高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法部分分式部分分式:,1 ;nAAnxaxa 22,1 ;nBxCBxCnxpxqxpxq 第1頁(yè)/共33頁(yè) 有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法11220111P( ) Q( )P( ) ()() ()()klnmnmkllxxxb x ax axp x qxpx q真分式分母因式分解) ,1, , 2不不可可約約因因式式為為（其其中中hiqxpxii 第2頁(yè)/共33頁(yè)11111011AA1()nnbxaxa1AA()kkn kknkkxaxa11111111,1221111BB()mmmxCxCxp xqxp xq1122BB()lll

2、m lm lllmllllxCxCxp xqxp xq（其其中中各各系系數(shù)數(shù)待待定定）；第3頁(yè)/共33頁(yè)如果如果 有一個(gè)有一個(gè) 重實(shí)根重實(shí)根 , 則則 的部分的部分分式中一定包含下列形式的分式中一定包含下列形式的 項(xiàng)部分分式之和項(xiàng)部分分式之和: Q xna /P x Q xn1nnAAxaxa如果如果 中包含因子中包含因子 時(shí)時(shí) , 則則 的部分分式中一定包含下列形的部分分式中一定包含下列形式的式的 項(xiàng)部分分式之和項(xiàng)部分分式之和: 22/4mxpxqqp Q x /P x Q xm1122mmmB xCB xCxpxqxpxq第4頁(yè)/共33頁(yè) 例如例如 將真分式 分解成部分分式部分分式. 第5

3、頁(yè)/共33頁(yè)四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: 變分子為 再分項(xiàng)積分 第6頁(yè)/共33頁(yè)第7頁(yè)/共33頁(yè)而最后一個(gè)積分可以用上上一節(jié)例6中的遞推公式.第8頁(yè)/共33頁(yè)說(shuō)明說(shuō)明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,第9頁(yè)/共33頁(yè)例例1 求解解第一種方法第一種方法: 待定系數(shù)法，可以用如下的方法求出待定系數(shù).上式通分后得比較恒等式兩端同次冪的系數(shù)，得一方程組：第10頁(yè)/共33頁(yè) 從而解得故有 于是第11頁(yè)/共33頁(yè) 化簡(jiǎn)并約去兩端的公因子 后為得例例 2 求第二種方法第二種方法(賦值法)第12頁(yè)/共33頁(yè),121)1)(21 (122xCBxxAxx兩端去分母,得.)2()2(12AC

4、xCBxBA),21)()1 (12xCBxxA或比較兩端的各同次冪的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，有. 1, 02, 02CACBBA解之得.51,52,54CBA.151522154)1)(21 (122xxxxx解解第13頁(yè)/共33頁(yè).151522154)1)(21 (122xxxxx第14頁(yè)/共33頁(yè)43)21()21(231) 1(21222xxdxxxxd.312arctan3) 1ln(212Cxxx.312arctan31) 1ln(61) 1ln(311 23Cxxxxxdx1231) 12(2122xxdxxxdxx).1211(3111 23xxxxx.1 3xdx求dxxxx14221

5、2dxxxx122dxxxx1312212補(bǔ)補(bǔ)例例解解第15頁(yè)/共33頁(yè)例例 3 求.)2(2 2223dxxxxx,)2(2)2(2 2222223xCxBxCBxxAxxxx解解即有即第16頁(yè)/共33頁(yè)dxxxxx2223)2(2 dxx121 dxxx2121- 2dxx22)2(2- |ln21 x)2ln(41 2x2arctan21 xdxx22)2(2- dxx22)2(1 )2(1(21 2xdx)2(21)22x(x1 222xxdxdxxx)211(41)22x(x1 222用遞推公式用遞推公式求求或或第17頁(yè)/共33頁(yè)x141 )22x(x1 2.2arctan241 C

6、xdxxxxx2223)2(2 |ln21 x)2ln(41 2x2arctan221 x)2x(x1 22x1 . C第18頁(yè)/共33頁(yè) 總之總之,有理函數(shù)分解為多項(xiàng)式及部分分式之和以后有理函數(shù)分解為多項(xiàng)式及部分分式之和以后,各個(gè)部分各個(gè)部分都能積出都能積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).此外此外,由代數(shù)學(xué)知道由代數(shù)學(xué)知道,從理論上說(shuō)從理論上說(shuō),多項(xiàng)式多項(xiàng)式Q(x)總可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的總可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的乘積乘積,從而把有理函數(shù)從而把有理函數(shù) 分解為多項(xiàng)式與部分分式之和分解為多項(xiàng)式與部分分式之和.因此因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初

7、等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).)()(xQxP 但是但是,用部分分式法求有理函數(shù)的積分用部分分式法求有理函數(shù)的積分,一般說(shuō)來(lái)計(jì)算比較繁一般說(shuō)來(lái)計(jì)算比較繁,只是在沒有其它方法的情況下只是在沒有其它方法的情況下,才用此方法才用此方法.例例4 求解解第19頁(yè)/共33頁(yè)補(bǔ)例補(bǔ)例 求求解解 原式注意本題技巧注意本題技巧按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁第20頁(yè)/共33頁(yè) (1) (1) 三角有理式：三角有理式： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2

8、tan22xx ,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2. 三角函數(shù)有理式的不定積分三角函數(shù)有理式的不定積分 (2) (2) 三角有理式的積分法：三角有理式的積分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 第21頁(yè)/共33頁(yè)令令tan2xt 22sin,1txt221cos,1txt 2arctanxt則221dxdtt 萬(wàn)萬(wàn)能能代代換換dxxxR)cos,(sin2222212,.111ttRdtttt萬(wàn)能替換公式：萬(wàn)能替換公式：第22頁(yè)/共33頁(yè)例例 4 求.1cossincotxxxdx解解tan2xt 令，則221dxdtt22sin,1t

9、xt221cos,1txt,21cot2ttx1cossincotxxxdx2222211121221ttttdttttdttt221dttdtt1211212Ctt|ln2121.|2tan|ln212sin22cosCxxx第23頁(yè)/共33頁(yè)注注（1）用萬(wàn)能代換用萬(wàn)能代換一定能一定能將三角函數(shù)有理式的積將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；分化為有理函數(shù)的積分；（2）萬(wàn)能代換不一定是最好的；萬(wàn)能代換不一定是最好的；（3）常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法（非數(shù)的積分的代換方法（非“萬(wàn)能的萬(wàn)能的”）：）：1）若）若 R(-sin

10、x, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=cosx 為積分變量；為積分變量；2）若）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=sinx 為為積分變量；積分變量；3）若）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=tanx 為為積分變量積分變量.第24頁(yè)/共33頁(yè)例例 5 求.sin1cossin2dxxxx解解.cos)(sin的形式此題中被積函數(shù)可寫成xxf這時(shí). ”很自然想到“湊微分法dxxxx2sin1cossinxdxxsinsin1sin2xtsin令21 ttdtCt)

11、1ln(212.)sin1ln(212Cx)sin1 (sin112122xdx第25頁(yè)/共33頁(yè)例例 6 求.cossincosdxxxx解解dxxxxcossincoscosx同dxxtan11xttan令2111tdttdtttt)1111(212|1 |ln21t)1ln(212tarctantC|tan1 |ln21x|sec|lnx xC|sincos|ln21xx xC第26頁(yè)/共33頁(yè)例例 7 求.cossin24xdxx解解xdxx24cossindxxx22cos1)22cos1(2dxxxx) 12cos2cos2(cos8123xdx2sin)2sin1 (1612dxx24cos181dxx)2cos1 (81.)4sin412sin31(1613Cxxx.,cossin倍角公式降低其方冪可以利用的偶次方冪及被積函數(shù)都是xx注注第27頁(yè)/共33頁(yè) 3. 某些根式的不定積分某些根式的不定積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:令第28頁(yè)/共33頁(yè)例例 8 求解解 令則原式第29頁(yè)/共33頁(yè)例例 9 求解解 令則原式原式第30頁(yè)/共33頁(yè) 補(bǔ)例補(bǔ)例 求解解 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù)