第八章 則多元函數微分學 習題課

1、多元函數微分學多元函數微分學 習題課習題課一、主要內容一、主要內容平面點集平面點集和區(qū)域和區(qū)域多元函數概念多元函數概念多元函數多元函數的極限的極限極極 限限 運運 算算多元函數多元函數連續(xù)的概念連續(xù)的概念多元連續(xù)函數多元連續(xù)函數的性質的性質全微分全微分概念概念偏導數偏導數概念概念方向導數方向導數全微分全微分的應用的應用復合函數復合函數求導法則求導法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性高階偏導數高階偏導數隱函數隱函數求導法則求導法則微分法在微分法在幾何上的應用幾何上的應用多元函數的極值多元函數的極值1 1、多元函數的極限、多元函數的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是

2、任意的；0PP （2）二元函數的極限運算法則與一元）二元函數的極限運算法則與一元函數類似函數類似存在性存在性定義，夾逼定理定義，夾逼定理不存在不存在特殊路徑、兩種方式特殊路徑、兩種方式求法求法運算法則、定義驗證、夾逼定理運算法則、定義驗證、夾逼定理 消去致零因子、化成一元極限等消去致零因子、化成一元極限等2 2、多元函數的連續(xù)性、多元函數的連續(xù)性)()(lim00PfPfPP 3 3、偏導數概念、偏導數概念定義、求法定義、求法偏導數存在與連續(xù)的關系偏導數存在與連續(xù)的關系高階偏導數高階偏導數純偏導、混合偏導純偏導、混合偏導4 4、全微分概念、全微分概念定義定義可微的必要條件可微的必要條件可微的充

3、分條件可微的充分條件利用定義驗證不可微利用定義驗證不可微多元函數連續(xù)、可導、可微的關系多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數可微函數連續(xù)函數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數可導函數可導5 5、復合函數求導法則、復合函數求導法則),(),(),(yxvvyxuuvufz xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 法則22 “分道相加，連線相乘分道相加，連線相乘”法則的推廣法則的推廣任意多個中間變量，任意多任意多個中間變量，任意多 個自變量個自變量如何求二階偏導數如何求二階偏導數6 6、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數或中間變量的函數或中間變量 的函數，它的

4、全微分形式是一樣的的函數，它的全微分形式是一樣的.zvu 、vu 、dvvzduuzdz .7 7、隱函數的求導法則、隱函數的求導法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(zyxGzyxF 0),(0),()4(vuyxGvuyxFzyzxFFyzFFxz ,公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法8 8、微分法在幾何上的應用、微分法在幾何上的應用(1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面()曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線求直線、平面的方程求直線、平面的方程定點（過點）、定向（方向向量、法向量）定點（過點）、定向（方向向量、法向量）曲線：參數式，一

5、般式給出曲線：參數式，一般式給出曲面：隱式、顯式給出曲面：隱式、顯式給出求隱函數偏導數的方法求隱函數偏導數的方法1010、多元函數的極值、多元函數的極值9 9、方向導數與梯度、方向導數與梯度定義定義計算公式（注意使用公式的條件）計算公式（注意使用公式的條件）梯度的概念梯度的概念向量向量梯度與方向導數的關系梯度與方向導數的關系極值、駐點、必要條件極值、駐點、必要條件充分條件充分條件) 0(2 ACB求函數求函數),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：最值最值條件極值，目標函數、約束條件條件極值，目標函數、約束條件 構造構造 Lagrange 函數函數),(),(),(zyxzyxfzyx

6、F 二、典型例題二、典型例題例例1 1.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限解解)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 已知已知),(ztzyyxfw 求求twzwywxw 解解1fxw 21ffyw 32ffzw 3ftw twzwywxw 0 例例3 已知已知 )sin(cbyaxz 求求nmnmyxz 解解)cos(cbyaxaxz )2sin( cbyaxa)22sin(222 cbyaxaxz)2sin(

7、 mcbyaxaxzmmm)22sin(1 mcbyaxbayxzmmm)2)(sin( nmcbyaxbayxznmnmnm 例例4 4.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導數具有二階連續(xù)偏導數設設解解)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx )(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx .2422114213f yf yxfxfx 例例5 5.,

8、0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數設設 解解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導導數數兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故)(zyxezyx 求求22222,yzyxzxz 解一解一 記記)(),(zyxezyxzyxF 則則zyxFFF )(1zyxe 1 yzxz22222yzyx

9、zxz 0 解二解二 方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導求偏導 )1(1)(xzexzzyx 01)1()( zyxexz例例6 設設 1 xz由輪換對稱性由輪換對稱性1 yz22222yzyxzxz 0 兩邊取全微分兩邊取全微分 )()(dzdydxedzdydxzyx 0)(1 )( dzdydxezyx0 dzdydx即即dydxdz 1 yzxz22222yzyxzxz 0 解三解三 設有方程組設有方程組 3333322222cuzyxbuzyxauzyx求求dxdy解解兩邊對兩邊對 x 求導求導 00012222uuzzyyxuuz zyyxuzy這是一個以這是一個以 uzy ,為未知

10、量的三元為未知量的三元一次方程組一次方程組若系數行列式若系數行列式 222111uzyuzyD （ Vandermond行列式）行列式）0)()( zuyuyz例例7 則有則有 2221111uzxuzxDy )()(1zuxuxzD )()(yuyzxuxz 在半徑為在半徑為R的圓的一切內接三角形中，的圓的一切內接三角形中，求其面積最大者求其面積最大者解解如圖若以如圖若以 x ,y , z 表示三角形的表示三角形的三邊所對的圓心角，則三邊所對的圓心角，則 zyx三角形的面積三角形的面積)sinsin(sin212zyxRA 例例8 問題就是求問題就是求A在條件在條件 zyx下的最大值下的最大

11、值 xyz)2()sinsin(sin),( zyxzyxzyxF),0( zyx 0cos0cos0cos zFyFxFzyxzyxcoscoscos zyx 32 2max433RA 記記例例9 已知已知 ),(yxuu 滿足方程滿足方程 02222 yuaxuayuxu試選擇參數試選擇參數 ,通過變換通過變換yxeyxvyxu ),(),(使原方程變形所得新方程中沒有使原方程變形所得新方程中沒有 v 對對 x , y 的一階偏導數的一階偏導數解解yxevxvxu )(yxevxvxvxu )2(22222yxevyvyu )(yxevyvyvyu )2(22222代入方程代入方程 消去消

12、去yxe 0)()2()2(222222 vaayvaxvayvxv 令令 0202aa 解得解得2,2aa 因因 0)(22 a故變換后的方程為故變換后的方程為 02222 yvxv例例1010?,),(0000222222模模此方向導數等于梯度的此方向導數等于梯度的具有什么關系時具有什么關系時的方向導數，問的方向導數，問的向徑的向徑處沿點處沿點在點在點求求cbarzyxMczbyaxu 解解 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 處的方向導數為處的方向導數為在點在點 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 0020002000

13、20222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 處的梯度為處的梯度為在點在點 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,時時當當cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向導導數數等等于于梯梯度度的的相相等等時時故故當當cba例例1111之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉拋物面求旋轉拋物面222

14、2 zyxyxz解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設設分析分析:最小最小即即且使且使?jié)M足滿足，使得，使得本題變?yōu)榍笠稽c本題變?yōu)榍笠稽c)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令得得 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得),81,41,41(即得唯一駐點即得唯一

15、駐點處取得最小值處取得最小值駐點，故必在駐點，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據題意距離的最小值根據題意距離的最小值)81,41,41(.647241414161min d試求曲面試求曲面 xyz=1上任一點上任一點 ),( 處的法線方程和切平面方程處的法線方程和切平面方程并證明切平面與三個坐標面所圍成的并證明切平面與三個坐標面所圍成的四面體的體積是一個常量四面體的體積是一個常量證證設設1),( xyzzyxFxyFxzFyzFzyx ,法線法線 zyx切平面切平面0)()()( zyx即即3 zyx例例12 切平面在三個坐標軸上的切平面在三個坐標軸上的截距截距分別為分別為 33,

16、33,33 故切平面與三個坐標面所圍成的四面體的故切平面與三個坐標面所圍成的四面體的體積體積為為高高底底面面積積 31V|3|3|3|2131 29 |29 是一個常量是一個常量例例13 設設 y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) 確定的確定的 x ,y 的函數的函數 ，試證明，試證明tyttxtxFFffFFfdxdy 證一證一方程組方程組 0),(),(tyxFtxfy確定了兩個一元隱函數確定了兩個一元隱函數 y =y (x) , t =t ( x )兩邊分別對兩邊分別對 x 求導得求導得 xtyxtFdxdtFdxdyFfdxdtfdxdy解得解得ty

17、ttxtxFFffFFfdxdy 證二證二本題主要是弄清楚函數關系本題主要是弄清楚函數關系 ，具體求導則，具體求導則很簡單，很簡單，初看起來似乎初看起來似乎 y 是是 x 的顯函數的顯函數y = f ( x ,t ) ，但由但由F ( x , y , t ) =0 可得可得 t = t ( x , y ) ，代入，代入y = f ( x ,t ) 得得 y = f x , t ( x , y ) 這是這是y = y ( x ) 的隱函數表示形式的隱函數表示形式 按題意按題意t = t ( x , y ) 滿足滿足F ( x , y , t ) =0 故故tytxFFytFFxt 由由t = t ( x , y ) 得得dxdyytxtdxdt 又又t = t ( x , y ) 滿足滿足y = f ( x ,t ) ，故，故dxdtffdxdytx 從而從而)(dxdyytxtffdxdytx 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 證三證三兩邊取全微分并移項得兩邊取全微分并移項得 dxFdtFdyFdxfdtfdyxtyxt消去消去 dt 得得dxfFfFdyfFFtxxttyt)()( 解得解得t