現(xiàn)代信號理論3(信號的表示)

1、 第三章 信號的矢量表示n信號的表示 信號信號: 隨時間或空間變化的物理量。 ( )( , )yx tyf x y z 怎樣高效的表怎樣高效的表示信號？示信號？信號的特征表示：1( )( )( )Nkkkkkx tatat( )kx ta信號逼近信號逼近信號的矢量表示信號的矢量表示表示的可行性？唯一性？表示的可行性？唯一性？線性獨(dú)立、基和維數(shù)線性獨(dú)立、基和維數(shù): :n線性獨(dú)立線性獨(dú)立 （線性空間的概念） 123121123,.,.,0,.nnniiinVnx x xxa aaa xx x xx線性空間 中的 個矢量若沒有不全為零的數(shù)使： 則稱線性獨(dú)立，否則，為線性相關(guān)。線性獨(dú)立保證表示的唯一性

2、。線性獨(dú)立保證表示的唯一性。n基 空間的最大線性獨(dú)立組1123123123,.,.,.niiinnnxa xxVVnx x xxx x xxVx x xx 滿足：的線性組合，且表示唯一。即 線性空間 中的 個矢量1. 線性獨(dú)立；2. 中的每個矢量均可表示為線性空間的基不是唯一的。線性空間的基不是唯一的。n維數(shù) 最大線性獨(dú)立組中矢量的個數(shù)。表示的實(shí)現(xiàn)：表示的實(shí)現(xiàn)：怎樣得到信號的參數(shù)（離散）表示？( )kx ta？分析：1( )niinixatxM 由 1,)(,)1,2,.,jnjijiixajn 兩端用作內(nèi)積 (解線性方程組解線性方程組矩陣表示：1121111121(,)(,)(,)( ,)(

3、,)(,)(,)( ,)nnnnnnnaxaxGaaG = 或 稱稱a為信號為信號x的矢量表示（相對基的矢量表示（相對基）思考：思考：n上面用來作內(nèi)積的矢量必須是基中成員嗎？n怎樣建立一個線性方程組，使求解更容易？怎樣選擇基？怎樣選擇基？正交基：正交基：1(,)0ijijij 1(,)0ijijij 雙正交性雙正交性雙正交基（雙正交基（逆轉(zhuǎn)基逆轉(zhuǎn)基）：11( )( ,)(,)( ,)1,2,.,niininjiijjjixatxMxaaxjn 由 11(,)(,)nniiiiiixxxL L2 2空間信號的最佳逼近和投影定理：空間信號的最佳逼近和投影定理：n問題問題 有限維空間M以外的信號如何

4、表示：n思路思路 有限維空間以外的信號用距離最近的M中信號表示。2,nxnxMSxLxxxxxM ；n投影定理：1 11(,)0 xa exx e11222211( ,)( ,)minxxx e exxxx e exx最小均方下的最佳逼近最小均方下的最佳逼近xxx1 1 xa e多維空間中的最佳逼近：多維空間中的最佳逼近：2121,.,nnni iinMe eexLxaexM是由基張成的子空間，表示 在中的正交投影問題的描述：問題的描述：222minnz Mxxxz？222222,0-nnnzMxxMxzMxxxzxzxzxzxxxzxxxzxxxzxxxzxzxxxxxzxx設(shè)任意的則，即（

5、，）（，）（）（），（）（）（，）（，）證明：證明：正交投影的計算：正交投影的計算：21211,.,-1,2,.,( -,)01,2,.,( ,)( ,)1,2,.,nnnjni ijiniijjiMe eexLx xMx xejnxae ejna e ex ejn是由基張成的子空間，12i,.,( ,)1,2,.,nie eeax ein當(dāng)是正交基時，解線性方程組解線性方程組基的正交化：基的正交化：nGram-SchmidtGram-Schmidt正交化過程正交化過程問題：問題： 找一組兩兩正交的單位矢量找一組兩兩正交的單位矢量e1 e2 en 使使e1 e2 en與與a1 a2 an等價等

6、價。 稱為把稱為把a(bǔ)1 a2 an規(guī)范正交化問題規(guī)范正交化問題。12,.,nnMa aa是由基張成的子空間正交化方法過程：正交化方法過程： 設(shè)a1 a2 an是基 取矢量組 容易驗證b1 b2 bn兩兩正交 且b1 b2 bn與a1 a2 an等價 11212211132113321221111;(,);( ,)(,)(,);(,)( ,).(,)(,)nnknnkkkkbaa bbabb ba ba bbabbb bb ba bbabb b正交化方法過程：正交化方法過程： 把b1 b2 br單位化 即得Mn的一個規(guī)范正交基111|1bbe 222|1bbe rrrbbe|1 n信號空間內(nèi)積的

7、不同定義，將產(chǎn)生不同的正交性，從而有不同的正交函數(shù)（信號）集合。常用正交函數(shù)集合：常用正交函數(shù)集合：權(quán)內(nèi)積權(quán)內(nèi)積n權(quán)內(nèi)積*( ( ), ( )( ) ( )( )f x g xx f x gx dxba權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)復(fù)正弦函數(shù)：復(fù)正弦函數(shù)：22111;0, 1,.( 1,1)2( )( 1,1),1( )21( )2j ntj ktkkj ktkenLx tLx ta eax t edt構(gòu)成信號空間上的規(guī)范正交基。任意的信號均有其中傅立葉級數(shù)展開傅立葉級數(shù)展開傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)采樣函數(shù)：采樣函數(shù)：22( )( )(, );|( )|;0, 1,.sin(2()222sin (2()22()2B

8、B( ),( )( )( ,)( )( )2( )sin (2()2BBiikkkkkkx tX fLB BX fdte niB tiBeBBcB tiBB tBx tx ta e tax ex t e tdtkBx tcB tB 帶限信號空間：規(guī)范正交基。為任意的帶寬在（- ， ）的信號均有其中1()22dtkxBB采樣定理采樣定理采樣函數(shù)：采樣函數(shù)：n1BB( ),( )()sin (2 ()22T( )()sin (2 ()22( )2()()()222kkx tkix txcB tBBkix txcB tBBx tnBTxxxBBB任意的帶寬在（- ， ）的信號均有若只在有限時間區(qū)間

9、內(nèi)研究信號，則可用個離散樣本的矢量表示 （，）重構(gòu)公式重構(gòu)公式勒讓德正交多項式：勒讓德正交多項式：n采用采用Gram-SchmidtGram-Schmidt正交正交化過程，由區(qū)間化過程，由區(qū)間-1-1，11上的冪函數(shù)產(chǎn)生的規(guī)范上的冪函數(shù)產(chǎn)生的規(guī)范正交多項式。正交多項式。0122334242n1;23;25 31()2 227 53();2 229 35153();2848.21( )21( )(1)2!nnnnnnttttttnP tdP ttn dt其中 通過函數(shù)映射，可以推通過函數(shù)映射，可以推廣到任意區(qū)間。廣到任意區(qū)間。切比雪夫正交多項式：切比雪夫正交多項式：n采用權(quán)函數(shù)采用權(quán)函數(shù) 的的權(quán)

10、內(nèi)積，由區(qū)間權(quán)內(nèi)積，由區(qū)間-1-1，11上的冪函數(shù)產(chǎn)生的規(guī)范上的冪函數(shù)產(chǎn)生的規(guī)范正交多項式。正交多項式。0001;2( )( )cos( arccos )( )1nnnTT tT tntT t其中 通過函數(shù)映射，可通過函數(shù)映射，可以推廣到任意區(qū)間。以推廣到任意區(qū)間。21/ 1 t22242212( )Re(1) (1)(1).241( )( )( )34nnnnnnnnT ttitnntttttT ttTtTtn 遞推公式：隨機(jī)信號的正交展開：隨機(jī)信號的正交展開：n希望能通過一組規(guī)范正交基來表征隨機(jī)信號。1( )lim( ),Nkknkx ta e ttT( )kx ta 用一組隨機(jī)變量表示隨

11、機(jī)信號。用一組隨機(jī)變量表示隨機(jī)信號。n分析（利用離散采樣）1( )limsin (2),Nknkx txcWti( )kx tx問題：問題： 隨機(jī)變量不是統(tǒng)計獨(dú)立的，其信號隨機(jī)變量不是統(tǒng)計獨(dú)立的，其信號特性難以分析。特性難以分析。分析：分析：n用一組規(guī)范正交基來表征隨機(jī)信號。1( )lim( ),Nkknkx ta e ttT( ) ( )TkiTax t e t dt 選擇適當(dāng)?shù)恼换沟玫降碾S機(jī)變選擇適當(dāng)?shù)恼换?，使得到的隨機(jī)變量互不相關(guān)。量互不相關(guān)。分析：分析：*,121212121212()( )( ) ( )( )( )( )( , )TTijijTTTTijxTTE a ae t e tE x t x tdt dte t e tR t t dt dt 轉(zhuǎn)換為解積分方程。轉(zhuǎn)換為解積分方程。21221111( )( , )( )( ,)( )( )TjxjjTTijijjji