中考數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)精講(打印)

1、當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，d>r ;反過(guò)來(lái),當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，d = r ;及過(guò)來(lái),當(dāng)d = r時(shí)，點(diǎn)在圓上。知識(shí)點(diǎn)一.圓的定義及有關(guān)概念1>圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑；弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓；弦心距；等圓、同 圓、同心圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫 做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例P為00內(nèi)一點(diǎn)，0P=3cm, O0半徑為5cm,則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為; 最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為解題思路：圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是和0P垂直

2、的弦，.知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，dVr;反過(guò)來(lái)，當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。例如圖，在RtAABC中，直角邊=BC = 4,點(diǎn)£, F分別是BC , AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)E在圓A的，點(diǎn)F在圓A的.解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓O的半徑為5,圓心0的坐標(biāo)為（-1，-4） 試判斷點(diǎn)P（3,-l）與圓0的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理的推

3、論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。 圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理推論1:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。圓周角定理推論2:直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。例1如圖，在半徑為5cm的。0中，圓心0到弦AB的距離為3cm,則弦AB的長(zhǎng)是()A. 4cmB.6cmC. 8cm AD. 10cm例厶如圖，A、B、C、D是00

4、上的三點(diǎn),ZBAC=30° ,則ZBOC的大小是A、 60° B、 45°C、30°D、15°例3、如圖1和圖2, MN是。0的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P, L1ZAPM二ZCPM.(1) 由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2) 若交點(diǎn)P在O0的外部，上述結(jié)論是否成立若成立，加以證明；若不 成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.解題思路：(1)要說(shuō)明AB二CD,只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等.解：(1) AB二CD理由：(2)作0E丄AB, OF丄CD,垂足為E、F例4如圖，AB是00的直徑，BD是00的弦，延長(zhǎng)BD到C,使

5、AC=AB,BD與CD的大小有什么關(guān)系為什么解題思路：BD二CD,因?yàn)锳B二AC,所以這個(gè)AABC是等腰，要證明D是BC理由是:知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1如圖，通過(guò)防治“非典”，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活 垃圾的人少了，人們自覺(jué)地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24-49所示，A、B、 C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一

6、垃圾回收站，為方便起見(jiàn)，要使 得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問(wèn)如果你是工程師，你將如何選址.AcB例2如圖，點(diǎn)0是AABC的內(nèi)切圓的圓心,解題思路：連結(jié)AB、BC,作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即 為垃圾回收站所在的位置.ZBAC=80° ,則 ZBOC二()A. 130° B. 100° C. 50° D. 65°例3如圖，RtAABC, ZC二90° , AC二3cm, BC二4cm,則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（）BB. 2.5cm C. 3cm D. 4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五、直

7、線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當(dāng)直線和圓相交時(shí)，dVr;反過(guò)來(lái)，當(dāng)d<r時(shí)，直線和圓相交。當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d = r;反過(guò)來(lái)，當(dāng)d = r時(shí)，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d>r;反過(guò)來(lái)，當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑切線的判定定理：經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做 這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓 外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。例仁 在44欽7中，BC=6cm, ZB=30° , ZC=4

8、5° ,以A為圓心，當(dāng)半徑r 多長(zhǎng)時(shí)所作的OA與直線BC相切相交相離解題思路:例2如圖，AB為00的直徑，C是00上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且ZDCB=nZA.(1) CD與00相切嗎如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2) 若CD與00相切，且ZD二30° , BD=10,求00的半徑.解題思路：(1)要說(shuō)明CD是否是00的切線，只要說(shuō)明0C是否垂直于CD, 垂足為C, 因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上.由已知易得：ZA二30° ,又由 ZDCB二ZA二30° 得:BC二BD二 10解：知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及

9、它們的運(yùn)用.難點(diǎn)：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題.外離：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè) 圓的外部?jī)?nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)，外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè) 圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)兩圓的半徑分別為門(mén)、r2,圓心距（兩圓圓心的距離）為d,則有兩圓的 位置關(guān)系，d與門(mén)和q之間的關(guān)系.外離 od>r1+r2外切 od=ri+r2相交u> | ri r2 | <d<ri+r2內(nèi)切od二 | ri

10、 r2 |內(nèi)含oOWdClm-al （其中d二0,兩圓同心）例1兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示(點(diǎn)0, 0是 圓心)，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線， 求ZTPN的大小.(1 )解題思路：要求ZTPN,其實(shí)就是求Z0P0'的角度，很明顯，ZP00,是正三角形，如圖2所示.解:例2如圖1所示，00的半徑為7cm,點(diǎn)A為00外一點(diǎn)，0A二15cm,求：(1)作OA與00外切，并求OA的半徑是多少(2)作。A與00相內(nèi)切，并求出此時(shí)0A的半徑.解題思路：(1)作0A和00外切，就是作以A為圓心的圓與00的圓心距d=r0+rA; (口2) 作0

11、A與00相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與00的圓心距 d二例3.如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0, 3), 0A半徑為1,點(diǎn)B在x軸上.(1)若點(diǎn)B坐標(biāo)為(4, 0), 0B半徑為3,試判斷0A與0B位置關(guān)系；(2)若OBi±M (-2,知識(shí)點(diǎn)七、正多邊形和圓重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之 間的關(guān)系.難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的 關(guān)系.正多邊形的中心：所有對(duì)稱軸的交點(diǎn)；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)

12、全等的等腰三角形，每個(gè)等腰三 角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個(gè)全等的直角三角形。例仁如圖，已知正六邊形ABCDEF,其外接圓的半徑是a, 求正六邊形 的周長(zhǎng)和面積.解題思路：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑, 因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接0A,過(guò)0點(diǎn)作0M丄AB垂 于M,在RtAAOM中便可求得AM,又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng).正六邊形 的面積是由六塊正三角形面積組成的.解:ED例2在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形 的一邊為AB,頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8,現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi) 接于AABC的矩形水池DEFN,其中D、

13、E在AB上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是 使 AC二8, BC=6.(1) 求AABC的邊AB上的高h(yuǎn).(2) 設(shè)DN=x,且佇竺=江，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大h AB(3) 實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1. 85的M處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這 棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上如果在，為了保護(hù)大樹(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的 方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù).r解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的 求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值.（3）的設(shè)計(jì)要有新意, 應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題.解：知識(shí)點(diǎn)八、弧長(zhǎng)和扇形、圓錐側(cè)面積面積重點(diǎn)

14、：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=,扇形面積S扇二岐、圓錐側(cè)面積180360面積及其它們的應(yīng)用.難點(diǎn)：公式的應(yīng)用.1. n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L= 1802. 圓心角為n。的扇形面積是S扇形二霧3. 全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積二兀rL+r2.例仁 操作與證明：如圖所示，0是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，將一 塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在0處，并將紙板繞0點(diǎn)旋 轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a.解題思路：如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正左形的邊AB、AD分別D交于點(diǎn)M、N,連結(jié)OA、0D.四邊形ABCD是正方彩c

15、BAOA=OD, ZA0D=90° , ZMAO=ZNDO,又 ZMON二90° , ZAOM二 ZDON A AAMOADNO AM=DN AM+AN 二 DN+AN 二 AD 二 a特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A (點(diǎn)B)重合時(shí)，點(diǎn)N必與點(diǎn)D (點(diǎn)A)重合，此時(shí) AM+AN仍為定值a故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a.例2已知扇形的圓心角為120° ,面積為300-cm2(1) 求扇形的弧長(zhǎng)；(2) 若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少解題思路：(1)由S汗霊求出R,再代入L喘求得.(2)若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng)

16、，就可求圓的半徑,其截面是一個(gè)以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形.解:A考查目標(biāo)一、主要是指圓的基礎(chǔ)知識(shí)，包括圓的對(duì)稱性，圓心角與弧、弦 之間的相等關(guān)系，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，以 及垂徑定理等內(nèi)容。這部分內(nèi)容是圓的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)利用相關(guān)知識(shí)進(jìn) 行簡(jiǎn)單的幾何推理和幾何計(jì)算例1、如圖，SB是00的直徑，BC走弦,ODkBC、 cE,交BC于D.(1)請(qǐng)寫(xiě)出五個(gè)不同類(lèi)型的正確結(jié)論；(2) 若B=8, ED=2,求00的半徑. 解題思路：運(yùn)用圓的垂徑定理等內(nèi)容 解：例2已知：如圖等邊ABC內(nèi)接于00,點(diǎn)P是劣弧PC上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除 外)，延長(zhǎng)BP至D,使BD = A

17、P,連結(jié)C£>(1) 若APH圓心0,如圖，請(qǐng)你判斷是什么三角形并說(shuō)明理由.(2) 若AP不過(guò)圓心O,如圖，/>£><?又是什么三角形為什么解題思路：(1)為等邊三角形一_理由:例3.X1)如圖OA、OB是00的兩條半徑，且0A丄0B,點(diǎn)C是0B延長(zhǎng)線上 任意一點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)C作CD切00于點(diǎn)D,連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E.求證：CD=GE(2) 若將圖中的半徑0B所在直線向上平行移動(dòng)交0A于F,交00于B', 其他條件不變，那么上述結(jié)論CD二CE還成立嗎為什么(3) 若將圖中的半徑0B所在直線向上平行移動(dòng)到00外的CF,點(diǎn)E是DA 的延長(zhǎng)線與CF的交點(diǎn)

18、，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD二CE還成立嗎為什么解題思路：本題主要考查圓的有關(guān)知識(shí)，考查圖形運(yùn)動(dòng)變化中的探究能力 及推理能力.解答：(1)證明：連結(jié) 0D 則 0D丄CD, A ZCDE+Z0DA=90°(2) CE二CD仍然成立.(3) CE二CD仍然成立.考查目標(biāo)二、主要是指點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系以及圓與 圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生要學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)理解和解決與圓有關(guān)的位 置關(guān)系的問(wèn)題。例仁AB是00的直徑，必切00于A, OP交00于C,連3C若ZP = 30 , 求ZB的度數(shù).解題思路：運(yùn)用切線的性質(zhì).切00于A, A3是00的直徑，.ZPAO = 90Z

19、P = 30 , .I ZAOP = 60 .I ZB = - ZAOP = 302例2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00, BD是00的直徑，AE丄CD,垂足為E,DA 平分 ZBDE.(1 )求證：是00的切線;(2)若 ZD3C = 30, DE = 1cm ,求 BD 的長(zhǎng).解題思路：運(yùn)用切線的判定.(1)證明：連接 04, DA 平分 ZBDE , :.ABDA = ZEDA. OA = OD 乙ODA = ZOAD . :. ZOAD = ZEDA .OA/CE. AE 丄 DE, :. ZAED = 90 , ZOAE = ZDEA = 90 :.AE1OA:.AE是00的切線.(

20、2)BQ是直徑，ZBCD = ZBAD = 90 / ZDBC = 30 , Z.BDC = 60 , /. ZBDE = 20 . DA 平分 ZBDE , ZBDA = ZEDA = 60 /. ZABD = ZEAD = 30 在 Rt AAED 中，ZAED = 90 , ZEAD = 30 , /. AD = 2DE .在 Rt/ABD 中，ABAD = 90 , ZABD = 30°, BD = 2AD = 4DE .DE的長(zhǎng)是1cm, :.BD的長(zhǎng)是4cm.考查目標(biāo)三、主要是指圓中的計(jì)算問(wèn)題，包括弧長(zhǎng)、扇形面積，以及圓柱 與圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算，這部分內(nèi)容也是歷年

21、中考的必考內(nèi)容之一。 學(xué)生要理解圓柱和其側(cè)面展開(kāi)圖矩形、圓錐和其側(cè)面展開(kāi)圖扇形之間的關(guān)系。(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半 徑.解題思路：(1)法一：過(guò)0作0E丄AB于E,則AE=1AB=2V3 o2在 RtAAE0 中，ZBAC二30°0A二二孕二4.cos30° J3Tcos30°又T0A二OB, A ZAB0=30° A ZB0C=60° TAC 丄 BD, A bc = cd.二 ZCOD 二 ZBOC二60°ZBOD二 120° AS法二：連結(jié)AD.TAC丄BD, AC是直徑，垂直平分BD。:.AB二AD, BF二FD, bc = cd。/ Z BAD二2 Z BAC二60 °Z BOD二 120° VBF=lAB=2>/3, sin60° 二蘭2ABAF=AB