第五章二項(xiàng)分布和poisson分布及其應(yīng)用

1、l連續(xù)性分布正態(tài)分布t 分布 分布F分布2l離散性分布 二項(xiàng)分布 Poisson 分布l如果已知某種藥物的某種副反應(yīng)發(fā)生率為10%，現(xiàn)有5個(gè)病人服用此藥物，請(qǐng)問4個(gè)或4個(gè)以上的病人發(fā)生此副反應(yīng)的概率是多少？l概念：是描述只具有規(guī)律性的一種概率分布。l二項(xiàng)分布的特點(diǎn)：每次試驗(yàn)結(jié)果有兩種可能（成功或失?。?。每次試驗(yàn)出現(xiàn)成功的概率 恒定。各次試驗(yàn)獨(dú)立。l設(shè)實(shí)驗(yàn)用白鼠共3只，記事件“白鼠用藥后死亡”為A，相應(yīng)死亡概率為 。記事件“白鼠用藥后不死亡”為 ，相應(yīng)概率為 。l記經(jīng)試驗(yàn)后3只白鼠中死亡白鼠數(shù)為X，則X的可能取值為0、1、2和3，取這些值的概率如下表。 l若白鼠死亡概率為0.8。A1l在n次試驗(yàn)

2、中出現(xiàn)成功次數(shù)為次(成功率為 )的概率為：nXp knkknCkXP)1 ()()!( !knknCknl對(duì)于不同的 ，不同的 有不同的二項(xiàng)分布。l二項(xiàng)分布有兩個(gè)參數(shù) 、 。l隨機(jī)變量X服從以 、 為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為XB( , )。 nnnnl見表5.3，列出了發(fā)生A事件k次的概率（k=0，1，2，3，.）l結(jié)果A最多有K次發(fā)生的概率l結(jié)果A最少有K次發(fā)生的概率knkKkknKkCkXPKXP)1 ()()(00knknKkknnKkCkXPKXP)1 ()()(l例5.2 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某省用“中藥闌尾炎合劑”治療急性闌尾炎性腹膜炎的有效率為86%，試分別估計(jì)： 治療10例中至少9例有效的概率

3、； 治療10例中至多7例有效的概率。l本例有效例數(shù)B(10，0.86) l10例患者中至少9例有效的概率為：l至多7例有效的概率：)10()9()9(XPXPXP581. 0221. 0360. 086. 014. 086. 01019910 C155. 0581. 001486. 0128810C)9()8(1)8(1)7(XPXPXPXPl若 ，則 : 的均數(shù) 的方差 的標(biāo)準(zhǔn)差)(，nBXXXXnX)1 (2 nX1nXl 的均數(shù)在這里可以理解為n次試驗(yàn)中結(jié)果A期望出現(xiàn)的次數(shù)，而 的標(biāo)準(zhǔn)差則是衡量結(jié)果A出現(xiàn)次數(shù)的變異程度。XX例5.3 求例5.1中平均死亡鼠數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。l根據(jù)死亡鼠數(shù) B(

4、3，0.8)，則：l平均死亡鼠數(shù) (只)。l標(biāo)準(zhǔn)差 (只 ）。X4 . 28 . 03X69. 0)8 . 01 (8 . 03X00.050.10.150.20.250.30.350.401234500.050.10.150.20.250.302468105n3 . 010n3 . 000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.202468101214161800.020.040.060.080.10.120.140.160.1802468 10 12 14 16 18 2020n30n5 . 03 . 0l由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心極限定理可得，當(dāng)n較大、 不接近0

5、也不接近1時(shí)，二項(xiàng)分布B( , )近似正態(tài)分N 。 n) )1 (,(nn) )1 (,(nnNXl在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)成功率為 的概率為： XnXXnXP1nXp l樣本率的總體均數(shù) l樣本率的總體標(biāo)準(zhǔn)差 nnnXp11nnXp)1 (1nppSp1l率的參數(shù)估計(jì)l率的假設(shè)檢驗(yàn)l率的參數(shù)估計(jì)v總體率的點(diǎn)估計(jì)v總體率的區(qū)間估計(jì)查表法 正態(tài)近似法 l樣本率與總體率比較 l兩樣本率的比較 l查表法：當(dāng)50時(shí)可查表求總體率的95%或99%可信區(qū)間(附表3)。l附表3中的X值只列出 部分，當(dāng) 時(shí)，應(yīng)以 值查表，求總體陰性率可信區(qū)間，再用1減去陰性率可信區(qū)間，即得陽性率的可信區(qū)間。 2nX 2nX Xnl當(dāng)

6、n足夠大，p和1p均不太小時(shí)(可通過np與n(1p)均大于5判斷)，樣本率p近似正態(tài)分布，這時(shí)可以利用正態(tài)分布理論來估計(jì)總體率的可信區(qū)間 ：),(ppSupSupnppSp1l率的標(biāo)準(zhǔn)誤l例5.4 某醫(yī)院用復(fù)方當(dāng)歸注射液靜脈滴注治療腦動(dòng)脈硬化癥188例，其中顯效83例，試估計(jì)復(fù)方當(dāng)歸注射液顯效率的95%和99%可信區(qū)間。 l本例，n188，p83/188=0.4415 復(fù)方當(dāng)歸注射液顯效率的95%的可信區(qū)間為： (0.44151.960.036，0.44151.960.036) =(37.09%，51.21%)復(fù)方當(dāng)歸注射液顯效率的99%的可信區(qū)間為： (0.44152.580.036， 0.

7、44152.580.036)= (34.86%，53.44%) l樣本率與總體率的比較直接計(jì)算概率法正態(tài)近似法l兩個(gè)率的比較l根據(jù)二項(xiàng)分布的概率分布列計(jì)算概率或累積概率，并依據(jù)小概率事件原理，作出統(tǒng)計(jì)推斷。 l例5.7 一種鴨通常感染某種傳染病的概率是0.2，現(xiàn)將一種藥物注射到25只鴨后發(fā)現(xiàn)有1只鴨發(fā)生感染，試判斷這種藥物對(duì)預(yù)防感染是否有效。 此藥物對(duì)預(yù)防感染無效，即 此藥物對(duì)預(yù)防感染有效，即單側(cè)在 成立的前提下，25只鴨中感染的只數(shù)，則有：0H：1H2 . 02 . 005. 0)2 . 0 ,25( BX0274. 08 . 02 . 08 . 0) 1()0() 1(24112525CX

8、PXPXPl這表明在自然情況下，25只鴨感染只數(shù)不超過1只屬于小概率事件，很難在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)，現(xiàn)在的事實(shí)是竟然出現(xiàn)了，于是在現(xiàn)有檢驗(yàn)水準(zhǔn)上有理由拒絕藥物未起作用的假設(shè) ，接受 ，認(rèn)為藥物是有預(yù)防作用的。 0H1Hl例5.8 十八世紀(jì)天花在人群中的自然感染率高達(dá)90%。1798年英國(guó)醫(yī)生琴納對(duì)23名志愿者作牛痘免疫試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這23名接種了牛痘疫苗的人接觸天花病毒后竟無一人感染。試從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來推斷牛痘疫苗是否有預(yù)防天花的作用。 接種人群與不接種人群天花感染率相, 接種人群比不接種人群天花感染率低，單側(cè)在 成立的前提下，23人中自然感染人數(shù) ，無一人感染的概率為：0H：1H9 . 09 . 0

9、05. 00H)9 . 0 ,23( BX23230023101 . 09 . 0)0(CXP23人中自然免疫的概率微乎其微(P0.05，按雙側(cè)水平不拒絕 ，故可認(rèn)為兩類兒童總體的佝僂病發(fā)病率差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，尚不能認(rèn)為新補(bǔ)鈣制劑和鈣片的效果有差別。0Hl泊松分布是描述當(dāng)試驗(yàn)中成功的概率很小(如0.05)，而試驗(yàn)的次數(shù)n很大的小概率事件出現(xiàn)規(guī)律性的一種離散型隨機(jī)分布。l用于描述在單位時(shí)間(空間)內(nèi)稀有事件的發(fā)生數(shù)。 醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中服從醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中服從Poisson分布指標(biāo)分布指標(biāo) 放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)； 在單位容積充分搖勻的水中的細(xì)菌數(shù)； 野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)等。l試驗(yàn)的次

10、數(shù)n很大時(shí),在每一觀察單位內(nèi)出現(xiàn)成功次數(shù)X(X=0,1,2,.,)的概率： P(X) = eX! -X式中:le：自然對(duì)數(shù)的底，e2.7182；l 是大于0的常數(shù)，稱為Poisson分布的參數(shù)。lPoisson分布只有一個(gè)參數(shù)，這個(gè)參數(shù)就是Poisson分布的總體均數(shù) 。 8!8exxPxl如果X1, X2 , , Xk相互獨(dú)立，且它們分別服從以 ， ， 為參數(shù)的 Poisson分布，則T=X1+X2+ Xk也服從Poisson分布，其參數(shù)為 。12kk21l例 設(shè)某放射性物質(zhì)平均每分鐘放射計(jì)數(shù)為 5?，F(xiàn)考慮測(cè)3個(gè)1分鐘的放射計(jì)數(shù)，分別記為X1, X2, X3。則 XiP(5)，i=1,2,3

11、。據(jù)Poisson分布的可加性可得X1+X2+X3P(15)。 00.050.10.150.20.2502468101200.020.040.060.080.10.120.140.160.180.202468101214163500.020.040.060.080.10.120.1402468 10 12 14 16 18 20 22 2400.010.020.030.040.050.060.070.080.090.104812162024283236401020l當(dāng)20時(shí)已接近正態(tài)分布，當(dāng)50時(shí)則非 常接近正態(tài)分布。l當(dāng)20時(shí)已接近正態(tài)分布，當(dāng)50時(shí)則非常接近正態(tài)分布。l方差等于均數(shù): 2=

12、l泊松分布資料的可加性 l平穩(wěn)性: X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)。l獨(dú)立增量性(無后效性): 在某個(gè)觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值獨(dú)立（無關(guān)）。l普通性: 在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。 l總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì) 直接法正態(tài)近似法l假設(shè)檢驗(yàn)樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較兩個(gè)樣本均數(shù)的比較 l直接法 當(dāng)X50時(shí)，按附表4根據(jù)樣本計(jì)數(shù)X查Poisson總體均數(shù)的95%或99%可信區(qū)間。l正態(tài)近似法，當(dāng)X50時(shí)XuXXuX,l本例X=8，查附表4，樣本計(jì)數(shù)8的一行得的95%可信區(qū)間下限為3.4，上限為15.8。故該病室平均1小時(shí)100cm2細(xì)菌數(shù)的95%可信區(qū)間為

13、 (3.4，15.8)。 l即該放射性物質(zhì)平均每30分鐘脈沖計(jì)數(shù)的95%可信區(qū)間為322.8397.2個(gè)。），（），397.2 8 .32236096. 1360 36096. 1360(l直接計(jì)算概率法l正態(tài)近似法00Xu0102. 01291. 08607. 01) 1()0(1)2(XPXPxPH0：輻射后該溶液中平均每毫升細(xì)菌數(shù) =80H1：輻射后該溶液中平均每毫升細(xì)菌數(shù) 80 ，拒絕H0，可認(rèn)為此低劑量輻射有殺菌作用。 47. 4808040u05. 005. 0Pl兩個(gè)樣本的觀察單位數(shù)相等(n1=n2)時(shí)l兩個(gè)樣本的觀察單位數(shù)不等(n1n2)時(shí) uXXX X-0.5 1212uXX

14、XnXn12112205 .l得雙側(cè)概率P0.05, 按=0.05準(zhǔn)拒絕無效假設(shè)，可以認(rèn)為兩個(gè)時(shí)期的發(fā)病水平不同，后5年高于前5年。u 45 790 545 79301.l得單側(cè)概率P0.05, 按=0.05水準(zhǔn)拒絕無效假設(shè)，可以認(rèn)為安全措施具有減少傷亡人數(shù)的作用。u 30 422 00 530 4522 02191.l樣本率與總體率的比較直接計(jì)算概率法正態(tài)近似法l兩個(gè)率的比較lH0: lH1: l l l ，尚不能拒絕H0，據(jù)此樣本尚不能認(rèn)為該地新生兒染色體異常率低于一般新生兒。01. 001. 005. 0) 1()0() 1(XPXPXP0905. 00725. 00180. 0)01. 0()99. 0(!1400! 1!400)99. 0(