選修2-1知識(shí)總結(jié)

1、選修 2-1 知識(shí)點(diǎn)小結(jié)第一章常用邏輯用語（ 1）命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞： “或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫的拉丁字母 p， q，r ， s，表示命題，故復(fù)合命題有三種形式： p 或 q； p 且 q；非 p。（ 2）復(fù)合命題的真值“非 p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p非 p真假假真“ p 且 q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqp 且 q真真真真假假假真假假假假“ p 且 q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqP 或 q真真真真假真假真真假假假注： 1

2、76;像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得： “非 p”形式復(fù)合命題的真假與 p 的真假相反； “ p 且q”形式復(fù)合命題當(dāng) p 與 q 同為真時(shí)為真，其他情況為假； “ p 或 q”形式復(fù)合命題當(dāng) p 與 q 同為假時(shí)為假，其他情況為真； 3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。（ 3）四種命題如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原命題的

3、否命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，這個(gè)命題叫做原命題的逆否命題。兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題. 若判斷一個(gè)命題的真假較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。（ 4）條件一般地，如果已知pq，那么就說：p 是 q 的充分條件； q 是 p 的必要條件?？煞譃樗念悾海?1）充分不必要條件，即pq, 而 qp； (2) 必要不充分條件，即pq, 而 qp； (3) 既充分又必要條件，即pq，又有 qp； (4) 既不充分也不必要條件，即pq，又有 qp。一般地，如果既有pq，又有 qp，就記作： pq. “

4、”叫做等價(jià)符號(hào)。pq 表示 pq 且 qp。這時(shí) p 既是 q 的充分條件，又是q 的必要條件，則p 是 q 的充分必要條件，簡稱充要條件。（ 5）全稱命題與特稱命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。注意： 1. 一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；2. 判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆

5、否命題是等價(jià)命題 ，逆命題與其否命題是等價(jià)命題 ，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮判斷其等價(jià)命題的真假；3. 判斷命題充要條件的三種方法： （1）定義法；（2）利用集合間的包含關(guān)系判斷，若 A B ，則 A是 B的充分條件或 B 是 A 的必要條件；若 A=B，則 A 是 B 的充要條件；（3）等價(jià)法：即利用等價(jià)關(guān)系 " A B B A" 判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法；第二章圓錐曲線與方程一曲線方程（ 1）求曲線 ( 圖形 ) 方程的方法及其具體步驟如下：步驟含義說明1、“建”：建立坐標(biāo)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)(1)所研究

6、的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐系，用 (x,y) 表示曲線上(2)沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。標(biāo)。任意一點(diǎn) M的坐標(biāo)。2、現(xiàn) ( 限 ) ：由限制寫出適合條件P的點(diǎn) M這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意， 使條件，列出幾何等的集合 P=M|P(M)寫出的條件簡明正確。式。3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件常常用到一些公式。P(M)，列出方程f(x,y)=04、“化”：化簡化方程 f(x,y)=0為最簡要注意同解變形。形式。5、證明證明化簡以后的方程的化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中

7、刪上的點(diǎn)。去或補(bǔ)上 ( 即要注意方程變量的取值范圍 ) 。這五個(gè)步驟 ( 不包括證明 ) 可濃縮為五字“口訣” ：建設(shè)現(xiàn) ( 限 ) 代化”（ 2）求曲線方程的常見方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo) x,y 聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡

8、的普通方程。待定系數(shù)法2圓錐曲線綜合問題（ 1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法：設(shè)圓錐曲線C f ( x， y)=0 與直線 l y=kx+b 相交于 A( x1， y1) 、 B( x2， y2) 兩點(diǎn)，則弦長| AB| 為：若弦 AB過圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長，| AB|=| AF|+|

9、 BF| 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo) ( x， y) 的取值范圍。（ 2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法。（ 3）實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分

10、析與判斷，解題的一般思想是：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型方程翻譯回去模型的解討論方程的解（ 4）知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1點(diǎn) M(x0， y0) 與圓錐曲線C：f(x ， y)=0 的位置關(guān)系二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（ 1）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。（ 2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相

11、離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)， 但并不是相切； 對于雙曲線來說， 平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：但并不相切 這注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件3直線與圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線 l :y=kx+n ，圓錐曲線： F(x,y)=0 ，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y 1) ， P2 (x 2,y 2) ，且由 F (x, y)0 ，消去 y ax2+bx+c=0（a 0）， =b2 4ac 。y kxn則弦長公式為：d= (x1 x2 )2( y1y2 )2 = (

12、1 k 2 )( x1 x2 )2 = (1 k2 ) = (1 k 2 )。（有誤）a 2| a |焦點(diǎn)弦長： | PF |e（點(diǎn) P 是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn) 是焦點(diǎn)， d 是 P 到相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的準(zhǔn)線的距離， e 是離d心率）。三、圓錐曲線方程及性質(zhì)1橢圓通徑1. 數(shù)學(xué)意義：定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦雙曲線和橢圓的通徑是2b2/a拋物線的通徑是2p（ 1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 、 F2 的距離的和等于常數(shù)（大于 | F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若M 為橢圓上任意一點(diǎn)，則有| MF1 | | MF

13、 2 | 2a 。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y21（ ab 0 ）（焦點(diǎn)在y 2x21（ ab 0 ）（焦點(diǎn)在 ya2b2x 軸上即 x 型）或2b2軸上 即 y 型）。a注：以上方程中a,b 的大小 a b0 ，其中 c2a2b2 ；在 x2y21和 y2x21兩個(gè)方程中都有a b 0 的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2 和 y2 的分母的a2b2a2b2大小。 例如橢圓 x2y21（ m0 ， n 0 ， mn ）當(dāng) m n 時(shí)表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓；當(dāng) mn 時(shí)表示焦點(diǎn)在mny 軸上的橢圓。（ 2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21知 | x |a ， | y | b ，說明橢圓位于

14、直線xa ， yb 所圍成的矩形里；a2b2y 代替 y 方程不變，所以若點(diǎn)( x, y) 在曲線上時(shí)，點(diǎn)( x, y) 也在曲線上，所以對稱性：在曲線方程里，若以曲線關(guān)于 x 軸對稱，同理，以x 代替 x 方程不變，則曲線關(guān)于y 軸對稱。若同時(shí)以x 代替 x ， y 代替 y 方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于x 軸、 y 軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)： 確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中， 令 x0 ，得 yb ，則 B (0,b) ， B2 (0, b) 是橢

15、圓與 y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y0 得 xa ，即 A ( a,0) ， A2 ( a,0)是橢11圓與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 A1 A2 、 B1 B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a 和 2b ， a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在 RtOB2 F2 中， | OB2 |b ， | OF2 | c ， | B2 F2 |a ，且 |OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2c2 ；離心率：橢圓的焦距與長軸的比cac0， 0e

16、1 ，且 e越接近 1， c 就越接近e叫橢圓的離心率。aa ，從而 b 就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e 越接近于0 ， c 就越接近于0 ，從而 b 越接近于 a ，這時(shí)橢圓越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)， c0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a2 。2雙曲線（ 1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（| PF1 | | PF2 |2a）。注意：（ * ）式中是差的絕對值，在0 2a| F1F2 | 條件下； | PF1 | PF2| 2a 時(shí)為雙曲線的一支（含F(xiàn)2 的一支）； | PF2 | PF1 | 2a 時(shí)為雙曲線的另一支（含F(xiàn)1 的一支

17、）； 當(dāng) 2a| F1F2 | 時(shí)， | PF1 | | PF2 | 2a 表示兩條射線；當(dāng) 2a| F1F2 |時(shí)， | PF1 | PF2 |2a 不表示任何圖形； （ 可借助三角形理解自己添加的） 兩定點(diǎn) F1, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，| F1 F2 |叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢圓雙曲線定義|PF1| |PF2 |2a(2 a | F1 F2 |)| PF1 | PF2 |2a(2 a| F1F2 |)方程x 2y21x2y 21x 2y 21y 2x 21a 2b 2b 2a 2a 2b 2a 2b 2焦點(diǎn)F (c,0)F (0,c)F ( c,0)F (0, c)注意：如何用方程

18、確定焦點(diǎn)的位置?。?2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程x2y 21，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線xa 的外側(cè)。即 x 2a2 ，a 2b2xa 即雙曲線在兩條直線xa 的外側(cè)。對稱性：雙曲線x 2y 21 關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙a 2b 2曲線 x2y 21的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a 2b2x22頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線yx, y 軸，所以令a 21 的方程里，對稱軸是b 2x2y 2y 0 得 xa ，因此雙曲線和x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) A (a,0) A2 (a,0)，他們是雙曲線1 的

19、頂點(diǎn)。a2b2令 x0y 軸沒有交點(diǎn)。，方程沒有實(shí)根，因此雙曲線和1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a, a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段B B2 叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b, b 叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線： 注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線 x2y 21 的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a2b2等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：ab ；2）等軸雙曲線的

20、性質(zhì)： （ 1）漸近線方程為： yx ；（ 2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征ab ，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x 2y2(0)，當(dāng)0 時(shí)交點(diǎn)在 x 軸，當(dāng)0 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。注意 x2y21 與 y2x21的區(qū)別：三個(gè)量a, b, c 中 a,b 不同（互換）c 相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也169916變了。3拋物線（ 1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F 和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線( 定點(diǎn) F 不在定直線l 上 ) 。定點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫

21、做拋物線的準(zhǔn)線。方程 y 22 pxp 0 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（ p ,0 ），它的準(zhǔn)線方程是xp；22（ 2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式： y 22 px ， x22 py ， x 22 py . 這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表y22 pxy22 pxx22 pyx22 py標(biāo)準(zhǔn)方程0)( p0)( p0)( p0)( pyyyllF圖形oxoxo FxFl焦點(diǎn)坐標(biāo)( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )

22、2222準(zhǔn)線方程pxpyppx22y22范圍x 0x0y0y 0對稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e1e1e 1說明：（ 1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（ 2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（ 3）注意強(qiáng)調(diào)p 的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4、幾個(gè)常用結(jié)論（ 1） 橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢上一點(diǎn) P 與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) F1、F2 組成的三角形稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，解決與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)注意橢圓的定義、正弦和余弦定理的運(yùn)用。（ 2）關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的

23、幾個(gè)結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線y 2=2px (p>0 )焦點(diǎn)的弦， A(x 1 ， y1) 、 B (x 2 ,y 2 ) ,直線AB 的傾斜角為，則p22|AB|=2 p以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)F對 A、Bx x =， yy = p ;1212sin24在準(zhǔn)線上射影的張角為011290 ；|FA|FB |.P第三章空間向量與立體幾何一、空間向量及其運(yùn)算1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概

24、念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運(yùn)算和運(yùn)算律OBOAABabBAOAOBabOPa(R)加法交換率：abba.加法結(jié)合率：(ab )ca(bc ).數(shù)乘分配率：(ab )ab.說明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3平行向量 ( 共線向量 ) ：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。 a 平行于 b 記作 a b 。注意：當(dāng)我們說a 、 b 共線時(shí)，對

25、應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說a 、 b 平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a （ a 0 ）、 b ， a b 的充要條件是存在實(shí)數(shù)使 b a注：上述定理包含兩個(gè)方面：性質(zhì)定理：若a b （ a 0），則有 b a ，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使 b a （ a 0），則有 a b （若用此結(jié)論判斷a 、 b 所在直線平行，還需a （或b ）上有一點(diǎn)不在b （或 a ）上）。對于確定的和 a ， b a 表示空間與 a 平行或共線， 長度為 |a | ，當(dāng)>0 時(shí)與 a 同向，當(dāng)<0 時(shí)與 a 反向的所

26、有向量。若直線 l a ， Al ， P為 l 上任一點(diǎn)， O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)OP 的表達(dá)式。推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A 且平行于已知非零向量a 的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn) P 在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t ，滿足等式OPOAta其中向量 a 叫做直線 l的方向向量。在 l上取 ABa ，則式可化為OP(1t )OAtOB.當(dāng) t1 時(shí)，點(diǎn) P 是線段 AB的中點(diǎn)，則OP1 (OAOB ).22或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式 ( ) 、( ) 既是表示式 , 的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題

27、。結(jié)合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量a 的有向線段所在直線與平面平行或 a 在 平面內(nèi)，我們就說向量a 平行于平面 ，記作 a 。注意：向量 a 與直線 a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個(gè)向量a 、 b 不共線，則向量p 與向量 a 、 b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、 y，使p xa yb. 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn)P 位于平面 MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使MPxMAyMB, 或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有OPOMxMA yMB.O在平面 MAB內(nèi)，點(diǎn) P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對（

28、 x, y ）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又 MA OAOM ,. MBOB OM ,. 代入，整理得OP (1 xy)OM xOAyOB.由于對于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn) P 就在平面 MAB內(nèi)；對于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個(gè)向量MA、MB （或MABP不共線三點(diǎn) M、A、 B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、 B、 P 四點(diǎn)共面的充要條件。5空間向量基本定理： 如果三個(gè)向量a 、b 、c 不共面， 那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,z,使 pxaybzc.說 明 ： 由

29、上 述 定 理 知 ， 如 果 三 個(gè) 向 量 a 、 b 、 c 不 共 面 ， 那 么 所 有 空 間 向 量 所 組 成 的 集 合 就 是p | p xa yb zc , x、 y、 z R ，這個(gè)集合可看作由向量a 、 b 、 c 生成的，所以我們把 a ， b ， c 叫做空間的一個(gè)基底， a ， b ， c 都叫做基向量；空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于0 可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是0 。一的 有序 實(shí)數(shù) 組 x

30、、y、z ，使推論：設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點(diǎn)，則對空間任 一點(diǎn)P， 都存在唯OP xOA yOB zOC.6數(shù)量積（ 1）夾角： 已知兩個(gè)非零向量a 、 b ，在空間任取一點(diǎn)O，作 OAa ， OBb ，則角 AOB叫做向量 a 與 b 的夾角，記作 a， bAAAAaaaabObBbOb（ 2）（ 1）OOBB（3）（4）B說 明 ： 規(guī) 定0 a， b, 因 而a， b = b， a ；如果a， b =，則稱 a 與 b 互相垂直，記作a b ；2在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（ 4）中的兩個(gè)向量的夾角不同，圖（ 3）中 AOB= OA,OB ，圖

31、（ 4）中=AO, OB,AOB從而有OA, OB = OA, OB =OA,OB .（ 2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（ 3）向量的數(shù)量積：a b cos a, b叫做向量 a 、 b 的數(shù)量積，記作a b 。即 a b = a b cos a, b，B向量 AB 在 e方向上的正射影 :eBAla e | AB | cos a,eA BA（ 4）性質(zhì)與運(yùn)算律 a ecos a, e 。 (a) b( a b) a ba b =0 a b = b a | a |2a a. a (b c) a b a c二、立體幾何中的向量方法1空間中各種角包括：異面直線所成的角、

32、直線與平面所成的角以及二面角。（ 1）異面直線所成的角的范圍是(0, 。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面2問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角。（ 2）直線與平面所成的角的范圍是0, 。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。2具體步驟如下：找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；D連結(jié)垂足和斜足， 得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角， 是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，

33、即若 為線面角， 為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（ 3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：AC斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平B面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面

34、與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心 )；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（ 4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指 (0, ，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足） ，斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：SS cos( S 為原斜面面積, S 為射影面積 ,為斜面與射影所成二