第10章平面圖形的幾何性質(zhì)

1、 反映平面圖形的反映平面圖形的形狀形狀與與尺寸尺寸的的幾何量幾何量NF A NElFl A如：如：本章介紹：本章介紹： 平面圖形幾何性質(zhì)的平面圖形幾何性質(zhì)的定義定義、計(jì)算方法計(jì)算方法和和性質(zhì)性質(zhì)在軸向拉（壓）中：在軸向拉（壓）中：10.1 靜矩與形心靜矩與形心一、靜一、靜矩矩整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) x 軸的靜矩：軸的靜矩：整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) y 軸的靜矩：軸的靜矩：ydA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) x 軸的靜矩軸的靜矩xdA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) y 軸的靜矩軸的靜矩定義：定義：（面積矩）（面積矩）其值：其值：+ +、- -、0 單位：?jiǎn)挝唬簃3 AxAySd AyAxSdxyOA

2、ydAx二二. .形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)AAyyAAxxACACddCxyCCxyO由理論力學(xué)中由理論力學(xué)中,均質(zhì)薄板求均質(zhì)薄板求質(zhì)心的公式質(zhì)心的公式即即ASyASxxCyC由此得出由此得出CxCyAySxAS性質(zhì)性質(zhì)1若某軸過形心，則圖形對(duì)該軸靜矩為零若某軸過形心，則圖形對(duì)該軸靜矩為零. .反之反之, ,圖形對(duì)圖形對(duì)某軸靜矩為零，則該軸必過形心某軸靜矩為零，則該軸必過形心. . 例例 求三角形求三角形ABCABC對(duì)底邊對(duì)底邊BCBC的靜矩的靜矩解解: :)(,yhhbDEbDEhyhbhABCOyxdyDEyyyyhhbSxd)(dhAxxxdxxhhbdSS0)(積分得積分得：203261312

3、bhxxhhbShx3)21(hbhSx三、組合圖形的三、組合圖形的靜矩和形心靜矩和形心 組合圖形組合圖形由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形（如矩形、圓形等）（如矩形、圓形等） 組成組成的平面圖形的平面圖形如：如：1. .靜矩靜矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC ASyxC 例例 確定形心坐標(biāo)確定形心坐標(biāo)mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 2211yAyA 21AA 解：解： 取參考坐標(biāo)系取

4、參考坐標(biāo)系 xy2002003030 x（參考軸）yyCC10.10.2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑一、慣性一、慣性矩與慣性積矩與慣性積整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì)x 軸的慣性矩軸的慣性矩整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) y 軸的慣性矩軸的慣性矩y2dA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) x 軸的慣性矩軸的慣性矩x2dA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) y 軸的慣性矩軸的慣性矩定義：定義：其值：其值：+ + 單位：?jiǎn)挝唬簃4 AxAyId 2 AyAxId2xyOAydAx1. .慣性矩慣性矩2.2.極慣性矩極慣性矩即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面圖形對(duì)任意一點(diǎn)的極慣

5、性矩等于該圖形對(duì)通過平面圖形對(duì)任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對(duì)通過該點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和該點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和 性質(zhì)性質(zhì)2xyOAydAx AAyxd22若若 x 、 y 軸為一對(duì)正交坐標(biāo)軸軸為一對(duì)正交坐標(biāo)軸整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) x 軸和軸和 y軸的慣性積軸的慣性積定義：定義： xydA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) x 軸和軸和 y 軸的慣性積軸的慣性積 的坐標(biāo)軸的坐標(biāo)軸其值：其值：+ +、- -、0 單位：?jiǎn)挝唬簃4 AxyAxyId假設(shè)：假設(shè)： x 軸和軸和 y 軸為一對(duì)相互垂直軸為一對(duì)相互垂直3.3.慣性積慣性積xyOAydAx二二.慣性慣性積的性

6、質(zhì)積的性質(zhì)當(dāng)當(dāng) x 、 y 軸中有一軸為對(duì)稱軸軸中有一軸為對(duì)稱軸xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi210lim0 xyA xyA - 在一對(duì)正交軸中，只要有一個(gè)對(duì)稱軸，則該圖形在一對(duì)正交軸中，只要有一個(gè)對(duì)稱軸，則該圖形對(duì)這對(duì)軸的慣性積為零。對(duì)這對(duì)軸的慣性積為零。 性質(zhì)性質(zhì) 3 ：(1).(1). 矩形截面矩形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 三三.常用圖形的慣性矩：常用圖形的慣性矩：AAId2p)d2(2

7、02d324dd2dA2/04)4(2d(2). 圓形截面圓形截面OddD324dpIIIyx 由對(duì)稱性由對(duì)稱性 yxII 21pI 444416464 DdD 644d(3). 環(huán)形截面環(huán)形截面dxyO p21 IIIyx 慣慣 性性 矩矩對(duì)對(duì)某一軸某一軸而言而言 極慣性矩極慣性矩對(duì)對(duì)某一點(diǎn)某一點(diǎn)而言而言特別指出：特別指出： 慣慣 性性 積積對(duì)對(duì)某一對(duì)正交軸某一對(duì)正交軸而言而言圖形對(duì)圖形對(duì) x 軸的軸的慣性慣性半徑半徑 單位：?jiǎn)挝唬?mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、 慣性半徑慣性半徑 在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)把在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)把慣性矩慣性矩寫成寫成即：即：圖形對(duì)圖形

8、對(duì) y 軸的軸的慣性慣性半徑半徑10.10.3 平行軸定理平行軸定理 定理推導(dǎo)定理推導(dǎo)bxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：yOAxCdAyxxccycyxcab 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 顯然：顯然：性質(zhì)性質(zhì) 4：在平面圖形對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩：在平面圖形對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩 中，以對(duì)形心軸的慣性矩為最小。中，以對(duì)形心軸的慣性矩為最小。同理同理慣性矩和慣性積的平行軸定理慣性矩和慣性積的平行軸定理yOAxCdAyx

9、xccybacyxc解：解：cccyyyIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 12302003 42mm 302005 .57 12 1AIIccxx1a47mm 1098. 3 22 2AIIccxx2acccxxxIII47mm 1001. 6 cxIcyI例例 求求 和和III200200303047mm 1003. 2 xcCcyc157.5a1a2xC1xC210. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)規(guī)定：規(guī)定： 角逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)榻悄鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)?+ sincos1yxx 兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系： sinco

10、s1xyy 代入代入 AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211111xyOdAyxA x1y1x11y顯然顯然 11yxyxIIII const pI 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII xyOdAyxA x1y1x11y顯然顯然const pI 性質(zhì)性質(zhì)5：平面圖形對(duì)通過一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的兩個(gè)：平面圖形對(duì)通過一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的兩個(gè) 慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣 性矩。性矩。 11yxyxIIII xyO

11、dAyxA x1y1x11y二、主慣性矩二、主慣性矩 1. .定義定義主慣性軸主慣性軸慣性積為零的一對(duì)坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱主軸慣性積為零的一對(duì)坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱主軸主慣性矩主慣性矩圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸形心主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩形心主慣性矩圖形對(duì)形心主慣性軸的慣性矩圖形對(duì)形心主慣性軸的慣性矩性質(zhì)性質(zhì)6：圖形的對(duì)稱軸是形心主慣性軸：圖形的對(duì)稱軸是形心主慣性軸2.確定確定主慣性軸主慣性軸的位置的位置 設(shè)設(shè) 0 0是舊軸是舊軸x 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性主慣性軸軸x0的角度，則的角度，則由由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得慣性積的轉(zhuǎn)

12、軸公式及主慣性軸的定義，得02cos2sin200 xyyxIII可改寫為可改寫為yxxyIII22tan0（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2 0 0角的象限）角的象限） 由上面由上面tan2 0的表達(dá)式求出的表達(dá)式求出cos2 0、sin2 0后，再后，再代入代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 ，化簡(jiǎn)后可得，化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)主慣性矩的計(jì)算公式：算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120極大值Imax極小值Imin101012025C4020yz 20158035AaIICyy2 AbIICzz2 abAIICCzyyz 107010121101201510120121323yI424mm.100)25(70 mm104 .27844 zI093. 1)2(tan20 IzIyIyz zyII 02 6 .22720 8 .1130 mm103 .971070)35()25(0101202015044 yzI101012025C4020yz 20158035101012070C4020yzy0 0=113.8z0mm103214)(21244220 yzzyzyyIIIIIImm104 .574)(21244220 yzzyzyzIIIIIIdb2dyzOdddddAAzzAAA