初二整式方程期末復(fù)習(xí)

1、第二十章代數(shù)方程一、整式方程知識(shí)與方法：1字母系數(shù)在關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0中，其中a、b、c是表示已知數(shù)的字母，我們把字母a,b,c叫做字母系數(shù)。而這個(gè)方程就是含有字母系數(shù)的方程。例1解關(guān)于x的方程：(1)ax=x+a;(2)bx2+1=0說明：(1)對(duì)于含字母系數(shù)的一元一次方程，在“系數(shù)化為1”這步之前一般應(yīng)分情況討論；對(duì)于含字母系數(shù)的一元二次方程，在“兩邊開平方”這步前一般也要分情況討論(2)對(duì)于解含字母系數(shù)的一元整式方程，用含字母系數(shù)的式子去乘、除方程的兩邊時(shí),這個(gè)式子的值不能為零。(3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)含字母系數(shù)的式子開平方時(shí)，由于負(fù)數(shù)沒有平方根，因此，根號(hào)下面的式子不能小于零

2、2一元整式方程如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，那么這個(gè)方程叫做一元整式方程例2判斷下列哪些方程是一元整式方程：(1)、,2x2-1=-;(2)x-=3;(3)2x=2;(4)xy=02x2說明：整式方程并不意味著方程中不能含有根號(hào)，分母等，關(guān)鍵是在于含有未知數(shù)的項(xiàng)是否都是整式3一元n次方程一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是n(n是正整數(shù))，這個(gè)方程就叫做一元n次方程。其中次數(shù)大于2的方程統(tǒng)稱為一元高次方程。232例3關(guān)于x的萬(wàn)程ax+2x-1=0是一元幾次方程？4二項(xiàng)方程如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程關(guān)于

3、x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式為ax2+b=0(a=0,b#0,n是正整數(shù))例4解方程：1(x-1)464=04b說明：一項(xiàng)方程ax+b=0(a#0,b#0)可變形為x=-一：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有a且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab<0,那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；如果ab>0,那么方程沒有實(shí)數(shù)根。5雙二次方程一般地，只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程，叫做雙二次方程關(guān)于x的雙二次方程的一般形式為ax4+bx2+c=0(a#0)例5解方程：(x1)4+6x2-12x-21=0說明：解雙二次方程的一般步驟：(1)換元；(2)解一元二次方程；(3)回代解雙二次方程時(shí)注意

4、理解“換元”的思想方法，體會(huì)“降次”的解題策略通過換元，把雙二次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程。求出t的值后，不要忘記回代，繼續(xù)求出未知數(shù)x的值拓展與提高：1用換元法巧解高次方程對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的方程，如果能根據(jù)方程的特征，把其中某些部分看做一個(gè)整體，用換元法來(lái)求解，有時(shí)能取得意想不到的效果例6解下列方程：(1)(x+2)4+(x4)4=272(4x1)(3x1)(2x1)(x1)=3x4說明：本題(*)方程左邊的展開是利用了公式變形:a2+b2=(a-b)2+2ab而得到的,也可以直接利用完全平方公式把(*)方程左邊展開，但比較麻煩。本例在考慮換元時(shí)，設(shè)(X+2)+(x4)=y,即x-1=y。

5、這種換元法叫做“平均值換元2法”。如果設(shè)x+2=y也可，但迭代換后計(jì)算會(huì)比較麻煩。想一想把原方程等號(hào)左邊第一、四個(gè)因式結(jié)合起來(lái)，第二、三個(gè)因式結(jié)合起來(lái)的目的是什么？一一、一一"2_.，一.一想一想對(duì)于方程(*)還可令4x+5x+1=y或5x+1=y嗎？換元未必一定要把含有未知數(shù)的項(xiàng)都用其他字母代替，如本例中，經(jīng)換元后，方程中同時(shí)含有字母y和x,此時(shí)可把原來(lái)的未知數(shù)x看作是已知數(shù)。練習(xí)：解方程(6x7)2(3x4)(x1)=6二、可化為一元二次方程的分式方程知識(shí)與方法1分式方程如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知數(shù)，那么這個(gè)方程叫做分式方程。例1判斷下列方程中哪些是分式方程？2

6、x221x-1x-x=1；(2)x=5x;(3)x(1-)=0;(4)-x=-x3x2xx23說明：在判斷一個(gè)方程是否是分式方程時(shí)，一般不需要對(duì)方程進(jìn)行整理，直接根據(jù)給出的方程形式進(jìn)行判斷2.1. 1想一想：萬(wàn)程x(1+)=0與方程x(x+1)=0有何不同？x2解分式方程的一般步驟(1)在方程的兩邊同時(shí)乘以方程中各分式分母的最簡(jiǎn)分母，將分式方程化成整式方程；(2)求解整式方程；(3)驗(yàn)根：判斷所求得的整式方程的根是不是分式方程的根(即代入最簡(jiǎn)公分母中看最簡(jiǎn)公分母的值是否為零),一4x21例2解方程：-4+=1x-42-xx2想一想：分式方程求解最后為什么要驗(yàn)根呢？說明：解分式方程的基本思路是化

7、分式方程為整式方程，化分式方程為整式方程主要通過去分母的方法實(shí)現(xiàn)。求解分式方程的過程中，在方程兩邊同時(shí)乘以方程中各分母的最簡(jiǎn)公分母時(shí)可能會(huì)生增根，解分式方程的最后一定要進(jìn)行驗(yàn)根3分式方程的根與增根把求得的整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中，判斷它的值是否為零。使最簡(jiǎn)公分母的值不為零的根是原方程的根；使最簡(jiǎn)公分母的值為零的根是增根。例3x=1是下列方程的增根嗎?x1x-14x2-1；(2)吟=2;(3)x-1x4-2ZTx2-2x-33x33二1想一想：為什么在驗(yàn)根時(shí)，只要把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中就可以了？說明：分式方程的曾根應(yīng)該是分式方程去分母后的整式方程的根，但不是原分式方程的根。如果某個(gè)未

8、知數(shù)的值不是分式方程去分母后的整式方程的根，那么該未知數(shù)的值也不是原分式方程的根，也不能算做原分式方程的增根。解分式方程時(shí)，常把原方程中的一個(gè)分式作為整式進(jìn)行換元，換元時(shí)要注意分子、分母互換的兩個(gè)分式可以用一個(gè)新元和它的倒數(shù)來(lái)表示。4換元法在解分式方程中的運(yùn)用有些方程，若按常規(guī)方法去解，所得到的整式方程比較復(fù)雜，不易求解，這是我們可以采用換元法，把原方程化為一個(gè)整式方程或一個(gè)簡(jiǎn)單的分式方程。2x-5x24x24-八例4斛方程：十一2+14=0x1x-5x說明：本題如果直接去分母的話，將是一個(gè)四次方程，比較復(fù)雜。故采用換元法，避免了出現(xiàn)高次方程的問題，實(shí)際上起到了“降次”的作用。,24口，、,、

9、一x-5x=y中去求解了。x1由于y+14=0是分式方程，所以求出來(lái)的根要及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)（即檢驗(yàn)求出的根y是否為0）,若求出的y的值就是增根了，就沒必要代入方程拓展與提高1適當(dāng)變形，巧解分式方程對(duì)于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的分式方程，如果能進(jìn)行適當(dāng)變形，那么解方程將取得事半功倍的效果。例4解下列方程：23232“、2xx34小、x7x24x302x11x36x45丁二；7；（2）-二-；312xxx5x132x7x20xzZ=AZ3AZ8x-5x8x-4x921，1、21、22111說明：因?yàn)閤22=（x+）2=（X）+2）即x+2"可以用x+或X表?。xxxxx1.所以對(duì)形如x土一”的部分

10、可使用換元法解x想一想：在任何條件下從方程（*）到方程（*）變形（即兩邊同時(shí)取倒數(shù)）都能成立嗎？為什么要考慮”方程組x+4=2x+5=0無(wú)解”？說明：觀察原方程中每個(gè)分式間的變化很有規(guī)律，故嘗試根據(jù)它們的特點(diǎn)，先把方程化得簡(jiǎn)單點(diǎn)。對(duì)于方程（*），如果直接去分母，會(huì)出現(xiàn)三個(gè)因式相乘的情況，觀察得到方程每一邊的兩個(gè)分式的分母都相差1,而分子也相同，故采用先通分，在利用比例的性質(zhì)化簡(jiǎn)。.、一一213練習(xí)：解方程：x2-3x-二2xx解方程:2_2_x-2x7_x-3x52x-7-3x-5練習(xí)：當(dāng)k為何值時(shí)，方程_x_"=攣幺_1有增根?x-2x2x-411練習(xí)：若關(guān)于x的方程1=0無(wú)實(shí)數(shù)解

11、時(shí)，則k的值為（）x2xkx2k解關(guān)于x的分式方程=1時(shí)廣生增根，那么k=（）x22-x已知方程:x2-4(1)=1；x一2x1=2；(3)x(x)=1(4)x-1x其中是分式方程的有（三、無(wú)理方程知識(shí)與方法1無(wú)理方程、有理方程和代數(shù)方程方程中含有根式，且被開方數(shù)十含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程或根式方程。例1下列方程是無(wú)理方程的是（）-2_x21x2.一Ax+Jix=1;BV2x+2x5=0C=-D產(chǎn)-1=0x-12,2-x說明：同時(shí)符合下面兩個(gè)條件：（1）方程中出現(xiàn)根式；（2）根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)未知數(shù)，這樣的方程才是無(wú)理方程。2有理方程、代數(shù)方程整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程。有理方

12、程和無(wú)理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡(jiǎn)稱為代數(shù)方程。例2下列代數(shù)方程中，既不是無(wú)理方程，又不是整式方程的是（）,2.3x6-2x22.x(1)=1;(2)=2x13)xx=1；=1xx-13x-2說明：說明：不要把（3）看成是整式方程說明：左右兩邊進(jìn)行平方，可能將原來(lái)不相等的式子變成等式，如后得到（J4）2=（-2）2,所以利用兩邊平方的方法把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時(shí)，可能產(chǎn)生增根，因此解無(wú)理方程最后驗(yàn)根必不可少。3求解無(wú)理方程求解無(wú)理方程的一般步驟：（1） 利用兩邊平方的方法把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；（2） 求解有理方程；（3） 檢驗(yàn)所得的有理方程的根是否為原無(wú)理方程的根；（4） 寫結(jié)論例3解方

13、程J2x+8+2jx+5=2說明：無(wú)理方程中出現(xiàn)兩個(gè)含有未知數(shù)的根式相加，一般要進(jìn)行兩次平方才可把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，在每次平方前通常把一個(gè)根號(hào)單獨(dú)放在等號(hào)一邊。無(wú)理方程在驗(yàn)根時(shí)，一般要求把有理方程的解代入原方程中檢驗(yàn)。4利用換元法求解特殊的無(wú)理方程在利用兩邊平方把無(wú)理方程化成有理方程時(shí)，可能出現(xiàn)高次方程，利用換元法，往往可以起到降次的目的。例4解方程：x2+3x-2+，2x2+3x-1=1一x2說明：解無(wú)理方程時(shí)，常把原方程中的一個(gè)含有未知數(shù)的根式做為整體進(jìn)行換元，達(dá)到化去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理方程的目的。說明：如果把方程整理為：，2x2+3x-1=-2x2-3x+3,然后再兩邊平方也可以，但得

14、到的是一個(gè)四次方程，解方程比較困難。拓展與提高1觀察方程特征，巧解無(wú)理方程通過觀察方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)變形，結(jié)合換元等方法可巧妙地求解一些無(wú)理方程。例5解下列方程(1).20-2x10=x;(2)x2x22xx-2=16;(3),x2-7x62x2-5x2=.x2-9x7.2x2-3x1練習(xí)：(1)如果關(guān)于x的無(wú)理方程J2x+1=k無(wú)實(shí)數(shù)根,那么k的取值范圍是()(2)方程(x-1)Jx5=0的實(shí)數(shù)根為()(3)下列方程有實(shí)數(shù)解得是()A,x-43-x=1B.xT1=0D-x-1-x=3(4)方程J=JT73=0的實(shí)數(shù)根是()、一2(5)此萬(wàn)程4-X-j_JX=1=0.x-4A有一個(gè)實(shí)數(shù)解

15、B有兩個(gè)解C有四個(gè)解D無(wú)解(6)解方程：Jx2x6+x26x+9=0(7)試用兩種方法解方程：Vx+5+百=3=4四二元二次方程和方程組知識(shí)與方法1二元二次方程、二元二次方程組僅含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程。僅含有兩個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2,像這樣的方程組叫做二元二次方程組。例1下列方程組中不是二元二次方程組的是()2；x-3y-5=0x二尸1xy=8，：2x-y=2ax2-2xyy2=4b.2y2=1cxy=3d、xy=22二元二次方程的解、二元二次方程組的解能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，

16、叫做二元二次方程的解。方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解。x=0；x1例2已知y=3和yH,是二元二次方程x2+y2+dx+cy=0的兩個(gè)解，求d,e的值。3二元二次方程組的解法-代入消元法如果一個(gè)二元二次方程組是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成，那么可用“代入消元法”解這個(gè)方程組。22;3x4y=1；.2x3y-7=0例3解下列方程組：（1）3x+2y=24x29y2=74二元二次方程組的解法-因式分解法如果二元二次方程組中至少有一個(gè)方程可變形為兩個(gè)一次因式的積等于零的形式，那么可用“因式分解法”解這個(gè)方程組。x2-4xy3y2=0例4解方程組：x2+y2=10拓展與提高1

17、一些特殊二元二次方程組的特殊解法在解二元二次方程組時(shí)，除了要熟練運(yùn)用常用的代入消元法和因式分解法外，還要注意觀察二元二次方程的特征，加以技巧。j2x2y2=7xy；x2-15xy-3y22x9y-98=0例5解方程組：（1）x2y2=4xy1（2）5xy+y23y+21=022Ix-4xy4y-16=0（3）9x2-12xy4y2-6x4y-15=0練習(xí)：(1)若(2x23y210y+5)2+，x-2y=0,則x=(),y=()、-2_一(2)萬(wàn)程x5xy+3x+1=0的解中，x,y互為倒數(shù)的解是()297(3)下列方程中2x+5y=4;x-5y-6=0;xy=9;-=8-;yx4x2xy+x

18、y2-6y+3=0;V2x=y2+1,是二元二次方程的有()個(gè)五列方程(組)解應(yīng)用題知識(shí)與方法1列一元二次方程解應(yīng)用題例12003年我國(guó)政府工作報(bào)告指出：為解決農(nóng)民負(fù)擔(dān)過重問題，在近兩年的稅費(fèi)改革中，我國(guó)政府采取了一系列政策措施。2001年中央財(cái)政用于支持這項(xiàng)改革試點(diǎn)的資金約為180億元，預(yù)計(jì)2003年將達(dá)到304.2億元。求2001年到2003年中央財(cái)政每年投入支持這項(xiàng)改革資金的平均增長(zhǎng)率。2列分式方程解應(yīng)用題例22003年，在黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)進(jìn)行了一場(chǎng)抗擊“非典”的戰(zhàn)斗。為了控制疫情的蔓延，某衛(wèi)生材料廠接到上級(jí)下達(dá)趕制19。2萬(wàn)只加濃抗病毒口罩的任務(wù)，為使抗毒口罩早日到達(dá)防疫第一線，

19、開工后每天比原計(jì)劃多加工0.4萬(wàn)只，結(jié)果提前4天完成任務(wù)。該廠原計(jì)劃每天加工多少萬(wàn)只口罩？3列無(wú)理方程解應(yīng)用題例3甲，乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船向北偏東50n方向航行，乙船向南偏東40口方向航行，甲船的航速與乙船的航速之比為3:4,兩小時(shí)后兩船相距100海里，問甲，乙兩船的航行速度各為多少？4列方程組解應(yīng)用題例4甲，一二人分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇時(shí)甲比乙多走了6千米，相遇1后，它們?nèi)砸栽瓉?lái)的速度前進(jìn)，甲再經(jīng)過4小時(shí)后到達(dá)B地，乙再經(jīng)過8小時(shí)后2到達(dá)A地，求甲、乙兩人的速度。拓展與提高1列方程（組）解應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)可適當(dāng)多設(shè)幾個(gè)未知數(shù)例5甲，乙兩人分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)，勻速相向

20、而行，在距離B地6公里處相遇,相遇后兩人又繼續(xù)按原方向原速度前進(jìn)，當(dāng)它們分別到達(dá)B地，A地后立刻返回，又在距離A地4公里處相遇。問若甲回到原處比乙早20分鐘，求兩人速度。2設(shè)而不求解應(yīng)用題例6一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已進(jìn)了一些水，現(xiàn)水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果10人舀水，3小時(shí)可舀完；5人舀水，8小時(shí)可舀完；如果2小時(shí)舀完水，需要多少人？一填空題1某公司1996年出口創(chuàng)收135萬(wàn)美元，1997年，1998年每年都比上一年增加a%,那么1998年這個(gè)公司出口創(chuàng)收（）萬(wàn)美元2某校餐廳計(jì)劃購(gòu)買12張餐桌和x把餐椅，現(xiàn)從甲，乙兩商場(chǎng)了解到：同一型號(hào)的餐桌報(bào)價(jià)每張均為200元，餐椅報(bào)價(jià)每把均為50元，甲商場(chǎng)稱：每購(gòu)買

21、一張餐桌贈(zèng)送一把餐椅；乙商場(chǎng)規(guī)定：所有餐桌椅均按報(bào)價(jià)的八五折銷售。若到兩商場(chǎng)購(gòu)買一樣優(yōu)惠，則可列方程為（）3完成某工程需要a個(gè)人工作n天，若增加b個(gè)工人，假定每個(gè)工人工作的效率相同，則需工作（）天4某個(gè)體商戶第一年以5萬(wàn)元的資金投入，獲得8%的利潤(rùn)，第二年以5萬(wàn)元和第一年利潤(rùn)投入，獲得5405元利潤(rùn)，則這兩年的平均利潤(rùn)為（）5某種產(chǎn)品計(jì)劃在兩年后使它的成本減少19%,則平均每年降低的百分率是（）6原價(jià)1600元的商品，打了一次折后，因銷路不暢又打一次折（與上次折扣一樣），最后以900元售出，則每次所打的折扣為（）7某屆中國(guó)象棋比賽第一輪采用單循環(huán)制，每位棋手都與其他棋手比賽一盤棋。已知第一輪比

22、賽共下了105盤棋，參加第一輪比賽的棋手共有（）位8某商店運(yùn)進(jìn)120臺(tái)空調(diào)準(zhǔn)備銷售，由于開展了促銷活動(dòng)，每天比原計(jì)劃多售4臺(tái)，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)，若原計(jì)劃每天銷售x臺(tái)，則可列方程為：（）9某商店以2400元購(gòu)進(jìn)某種盒裝茶葉，第一個(gè)月每盒按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià)，售出50盒。第二個(gè)月每盒以低于進(jìn)價(jià)5元作為售價(jià)，售完余下的茶葉，在整個(gè)買賣過程中共獲利350元，若設(shè)每盒進(jìn)價(jià)x元，則可列方程（）10某廠生產(chǎn)一批抗禽流感的藥丸，平均每個(gè)工人實(shí)際每天生產(chǎn)數(shù)比原計(jì)劃多20盒，已知現(xiàn)在一個(gè)工人生產(chǎn)400盒的時(shí)間和原計(jì)劃生產(chǎn)300盒的時(shí)間相同，設(shè)現(xiàn)在一個(gè)工人平均每天能生產(chǎn)x盒抗禽流感的藥丸，則可列方程為（

23、）11某車間在規(guī)定時(shí)間內(nèi)加工130個(gè)零件，加工了40個(gè)零件后，由于改進(jìn)操作技術(shù)，每天比原來(lái)計(jì)劃多加工10個(gè)零件，結(jié)果總共5天完成任務(wù)。若原計(jì)劃每天加工x個(gè)零件，則可列方程為（）12一個(gè)數(shù)的正的平方根比它增加72后的正的平方根小4,則這個(gè)數(shù)是（）13在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P在x軸的正半軸上，它與點(diǎn)A（4,3）的距離為J34,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）14有個(gè)兩位數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小5,并且個(gè)位上的數(shù)字的平方比十位上的數(shù)字小3,則這個(gè)兩位數(shù)為（）15設(shè)直角三角形的面積為12,兩直角邊之和為11,則此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（）二選擇題16一批運(yùn)動(dòng)服按原價(jià)的八五折出售,0.85a20aB1717

24、一名工人的工資每年增加）每套a元，則它的原價(jià)為（20aC0.15aD310%,今年他的工資是a元，設(shè)兩年前他的工資是x元，則有2x=a(110%)aDx:-(110%)2ax二110%18滬杭磁懸浮新型交通建設(shè)項(xiàng)目2004年內(nèi)開工，2010年上海世博會(huì)開幕前正式投入使用?，F(xiàn)假設(shè)上海到杭州的鐵路與磁懸浮的路程均為168千米，磁懸浮列車行駛的平均速度比現(xiàn)在的鐵路列車行駛的平均速度每分中快5.5千米，乘坐磁懸浮列車比現(xiàn)在的鐵路列車要少用88分鐘，設(shè)磁懸浮列車平均每分鐘行駛x千米，則可列方程為（）A168168_88二x5.5x168168B88=x5.5xC1682168_88二x-5.5x168168D88二x-5.5x19甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條路要6天完成，如果各隊(duì)單獨(dú)修路，則甲隊(duì)比乙隊(duì)少用5天,:xy=6xy=6ax=y-5bx=y5十=xy6x=y-5xyx=y5設(shè)甲，乙兩隊(duì)單獨(dú)修路所需天數(shù)分別為x天和y天，則可列方程為(20某車間計(jì)劃在一定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)零件200個(gè)，但在實(shí)際操作時(shí)，每天比計(jì)劃多生產(chǎn)5個(gè)，因此