二重積分的計(jì)算-下ppt課件

1、1/2619591959._),(,1, 0,),(),(),(. 12 yxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD則則圍圍成成由由其其中中滿滿足足若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)._),(:. 2ln01 xedyyxfdx交交換換積積分分次次序序2/2619591959._),(,1, 0,),(),(),(. 12 yxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD則則圍圍成成由由其其中中滿滿足足若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù):,),(積積分分得得設(shè)設(shè)kdudvvufD DDDdxdykxydxdydxdyyxf),( DDdxdykxydxdyk 2010 xDxydydxxydxdy而而2xy 1Dx

2、yo1 1002221dxxyx 10521dxx121121106 x3/2619591959._),(,1, 0,),(),(),(. 12 yxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD則則圍圍成成由由其其中中滿滿足足若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 2010 xDdydxdxdy 102dxx3131103 xkk31121 2xy 1Dxyo181 k81),( xyyxf81 xy4/2619591959._),(:. 2ln01 xedyyxfdx交交換換積積分分次次序序 xyexDln01: exeyy10 eexeydxyxfdydyyxfdx),(),(10ln01積分區(qū)域如圖積分區(qū)

3、域如圖, ,可化為可化為: :xy ln 1Dxyo1e)(yex eeydxyxfdy),(10 Calculation of double integral 微微積積分分電電子子教教案案195919596/2619591959一極坐標(biāo)系一極坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系的建立直角坐標(biāo)系的建立, ,是用是用兩組坐標(biāo)線構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)兩組坐標(biāo)線構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)xyo極坐標(biāo)系的建立極坐標(biāo)系的建立, ,是用是用一組同心圓一組同心圓, ,一組射線一組射線構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)),( rMroO極點(diǎn)極點(diǎn) Or極軸極軸q 極角極角 r極徑極徑1 1、極坐標(biāo)系的建立、極坐標(biāo)系的建立7/26195919592、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：、極坐標(biāo)

4、與直角坐標(biāo)的關(guān)系：x=rcosqy=rsinq從從(x,y)(x,y)到到(r,q)(r,q)變換公式變換公式為為: :r2=x2+y2從從(r,q )(r,q )到到(x,y)(x,y)變換公變換公式為式為: :xy tanr(r,q )xyP(x,y).xyO8/26195919593 3、平面曲線的極坐標(biāo)表示法、平面曲線的極坐標(biāo)表示法圓的方程圓的方程 x2+y2 =a2(a x2+y2 =a2(a是常數(shù)是常數(shù)) )即即x2+y2 =2ax x2+y2 =2ax 即即圓心圓心(a,0), 半徑半徑a圓心圓心(0,0), 半徑半徑a.xyO raxyO r2a(a,0)x2+y2 =2ay

5、x2+y2 =2ay 即即圓心圓心(0,a)，半徑，半徑axyO r2a(0,a)ar cos2ar sin2ar 9/26195919594 4、極坐標(biāo)的應(yīng)用、極坐標(biāo)的應(yīng)用例例1 1 阿基米德螺線阿基米德螺線 很長(zhǎng)的木棍上有一只螞蟻很長(zhǎng)的木棍上有一只螞蟻,當(dāng)木棍當(dāng)木棍以勻角速度以勻角速度 0的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),螞蟻以螞蟻以v0勻速向外爬行勻速向外爬行,求螞蟻爬行的軌跡求螞蟻爬行的軌跡.),( rMr選一點(diǎn)選一點(diǎn) :螞蟻爬行的路程螞蟻爬行的路程.:木棍轉(zhuǎn)過(guò)的角度木棍轉(zhuǎn)過(guò)的角度.xyO r),( rMtvsr0 0000vv ar 阿基米德螺線阿基米德螺線10/2619591959例例2 2 作圖

6、作圖 化為極坐標(biāo)：化為極坐標(biāo)：的極坐標(biāo)之差與視為 sinarar ,0時(shí)時(shí) ,2時(shí)時(shí) 0 r)0(2222 ayxaayyxararr sin2)sin1(sin aaarar ,時(shí)時(shí) ar (心型線心型線),23時(shí) ar2 axyo11/2619591959(1)極坐標(biāo)下的面積元素極坐標(biāo)下的面積元素直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系: :極坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：dxdyd )(iiiirr irr iirrr ,0時(shí)時(shí)d rdrdd (2)極坐標(biāo)下的被積函數(shù)極坐標(biāo)下的被積函數(shù))sin,cos(),( rrfyxf (3)極坐標(biāo)下的積分次序極坐標(biāo)下的積分次序通常先通常先 r r 后后 ?)sin,cos(),(

7、rdrrrfddxdyyxfD AoDi i ii 二二重積分的計(jì)算公式二二重積分的計(jì)算公式12/2619591959.)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd ADo)(1 rr )(2 rr Drdrdrrf )sin,cos(區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 rrr 極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域D外外(4)極坐標(biāo)下區(qū)域極坐標(biāo)下區(qū)域D的不等式表示的不等式表示13/2619591959區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 rrr .)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(1 rr )(2 rr 14/26195919

8、59AoD)( rr .)sin,cos()(0 rrdrrrfd區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 rr Drdrdrrf )sin,cos(極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域D邊境上邊境上 15/2619591959 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rrdrrrfd區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rr DoA,2 0)( rr 極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域D內(nèi)部?jī)?nèi)部16/2619591959 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(2021 rrrdrrrfd區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).()(21 rrr DoA,2 0)(2 rr )(1 rr

9、極點(diǎn)被區(qū)域極點(diǎn)被區(qū)域D所包圍所包圍17/2619591959二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd.)sin,cos()(0 rrdrrrfd.)sin,cos()(020 rrdrrrfd (極點(diǎn)在區(qū)域外極點(diǎn)在區(qū)域外)(極點(diǎn)在區(qū)域邊境極點(diǎn)在區(qū)域邊境)(極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)).)sin,cos()()(2021 rrrdrrrfd(極點(diǎn)被區(qū)域包圍極點(diǎn)被區(qū)域包圍)18/2619591959三極坐標(biāo)的應(yīng)用范圍三極坐標(biāo)的應(yīng)用范圍極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 目的目

10、的: : 積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域或它們的一部分，積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域或它們的一部分，被積函數(shù)為含被積函數(shù)為含x2+y2x2+y2、x/yx/y或或y/xy/x時(shí)時(shí), , 常用極坐標(biāo)常用極坐標(biāo)進(jìn)展計(jì)算進(jìn)展計(jì)算. .19/2619591959解解 1020:rD 10220221111rdrrddxdyyxD 1022)1(11212rdr 例例1 1計(jì)算計(jì)算積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖: :1: 112222 yxDdxdyyxD122 yx1Dxyo102)1ln(r 2ln 和和 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 20/2619591959解解: sin2020:rD sin2020cos rdrrdxdxdyD 2

11、0sin20331cos dr例例2 2計(jì)算計(jì)算積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖: : Dxdxdy.02:22圍成的第一象限部分圍成的第一象限部分與與 xyyxDyyx222 Dxyo12 sin2 r 203sin38cos d 203sinsin38 d204sin32 32 21/2619591959解解: arD020: arayxyxrdreddxdye020222222 are02)21(2 例例3 3 計(jì)算計(jì)算積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖: : 22222ayxyxdxdye)1(2ae 222ayx aDxyo22/2619591959解：解：例例4 4 計(jì)算泊松積分計(jì)算泊松積分 dxe

12、x2 dxeIx2令令 dyey2 dyedxeIyx222 dyedxyx22 Dyxdxdye22 rD020: 23/2619591959 DyxdxdyeI222 0202rdredr arardred0202lim )1(lim2aae dxeIx2泊松積分泊松積分第六章中第六章中(P239) 222)21(02dxex24/2619591959解解32 61 sin4 r sin2 ryyx422 yyx222 03 yx03 xy例例5 5 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中D D為由圓為由圓 ， 及直線及直線 ， 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域. .yyx222 yyx422 03

13、yx03 xy Ddxdyyx)(22yyx222 yyx422 Dyx3 xyo224xy3 3 6 sin4sin236:rD25/2619591959 Ddxdyyx)(22 sin4sin2236rdrrd 36sin4sin2441 dr 364sin60 d 362)2cos1(15 d 362)2cos2cos21(15 d 36)24cos12cos21(15 d26/2619591959).834(15 Ddxdyyx)(22 sin4sin2236rdrrd 36)4cos212cos223(15 d36)4sin812sin23(15 27/2619591959習(xí)題習(xí)題9-2 (P366) 112