絕對值習(xí)題及答案

1、例1求下列各數(shù)的絕對值：(1)38； (2)0.15；(3)a(a0)； (4)3b(b0)；(5)a2(a2)； (6)ab分析：欲求一個數(shù)的絕對值，關(guān)鍵是確定絕對值符號內(nèi)的這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，然后根據(jù)絕對值的代數(shù)定義去掉絕對值符號，(6)題沒有給出a與b的大小關(guān)系，所以要進(jìn)行分類討論解：(1)3838；(2)0.150.15；(3)a0，aa；(4)b0，3b0，3b3b；(5)a2，a20，a2(a2)2a；說明：分類討論是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，當(dāng)絕對值符號內(nèi)的數(shù)(用含字母的式子表示時)無法判斷其正、負(fù)時，要化去絕對值符號，一般都要進(jìn)行分類討論例2判斷下列各式是否正確(正確入“T”

2、，錯誤入“F”)：(1)aa； ( )(2)aa； ( )(4)若ab，則ab； ( )(5)若ab，則ab； ( )(6)若ab，則ab； ( )(7)若ab，則ab； ( )(8)若ab，則baab ( )分析：判斷上述各小題正確與否的依據(jù)是絕對值的定義，所以思維應(yīng)集中到用絕對值的定義來判斷每一個結(jié)論的正確性判數(shù)(或證明)一個結(jié)論是錯誤的，只要能舉出反例即可如第(2)小題中取a1，則a11，而a11，所以aa同理，在第(6)小題中取a1，b0，在第(4)、(7)小題中取a5，b5等，都可以充分說明結(jié)論是錯誤的要證明一個結(jié)論正確，須寫出證明過程如第(3)小題是正確的證明步驟如下：此題證明的依

3、據(jù)是利用a的定義，化去絕對值符號即可對于證明第(1)、(5)、(8)小題要注意字母取零的情況解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小題不正確，(1)、(3)、(5)、(8)小題是正確的說明：判斷一個結(jié)論是正確的與證明它是正確的是相同的思維過程，只是在證明時需要寫明道理和依據(jù)，步驟都要較為嚴(yán)格、規(guī)范而判斷一個結(jié)論是錯誤的，可依據(jù)概念、性質(zhì)等知識，用推理的方法來否定這個結(jié)論，也可以用舉反例的方法，后者有時更為簡便例3判斷對錯(對的入“T”，錯的入“F”)(1)如果一個數(shù)的相反數(shù)是它本身，那么這個數(shù)是0( )(2)如果一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個數(shù)是1和0( )(3)如果一個數(shù)的絕對值是它本身，

4、那么這個數(shù)是0或1( )(4)如果說“一個數(shù)的絕對值是負(fù)數(shù)”，那么這句話是錯的( )(5)如果一個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，那么這個數(shù)是負(fù)數(shù)( )解：(1)T(2)F1的倒數(shù)也是它本身，0沒有倒數(shù)(3)F正數(shù)的絕對值都等于它本身，所以絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)和0(4)T任何一個數(shù)的絕對值都是正數(shù)或0，不可能是負(fù)數(shù)，所以這句話是錯的(5)F0的絕對值是0，也可以認(rèn)為是0的相反數(shù)，所以少了一個數(shù)0說明：解判斷題時應(yīng)注意兩點：(1)必須“緊扣”概念進(jìn)行判斷；(2)要注意檢查特殊數(shù)，如0，1，1等是否符合題意例4 已知(a1)2b30，求a、b分析：根據(jù)平方數(shù)與絕對值的性質(zhì)，式中(a1)2與b3都是非負(fù)

5、數(shù)因為兩個非負(fù)數(shù)的和為“0”，當(dāng)且僅當(dāng)每個非負(fù)數(shù)的值都等于0時才能成立，所以由已知條件必有a10且b30a、b即可求出解：(a1)20，b30，又(a1)2b30a10且b30a1，b3說明：對于任意一個有理數(shù)x，x20和x0這兩條性質(zhì)是十分重要的，在解題過程中經(jīng)常用到例5填空：(1)若a6，則a_；(2)若b0.87，則b_；(4)若xx0，則x是_數(shù)分析：已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)，則這個數(shù)有兩個，它們是互為相反數(shù)解：(1)a6，a±6；(2)b0.87，b±0.87；(4)xx0，xxx0，x0x0，x是非正數(shù)說明：“絕對值”是代數(shù)中最重要的概念之一，應(yīng)當(dāng)從正、逆兩個

6、方面來理解這個概念對絕對值的代數(shù)定義，至少要認(rèn)識到以下四點：(家教4.0，復(fù)習(xí)輔導(dǎo)“有理數(shù)”例3 2結(jié)(1)(4)例6 判斷對錯：(對的入“T”，錯的入“F”)(1)沒有最大的自然數(shù) ( )(2)有最小的偶數(shù)0 ( )(3)沒有最小的正有理數(shù) ( )(4)沒有最小的正整數(shù) ( )(5)有最大的負(fù)有理數(shù) ( )(6)有最大的負(fù)整數(shù)1 ( )(7)沒有最小的有理數(shù) ( )(8)有絕對值最小的有理數(shù) ( )解：(1)T(2)F數(shù)的范圍擴展后，偶數(shù)的范圍也隨之?dāng)U展偶數(shù)包含正偶數(shù)，0，負(fù)偶數(shù)(2，4，)，所以0不是最小的偶數(shù)，偶數(shù)沒有最小的(3)T(4)F有最小的正整數(shù)1(5)F沒有最大的負(fù)有理數(shù)(6)

7、T(7)T(8)T絕對值最小的有理數(shù)是0例7 比較下列每組數(shù)的大小，在橫線上填上適當(dāng)?shù)年P(guān)系符號(“”“”“”)(1)0.01_100；(2)(3)_3；(3)(90)_0；(6)當(dāng)a3時，a3_0；3a_a3分析：比較兩個有理數(shù)的大小，需先將各數(shù)化簡，然后根據(jù)法則進(jìn)行比較解：(1)0.01100；(2)(3)3；(3)(90)0；(6)當(dāng)a3時，a30，3aa3說明：比較兩個有理數(shù)大小的依據(jù)是：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，正數(shù)大于0，大于一切負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于0，小于一切正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小兩個正分?jǐn)?shù)，若分子相同則分母越大分?jǐn)?shù)值越小；若分母相同，則分子越大分?jǐn)?shù)值越大；

8、也可將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來比較例8 比較大?。悍治觯罕容^兩個負(fù)分?jǐn)?shù)的大小，按法則，先要求出它們的絕對值，并比較絕對值的大小(1)這兩個數(shù)的絕對值是兩個異分母的正分?jǐn)?shù)，要比較它們的大小，需通分；(2)用(1)的方法比較這兩個負(fù)數(shù)絕對值的大小是非常麻煩的，此法不可取通過比較它們的倒數(shù)，可以快捷的達(dá)到目的說明：兩個有理數(shù)比較大小，當(dāng)它們都是負(fù)數(shù)時，必須通過比較絕對值的大小來確定它們的大小(1)一定要注意，因為是兩個負(fù)數(shù)，所以它們的絕對值越大，對應(yīng)點在數(shù)軸的左邊離原點的距離就越遠(yuǎn)，因此它的值就越小(2)比較兩個異分母正分?jǐn)?shù)的大小時，如果通分很麻煩，可以考慮通過比較它們倒數(shù)大小的方法間接達(dá)到目的理論依據(jù)例9

9、在數(shù)軸上畫出下列各題中x的范圍：(1)x4；(2)x3；(3)2x5分析：根據(jù)絕對值的幾何意義畫圖例如，x4的幾何意義是：數(shù)軸上與原點的距離大于或等于4個單位長度的點的集合；x3的幾何意義是：數(shù)軸上與原點的距離小于3個單位長度的點的集合解：(1)x4，即數(shù)軸上x對應(yīng)的點到原點的距離大于或等于4，如圖1當(dāng)x0時，有x4；當(dāng)x0時，有x4(2)x3，即數(shù)軸上x對應(yīng)的點到原點的距離小于3，如圖2即有3x3(3)2x5，即數(shù)軸上x所對應(yīng)的點到原點的距離比2大且小于或等于5，如圖3即5x2或2x5說明：在數(shù)軸上表示含絕對值的不等式時，最容易錯的是忘記或畫錯原點左邊(負(fù)半軸上)符合條件的點的范圍應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研

10、究負(fù)數(shù)部分符合條件的點的范圍的畫法，并真正做到“理解”例10 (1)求絕對值不大于2的整數(shù)；(2)已知x是整數(shù)，且2.5|x|7，求x分析：(1)求絕對值不大于2的整數(shù)，就是求數(shù)軸上與原點的距離小于或等于2個單位長度的整數(shù)點(2)因為2.5x7中的x表示的是絕對值小于7同時絕對值又大于2.5的整數(shù)，所以，依絕對值定義應(yīng)該是滿足7x2.5，或2.5x7的所有整數(shù)解：(1)先畫出數(shù)軸上與原點的距離小于或等于2的點的范圍由圖看出，絕對值不大于2的整數(shù)是：2，1，0，1，2(2)符合2.5|x|7的所有整數(shù)，就是符合7x2.5或2.5x7的所有整數(shù)由圖看出，符合2.5x7的整數(shù)是：x±3，&

11、#177;4，±5，±6說明：因為絕對值概念課本上從幾何與代數(shù)兩個角度都給出了定義，所以在解含絕對值的問題時要注意靈活運用這兩個定義此題也可以用代數(shù)定義求解根據(jù)絕對值的幾何定義，用數(shù)形結(jié)合的思想，把有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點與原點的距離問題來解決，是經(jīng)常采用的方法例11已知a、b、c所表示的數(shù)如圖所示：(1)求b，c，b1，ac；*(2)化簡abac1cb分析：由圖知a1b0，0c1根據(jù)以上條件，先確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，然后再化簡解：由圖知a0，b0，c0，且b1，ac，ab，c1，cb，b10，ac0，ab0，c10，cb0(1)bb，cc，b1b1a

12、c(ac)ca(2)abac1cb(ba)(a)(1c)(cb)baa1ccb1說明：(1)ab的相反數(shù)是(ab)baab的相反數(shù)是(ab)ab(2)ab的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a、b的兩個點之間的距離不同的兩個點之間的距離總是一個正數(shù)，等于“較大的數(shù)減較小的數(shù)”的差例12 解方程：(1)已知14x6，求x；*(2)已知x142x，求x分析：解簡單的含有絕對值符號的方程，一般都根據(jù)絕對值的代數(shù)定義，先化去絕對值符號，然后求解(2)題需把原方程轉(zhuǎn)化為x12x4的形式后，才便于應(yīng)用絕對值的代數(shù)定義解：(1)14xx146x14±6當(dāng)x146時，x20；當(dāng)x146時，x8x20或8(2)x142xx12x4x10，2x40，x2x2，x10，x1x1原方程變形為x142xx5*例13 化簡a2a3分析：要化簡此式，關(guān)鍵是依據(jù)絕對值定義判斷好絕對值符號內(nèi)a2和a3在a取不同數(shù)值時它們的符號情況，才能正確地轉(zhuǎn)化為不含絕對值的式子為了能達(dá)到此目的，首先應(yīng)判定a20和a30時a的取值，即a2和a3，