )( , )( , )L x yf x yg x y 第45頁/共53頁第四十六頁，共54頁。第二步 判別(pnbi) 比較(bjio)駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)(gnj)問題的實際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)作業(yè)作業(yè): 教材教材173-174頁頁 2, 3, 5, 7, 12第46頁/共53頁第四十七頁，共54頁。問題(wnt)的提出:已知一組實驗(shyn)數(shù)據(jù)求它們(t men)的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解決兩個問題: 1. 確定近似函數(shù)的類型 根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律 根據(jù)問題的實際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) )(iixfy 實驗數(shù)據(jù)有誤差,不能要求), 1n附附 最小二乘法最小二乘法 第47