曲線和方程教案

1、曲線和方程教案課 堂 教 學 設 計課題：曲線和方程（1）一：教學目標知識與技能目標（1） 了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關(guān)系；（2） 初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；（3） 學會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。過程與方法目標（1）通過直線方程的復習引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關(guān)系的直觀認識；（2）在形成曲線和方程概念的過程中，學生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學活動過程，探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀點；（3）能用所學知識理解新的概念，并能運用概念解決實際問題

2、，從中體會轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應用意識。情感與態(tài)度目標（1）通過概念的復習引入，從特殊到一般，讓學生感受事物的發(fā)展規(guī)律；（2）通過本節(jié)課的學習，學生能夠體驗幾何問題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來研究，真正認識到數(shù)學是解決實際問題的重要工具； （3）學生通過觀察、分析、推斷可以獲得數(shù)學猜想，體驗到數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。二：教材分析1、教學分析：因為學生已有了用方程（有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線的感性認識（特別是二元一次方程表示直線），現(xiàn)在要進一步研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程。所以本節(jié)課采用了復習引入課題，從特殊到一般的方法讓

3、學生易于接受。在概念的探索過程中采用了舉反例的方法來揭示概念的內(nèi)涵。在概念的應用即例題的設計方面，著重鞏固對概念的兩個條件的認識。2、教學重點“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。（本節(jié)課是由直觀表象上升到抽象概念的過程，學生容易對定義中為什么要規(guī)定兩個關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴大概念的外延。由于學生已經(jīng)具備了用方程表示直線，拋物線等實際模型，積累了感性認識的基礎，所以可用舉反例的方法來解決困惑，通過反例，揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而又促使學生對概念表述的嚴密性進行探索，自然地得出定義。為強化其認識，又決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應關(guān)系，并以此為工具來分析實例，

4、這將有助于學生的理解，有助于學生通其法、知其理。） 3、教學難點怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。（因為學生在作業(yè)中容易犯想當然的錯誤，通常在已知曲線建立方程的時候，不驗證方程的解為坐標的點在曲線上，就斷然得出所求的是曲線的方程。為了突破難點，本節(jié)課設計了三種有層次的例題：例3是概念的直接運用，例4是證明曲線的方程，例5是概念的逆向運用。通過這些例題讓學生再一次體會“二者”缺一不可。）三：學情分析此前，學生已知，在建立了直角坐標系后平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應關(guān)系，已有了用方程（有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線的感性認識（特別是二元一次方程表示直線），現(xiàn)在要進一步

5、研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程，對學生有相當大的難度。學生在學習時容易產(chǎn)生的問題是，不理解“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”這兩句話在揭示“曲線和方程”關(guān)系時各自所起的作用。本節(jié)課的教學目標也只能是初步領會，要求學生能答出曲線和方程間必須滿足兩個關(guān)系時才能稱作“曲線的方程”和“方程的曲線”兩者缺一不可，并能借助實例指出兩個關(guān)系的區(qū)別。四：教學方法1、教法：教學過程是教師和學生共同參與的過程，啟發(fā)學生自主性學習,充分調(diào)動學生的積極性、主動性；有效地滲透數(shù)學思想方法，提高學生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的

6、教學目標，并為激發(fā)學生的學習興趣，我采用如下的教學方法：(1)引導探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過學生觀察坐標系中的曲線和方程之間的關(guān)系，來得出曲線和方程的概念，這能充分調(diào)動學生的主動性和積極性。(2)嘗試指導法，以學生為主體，以訓練為主線。這樣更能突出重點、解決難點，使學生的分析問題和解決問題的能力得到進一步的提高。2、學法：教給學生方法比教給學生知識更重要，本節(jié)課注重調(diào)動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：(1)觀察分析：讓學生要學會觀察問題，分析問題和解決問題。(2)練習鞏固：讓學生知道數(shù)學重在運用，從而鞏固對概念的理解，找出未掌握的內(nèi)容及其差距。

7、五：教學活動程序1、承上啟下，提出課題師：在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關(guān)系：在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程來表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線。下面看一個具體的例子：例1：畫出方程表示的直線y(1) （2）借助多媒體讓學生再一次從直觀上深刻體會：必須同時滿足（1）直線上的點的坐標都是方程的解和（2）以這個方程的解為坐標的點都是直線上的點，即方程的解的集合與直線上所有點的集合之間建立了一一對應關(guān)系，那么直線（圖形） 方程（數(shù)量）。類比方程與如圖所示的拋物線。這條拋物線是否與這個二元方程 也能建立這種對應關(guān)系呢 （按照

8、例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推廣：那么對任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價關(guān)系呢？這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容：曲線和方程。（板書課題） 現(xiàn)在請同學們思考這樣的問題：?方程的解與曲線C上的點的坐標具備怎樣的關(guān)系，就能用方程表示曲線C，同時曲線C也表示著方程,為什么要具備這些條件？（將問題重述一遍，使每個學生聽清楚。學生思考，討論，口答）（說明：運用學生熟知的舊知識，由特殊到一般，既提出了課題，又為形成曲線和方程的概念提供了實際模型。但是如果就此而由教師直接給出結(jié)論，那就不僅會失去開發(fā)學生思維的機會，影響學生的理解，而且會使教學變得枯燥乏味，抑制學生學習的主動性和積極性。要啟動學生的思維

9、，就要有一個明確的可供思考的問題，使學生的思維有明確的指向。這里提出的思考題是以相信學生對用方程表示曲線的事實已有了初步的認識為前提，它可以說是本節(jié)課的中心議題，應引導全班學生積極思維，讓多一點學生發(fā)表意見，形成“高潮”。在思考題的后面加上了“為什么”的問題。是為了給那些還記著“直線的方程”的定義的學生提供思考余地，增大思考題的跨度。）2、 運用反例，揭示內(nèi)涵師：剛才的討論中，有的同學提到了應具備關(guān)系：“曲線上的點的坐標都是方程的解”；有的同學提到了應具備關(guān)系“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”；還有的同學雖用了不同的提法，但意思不外乎這兩個?，F(xiàn)在的問題是：上述的兩種提法一樣嗎它們反映的

10、是不是同一個事實有何區(qū)別究竟用怎樣的關(guān)系才能把例1中曲線和方程的這種對應關(guān)系完整的表達出來為了弄清這些問題，我們來研究下列例題。（說明：在討論中，學生會有各種不同的意見，教師應予鼓勵，并隨時補正糾錯，但不要急著把兩個關(guān)系并列起來拋出定義，中斷學生的探索性思維，而是再提出問題，深入探索。）例2:用下列方程表示如圖所示的曲線C，對嗎為什么（1） （2）（3） （學生思考，回答）師：方程（1），（2），（3）都不是表示曲線C的方程。第（1）題中曲線C上的點不全是方程的解。例如點，等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結(jié)論；第（2）題中，盡管“曲線上的點的坐標都是方程的解”，但是以方程的解為

11、坐標的點卻不全在曲線C上。例如、等，即不符合“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結(jié)論；第（3）題中，則既有以方程的解坐標的點，如、等不在曲線C上，又有曲線C上的點，如、等的坐標不是方程的解。事實上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲線應該是如圖所示的三種情況。 (1) (2) (3)師：上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例1；又觀察、分析了例2中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對立關(guān)系。假如我們把例1這種能完整地表示曲線的方程稱為“曲線的方程”的話，我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個定義了。（說明：在概念教學中，通過反例的反襯，常常起著幫助學生理解

12、概念的作用。反例一般應用在學生對概念有了初步的正面了解之后，這里卻用在給出概念的定義之前，那是出于這樣的考慮：（1）相信學生已經(jīng)有了用方程表示曲線的經(jīng)驗，已能從直覺上識別哪個方程能表示哪條曲線（當然是簡單的例子），哪個方程不能表示哪條曲線，缺少的只是用邏輯形式確切地加以陳述，給概念以定義；（2）將反例中出現(xiàn)的不完整性與直觀引起矛盾，避免曲線和方程之間關(guān)系的不完整性，尋求作出必要的規(guī)定，這就是產(chǎn)生“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義的過程。）3、 討論歸納，得出定義師：在下定義時，針對例2（1）中“曲線上混有其坐標不是方程的解的點”，以及（2）中“以方程的解為坐標的點不在曲線上”的情況，對“曲線

13、的方程”應作何規(guī)定？（學生口答）師：為了不使曲線上混有其坐標不是方程的解的點，必須規(guī)定“曲線上的點的坐標都是方程的解”（板書）；為了防止以方程的解為坐標的點不在曲線上，必須規(guī)定“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”（板書）這樣我們可以對“曲線的方程”、“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1） 曲線上的點的坐標都是方程的解；（2） 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。（說明：在辨析反例之后，有了關(guān)于對象所共有的本質(zhì)屬性的正確認識，給對象以明確的定義已是水到渠成，這里單獨

14、列出作為一個教學步驟，是想突出這個中心環(huán)節(jié)，并有意識地訓練學生依據(jù)知覺的分散的已知知識給概念下定義的創(chuàng)造能力。）4、變換表達，強化理解師：大家熟知，曲線可以看作是由點組成的集合，記作C；一個二元方程的解可以作為點的坐標，因此二元方程的解集也描述了一個點集，記作F。請大家思考：如何用集合C和F間的關(guān)系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關(guān)系？進而重新認識“曲線的方程”和“方程的曲線”定義。（說明：這是本節(jié)課第二個思維的“熱點”，將促使學生對曲線和方程關(guān)系的理解得到強化，是認識上的再一次抽象，其結(jié)果將使學生對曲線和方程的關(guān)系的理解與記憶都趨于簡化。）（學生思考、口答）師：關(guān)系（1）指點

15、集C是點集F的子集；關(guān)系（2）指點集F是點集C的子集。這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即（板書） =。5：初步應用，反復辨析。（說明：數(shù)學概念是要在運用中的以鞏固，通過運用與練習，可以糾正錯誤的認識，促使對概念的正確理解，通過反復重現(xiàn)，可以不斷領悟，加強識記。這里安排的“初步應用”，目的也在于幫助學生正確理解概念，通過解題辨析“兩個關(guān)系”，實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，為此，題目中的“曲線”與“方程”都力求簡單。）例3：下列各題中，圖所示的曲線C的方程為所列方程，對嗎如果不對，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系（2）曲線C為的中線 曲線C是到坐標軸距離相等的

16、點組成的直線方程 方程曲線C是過點（4，1）的反比例函數(shù)圖象 方程學生回答：（1）錯。不符合定義中的（2），即; （2）錯。不符合定義中的（1），即; （3）錯。不符合定義中的（1）和（2），即;例4：解答下列問題，并說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個關(guān)系？（1） 點是否在方程為的圓上？（2） 已知方程為的圓過點，求的值。（學生練習、回答，老師糾錯、小結(jié)。）師；依據(jù)關(guān)系（2），可知點在圓上；依據(jù)關(guān)系（1），可知點不在圓上；依據(jù)關(guān)系（2），求得； 例5：證明以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是。（說明：課本上原有例題：證明圓心為坐標原點，半徑等于5的圓的方程是，并判斷點。處理時將有些要求分散到了例3與例4中，例5的要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領會上，對證明過程中在表述上遇到的一些困難，留在這里解決，層層深入。）師：（學生練習過程中，適時插話。）與剛才判定時一樣，證明也要緊扣定義分兩步進行；關(guān)系（1）、（2）中，“點”與“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，我們只要用表示“任意一個”，以此代表“全體”即可，這種方法為數(shù)學證明中常用。證明：（略）三：小結(jié)師：本節(jié)課我們通過對實例的研究，掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領會定義時，要牢記關(guān)系（1）、（2）兩者缺一不可，它們