反函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式小結(jié)三、求導(dǎo)法則小結(jié)三、求導(dǎo)法則小結(jié)2 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則下頁結(jié)束返回首頁一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)x=j(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且j (y)0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，并且 )(1)(yxfj=。 簡要證明：簡要證明： 因為y=f(x)連續(xù)，所發(fā)當(dāng)Dx0時，Dy0。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD即 )(1)(yxfj=。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=

2、DD=DD)(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD， 下頁 例例1求(arcsin x)及(arccos x)。 類似地有：211)(arccosxx=。 一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)x=j(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且j (y)0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，并且 )(1)(yxfj=。 (arcsin x) 解：解：因為y=arcsin x是x=sin y的反函數(shù)，所以 (arcsin x)yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211si

3、n11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=。 下頁 例例2求(arctan x)及(arccot x)。 一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)x=j(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且j (y)0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，并且 )(1)(yxfj=。 解：解：因為y=arctan x是x=tan y的反函數(shù)，所以 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx= 類似地有：211)cotarc(xx=。 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctan

4、xyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=。 下頁 (16) (arctan x)211x=。(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x)=sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=csc x cot x，(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式小結(jié)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

5、式小結(jié)：(12) (ln x)=x1， (13) (arcsin x)=211x， (14) (arccos x)=211x， (15) (arctan x)=211x， (11) (log a x)=axln1(a0, a1)， ，上頁二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果u=j(x)在點x0可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在點u0=j(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=fj(x)在點x 0可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 假定u=j(x)在x0的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)，則Du0，此時有 簡要證明：簡要證明： 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DD

6、DD=DD=DDDD0000limlimlimlim = f (u 0)j (x 0)。 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim 下頁二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果u=j(x)在點x0可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在點u0=j(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=fj(x)在點x 0可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 如果 u=j(x)在開區(qū)間 Ix內(nèi)可導(dǎo)，y=f(u)在開區(qū)間

7、Iu內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)xIx時，對應(yīng)的uIu，那么復(fù)合函數(shù)y=fj(x)在區(qū)間Ix內(nèi)可導(dǎo)，且下式成立： dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 下頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 例例 3y=lntan x ，求dxdy。 解：解：函數(shù)y=lntan x是由y=ln u，u=tan x復(fù)合而成， dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= xxcossin1=。 dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1=dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= 下頁 dxdududydxd

8、y=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 例例 4y=3xe，求dxdy。 dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=。 解解：函數(shù)3xey =是由 y=eu ，u=x3 復(fù)合而成， 下頁 例例5212sinxxy=，求dxdy。 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 222212cos)1 ()1 (2xxxx=。 解解：212sinx

9、xy=是由 y=sin u，212xxu=復(fù)合而成， dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 下頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則比較熟練以后，就不必再寫出中間變量。 例例 6lnsin x，求dxdy。 解解：)(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy xxxcotcossin1=。 )(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy)(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy 下頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

10、則： 例例73221xy=，求dxdy。 解解：)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 322)21 (34xx=。 )21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 下頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 例例 8y=lncos(e x)，求dxdy。 解解： )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee= )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedx

11、dy )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=。 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到多個函數(shù)的復(fù)合。下頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 例例 9xey1sin=，求dxdy。 解解：)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx xexx1cos11sin2=。 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=

12、xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx 下頁 例例 10y=sin nx sin n x (n 為常數(shù))， 求dxdy。 解：解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x。 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：上頁函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法