函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例1

1、32.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例1幾種常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型(2)二次函數(shù)模型(3)指數(shù)函數(shù)模型(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型(5)冪函數(shù)模型1函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問題；(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)2應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程數(shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么需要檢驗(yàn)？數(shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么需要檢驗(yàn)？【提示】因?yàn)楦鶕?jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，一般是從我們比較熟悉的、最簡(jiǎn)單的函數(shù)作模擬，但所估計(jì)的函數(shù)有時(shí)可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際，此時(shí)就要再改選其他函數(shù)模型某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為

2、20 000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益總成本利潤(rùn))【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：總成本固定成本100 x；收益函數(shù)為一分段函數(shù)解答本題可由已知總收益總成本利潤(rùn)，知利潤(rùn)總收益總成本由于R(x)為分段函數(shù)，所以f(x)也要分段求出，將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最值問題【解析】(1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20 000100 x，從而f(x) 在函數(shù)應(yīng)用題中，正確理解題意，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣是成功的一半而二次函數(shù)模型常涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)的單調(diào)性、區(qū)

3、間最值等問題，二次函數(shù)的配方是比較有效的解題手段1.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)，某公司每月最多生產(chǎn)100件產(chǎn)品，生產(chǎn)x(xN)件產(chǎn)品的收入函數(shù)為R(x)3 000 x20 x2(單位：元)，其成本函數(shù)C(x)500 x4 000(單位：元)，利潤(rùn)為收入與成本之差(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及其邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；(2)利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由題意知，x1,100，且xN.(1)P(x)R(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000，x1,1

4、00，xN，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20 x22 500 x4 000)2 48040 x，x1,100，xN.某林區(qū)1999年木材蓄積量200萬(wàn)立方米，由于采取了封山育林、嚴(yán)禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能達(dá)到5%.(1)若經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬(wàn)立方米，求yf(x)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域；(2)作出函數(shù)yf(x)的圖象，并應(yīng)用圖象求經(jīng)過多少年后，林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬(wàn)立方米？【解析】(1)現(xiàn)有木材蓄積量200萬(wàn)立方米，經(jīng)過1年后木材蓄積量為2002005%200(15%)；經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(15

5、%)200(15%)5%200(15%)2.經(jīng)過x年后木材蓄積量為200(15%)x.yf(x)200(15%)x.x雖以年為單位，但木材每時(shí)每刻均在生長(zhǎng)，x0，且xR.函數(shù)的定義域?yàn)?，)x0123y200210220.5 231.5(2)作函數(shù)作函數(shù)yf(x)200(15%)x(x0)圖象，如圖所示圖象，如圖所示.年份0為1999年(附圖)作直線y=300，與函數(shù)y=200(1+5%)x的圖象交于A點(diǎn)，設(shè)A(x0,300)，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y=300時(shí)(木材蓄積量為300萬(wàn)立方米時(shí))所經(jīng)過的時(shí)間x的值8x09，則取x=9.經(jīng)過9年后林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬(wàn)立方米由于“

6、遞增率”問題多抽象為指數(shù)函數(shù)形式，而由指數(shù)函數(shù)形式來確定相關(guān)的量的值多需要使用計(jì)算器計(jì)算，如果問題要求不嚴(yán)格，就可以通過圖象近似求解用函數(shù)的圖象求解未知量的值或確定變量的取值范圍，是數(shù)學(xué)常用的方法之一這種將“數(shù)”與“形”結(jié)合解決問題的思想方法即“數(shù)形結(jié)合方法”，能使抽象的問題直觀化，對(duì)人的數(shù)學(xué)思維發(fā)展有深刻的影響2.某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問應(yīng)該將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)【解析】設(shè)每件售價(jià)提高x元，則每件得利潤(rùn)(108x)元，即(2x

7、)元每天銷售量變?yōu)?200 x/0.510)件，即(20020 x)件，所獲利潤(rùn)y(2x)(20020 x)20(x4)2720(0 x10)故當(dāng)x4，即售價(jià)定為14元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)720元某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)yabxc(其中a，b，c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：此工廠前三個(gè)月的產(chǎn)量已知；題中給出

8、了兩個(gè)函數(shù)模型，選擇其中一個(gè)解答本題先由條件確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)的值，再研究x4時(shí)，哪個(gè)函數(shù)值更接近1.37.(1)問題中給出函數(shù)解析式，且解析式中帶有需要確定的參數(shù)，這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性質(zhì)來確定，然后再通過運(yùn)用函數(shù)使問題本身獲解；(2)在建立函數(shù)模型時(shí)，對(duì)同一實(shí)際問題可選取不同的模型，通過比較，選出比較接近實(shí)際的模型時(shí)間時(shí)間/t50110250種植成種植成本本/Q150 1081503.某地西紅柿從2月1日起開始上市通過市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位為：元/102 kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：(1)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成

9、本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本1解決應(yīng)用問題的基本步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題：就是要讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握新信息在此基礎(chǔ)上，分析出已知是什么、求什么、涉及哪些知識(shí)、確定自變量與函數(shù)值的意義，嘗試將問題函數(shù)化審題時(shí)要抓住題中關(guān)鍵的量，要勇于嘗試、探索，敏于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型：一般設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表

10、示各種相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型(3)利用數(shù)學(xué)的方法對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果(4)將數(shù)學(xué)問題的解代入實(shí)際問題進(jìn)行核查，舍去不合題意的解，并作答這些步驟用框圖表示如下：2數(shù)據(jù)擬合過程中的假設(shè)數(shù)據(jù)擬合過程中的假設(shè)就一般的數(shù)學(xué)建模來說，是離不開假設(shè)的，如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè)，將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去，對(duì)于稍復(fù)雜一點(diǎn)的問題就無法下手了，假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們?cè)趩栴}中的作用，通常，初步接觸一個(gè)問題，

11、會(huì)覺得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細(xì)分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的因素并無實(shí)質(zhì)聯(lián)系，有的因素是無關(guān)緊要的，排除這些因素，問題則越發(fā)清晰明朗，在假設(shè)時(shí)就可以設(shè)這些因素不需考慮(2)降低解題難度，雖然每一個(gè)解題者的能力不同，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就都可以有能力建立數(shù)學(xué)模型，并且得到相應(yīng)的解一般情況下，是先在最簡(jiǎn)單的情形下組建模型，然后通過不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實(shí)際，從而得到更滿意的解某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)15.06x0.15x2，和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A45.606B45.6C46.8 D46.806

12、【錯(cuò)因】上面解答中x51/5不為整數(shù)，在實(shí)際問題中是不可能的，因此x應(yīng)根據(jù)拋物線取與x51/5接近的整數(shù)才符合題意【正解】設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15x)輛，則總利潤(rùn)LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)245.606.根據(jù)二次函數(shù)圖象和xN*，當(dāng)x10時(shí)，獲得最大利潤(rùn)L0.151023.06103045.6萬(wàn)元【答案】B整理課件作業(yè)：1.將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件；若每件的售價(jià)漲0.5元，其銷售量減少10件，問將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大？并求出這個(gè)最大利潤(rùn)2.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v5log2Q10，單位是m/s，其