級數(shù)(同步訓練)

1、（同步訓練）（同步訓練）1、若級數(shù)、若級數(shù) 收斂，則收斂，則1nnu2、若冪級數(shù)、若冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 則則3、當、當 時，級數(shù)時，級數(shù) 收斂收斂4、正項級數(shù)、正項級數(shù) 的和是的和是 _limnnunnnxa0,R級數(shù)級數(shù) 的收斂半徑是的收斂半徑是nnnxa20_p131npnnn)32(05、冪級數(shù)、冪級數(shù) 收斂區(qū)間是收斂區(qū)間是nxnnn) 1() 1(11、正項級數(shù)、正項級數(shù) 滿足滿足( )條件，則條件，則)(A)(B)(C)(D1nnu必收斂必收斂0limnnu1lim1nnnuu1lim1nnnuu1lim1nnnuu2、冪級數(shù)、冪級數(shù) 在在 處收斂，則處收斂，則nnnx

2、a)4(0它在它在 處處( )2x2x)(A)(B)(C)(D發(fā)散發(fā)散條件收斂條件收斂絕對收斂絕對收斂不能判定不能判定3、級數(shù)、級數(shù) ( ) 112) 1(2) 1(nnnn)(A)(B)(C)(D發(fā)散發(fā)散條件收斂條件收斂絕對收斂絕對收斂可能收斂可能收斂4、冪級數(shù)、冪級數(shù) 的收斂區(qū)間是的收斂區(qū)間是( ) nnxnn02121)(A)(B)(C)(D) 1 , 1() 1 , 1 1 , 1( 1 , 15、 時，時， 是下列哪個冪級數(shù)的和是下列哪個冪級數(shù)的和2xx22函數(shù)函數(shù) ( )(A)(B)(C)(Dnnx)2(1nnx)2(0112nnnx11)2(nnx1、判斷下列級數(shù)的斂散性、判斷下

3、列級數(shù)的斂散性1)1() 1 (nnn、1211) 2(nnn、) 0(11) 3 (1aann、112)13() 4(nnnn、123) 5 (nnn、11) 1() 6(nnn、2、判斷下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間、判斷下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間nnxn)3 (1) 1 (12、12123) 2(nnnnx、1) 2() 3 (nnnx、3、判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，、判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是條件收斂，還是絕對收斂？是條件收斂，還是絕對收斂？12) 1() 1 (1nnnn、nnn1) 1() 2(1、) 1ln(1) 1() 3 (1nnn、nnnn3) 1() 4(1、4、判斷下列冪級數(shù)

4、的和函數(shù)、判斷下列冪級數(shù)的和函數(shù)(收斂區(qū)間內(nèi)收斂區(qū)間內(nèi))11) 1 (nnnx、1212) 2(nnnx、01) 3 (nnnx、R31p300 , 2(123451、判斷下列級數(shù)的斂散性、判斷下列級數(shù)的斂散性、) 1 (1)1(nnnnnun1)1()34()23() 12(nnSn11 nnnSlim(不存在不存在)故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散.nnnn111lim) 2(2、1211nnn11lim22nnnn又又 發(fā)散發(fā)散11nn1211nnn發(fā)散發(fā)散) 0(111aann、) 3 (當當 時時1a121n發(fā)散發(fā)散當當 時時10a111limnna111nna發(fā)散發(fā)散當當 時時1annnnaa

5、aa)1()1(1)1(111)1(nna收斂收斂111nna收斂收斂當當 時時10a111nna發(fā)散發(fā)散當當 時時1a111nna收斂收斂12)13() 4(nnnnu、121)231(nnnnu12121)13()231(nnnnnnnnuu)13231()13231(2nnnnnnnnn)13()231()1()2313(22nnnnnnnnnnnnnn2)2313(limnnnn2)321311(limnnnnn22)321 ()311 (lim3432ee2 ennnn2)1(lim22)11 (limennn312311lim231limnnnnnn31131lim13limnnn

6、nn191lim1nnnuu 故收斂故收斂nnnnnnnnuu33) 1(limlim)5(2121、21233) 1(limnnnnn2)1(31limnnn131)11 (lim312nn 故收斂故收斂2111) 6 (1nununn、011limlimnunnn11) 1(nnn 條件收斂條件收斂2、nnnnnxnxn12123)3 (1) 1 (、2121) 1(33limlimnnaaRnnnnnn31)1(31lim2nnn31x當當 時，時， 收斂收斂12) 1(nnn31x當當 時，時， 收斂收斂121nn故收斂區(qū)間是故收斂區(qū)間是31,31nnnnnnnnnxnxuu33)1(

7、limlim)2(21212121、當當 時，時，221221212)1(3lim33) 1(limnnxxnnxnnnnnn1312x3x3x收斂收斂12123)3(nnnn12123nnnnx12123)3()3(nnnn1213)3(3nnnn1231nn當當 時，時，3x12123)3(nnnn12123nnnnx收斂收斂1231nn故收斂區(qū)間是故收斂區(qū)間是3, 3nxnxuunnnnnn)2(1)2(limlim)3(11、121)2(limxnnxn31x當當 時，時，1x1) 2(nnnx1) 1(nnn收斂收斂當當 時，時，1x1) 2(nnnx11nn發(fā)散發(fā)散故收斂區(qū)間是故收

8、斂區(qū)間是) 3 , 1 3、02112lim12) 1(lim) 1 (nnnnnnn、12) 1(1nnnn發(fā)散發(fā)散111) 2 (1nununn、01limlimnunnn1) 1(nnn 收斂收斂11nn 又又 發(fā)散發(fā)散1) 1(nnn 條件收斂條件收斂)2ln(1)1ln(1) 3 (1nununn、0)1ln(1limlimnunnn1)1ln() 1(nnn 收斂收斂1)1ln(1nn對于對于nn11)1ln(1111nn 又又 發(fā)散發(fā)散1)1ln(1nn 發(fā)散發(fā)散故是條件收斂故是條件收斂13133)4(nnnnnunnnu、03limlimnnnnnu13) 1(nnnn 收斂收

9、斂13) 1(nnnn對于對于nnnnnnnnuu331limlim11nnnnn33) 1(lim1311lim31nnn13nnn 收斂收斂 故故 絕對收斂絕對收斂13) 1(nnnn4、0) 0(S則則當當 時時1xdxxndxxSnnxx1100)(xxxnn11令令11)(nnnxxS、) 1 ()1()(0 xxdxxSx2)1 (1)(xxS即即) 1()1 (1211xxnxnn、) 2(1212)(nnnxxS令令0) 0(S則則11212)(nnnxxxS當當 時時1xdxxdxxnxxnnnxnnn)(12012102112 dxxxx0221dxxxx022111dxx

10、x02)111 (dxxdxxx020111dxxxxx0)1111(21)1111(2100dxxdxxxxx)1 (11)1 (112100 xdxxdxxxx)1ln()1ln(21xxx) 1(11ln21xxxx011ln21)(xxxS01x或或10 x0 x、) 3 (01)(nnnxxS令令1) 0(S則則011)(nnnxxxS當當 時時1x00101)1()1( )(nnnnnnxnxnxxxSx11)1ln(11)(0 xdxxxxSx0)1ln()(xxxS01x或或10 x0 x一、選擇題一、選擇題1、 是是) 1ln()(2xxxfA. 奇函數(shù)奇函數(shù)B.偶函數(shù)偶函數(shù)

11、C.有界函數(shù)有界函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)2、設、設 則當則當 ,1)(,)1 ( 21)(xxgxxxf1x時，時，A. 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小B. 是比是比 低階的無窮小低階的無窮小C. 是比是比 同階的無窮小同階的無窮小D. 是比是比 等階的無窮小等階的無窮小)(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg3、設、設 則則 在在 處處,)(xxf)(xf1xA. 可導可導B.不連續(xù)不連續(xù)C. 可微可微D. 連續(xù)但不可導連續(xù)但不可導4、微分方程、微分方程 的特征根是的特征根是032 yyyA. B.C. D. 3, 121 rr3, 121rr2, 121

12、 rr2, 121rr5、函數(shù)、函數(shù) 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導內(nèi)可導)(xf, ba),( ba當當 時，則至少存在一點時，則至少存在一點 ，bxxa21有有A. ),()()()(2112xxxxfafbfB.),()()()(1212baxxfxfxfC. D. ),()()()(21xxabfafbf),()()()(211212xxxxfxfxf6、若、若 在在 上恒有上恒有 在在 內(nèi)恒內(nèi)恒)(xf, ba, 0)(xf),( ba有有 則則, 0)( xfA. B.C. D. )()(abbfdxxfba)()(abbfdxxfba)()(abbfdxxfba)()(aba

13、fdxxfba7、冪級數(shù)、冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為022nnnxnA. B.C. D. 1212228、若、若 則則A. B.C. D. ,sinsin)(xdxxxdxxxf_)(xfxsinxxsinxcosxxcos9、下列級數(shù)中收斂的是、下列級數(shù)中收斂的是1lnnnA. B.C. D. 1) 1(nnne1sinnnn)122(1nnnn二、填空題二、填空題1、_cos)sin(22222xdxxx2、曲線、曲線 在在 處的切線方程是處的切線方程是2221313ttyttx2t3、若、若 則則,)1 (lim320eaxxx_a4、設函數(shù)、設函數(shù) 在在 處有處有)(xf0 x,

14、 1)0(, 0)0(ff則則_)(lim0 xxfx5、_)arctan2(limxxx6、 當當 時，時， 有極值有極值,)(0dttexfxt_x)(xf7、 則則,1arctanxyyxz_xz8、 _124dxxx9、二次積分、二次積分 xxxxdyyxfdxdyyxfdxI24110),(),(改變其積分次序后，改變其積分次序后，_I三、解答題三、解答題,02101cos)(2xxxxxf1、設、設 討論討論 的連續(xù)性的連續(xù)性)(xf2、計算、計算 dxxx2cos23、求曲線、求曲線 直線直線 ),0 (sinxxy21, 0yy圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積4、設、設

15、 求求,122yxu2222yuxu5、設、設 是由是由 軸，軸和圓周軸，軸和圓周Dxy122 yx圍成的第一象限部分的閉區(qū)域，圍成的第一象限部分的閉區(qū)域，計算計算Dxyd6、解微分方程、解微分方程121) 1 (2yxxyxeyyy243) 2 ( 7、證明不等式、證明不等式時，時，0 xxx12118、一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本是、一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本是300元，每月產(chǎn)量為元，每月產(chǎn)量為 (公斤公斤)時，邊際時，邊際x成本成本 (公斤公斤)是產(chǎn)品的價格，是產(chǎn)品的價格，PxxC, 4)(需求函數(shù)是需求函數(shù)是 為使平均成本為使平均成本,2600Px最低，試確定每月的產(chǎn)量和每公斤最低，

16、試確定每月的產(chǎn)量和每公斤產(chǎn)品的利潤產(chǎn)品的利潤.題號1234 5 6 7 8 9答案A C D A B A C C D一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題1、2、01234yx83、23a4、15、2222211yxyxy6、7、Cxatcxtan18、2212),(yydxyxfdy109、三、解答題三、解答題1、212lim1coslim)(lim220200 xxxxxfxxx又又21)0(f)(xf在在 處連續(xù)，處連續(xù)， 的連續(xù)區(qū)間是的連續(xù)區(qū)間是0 x)(xf. R2、dxxxdxxx)cos1 (212cos2xdxxdxxcos2121xxdxsin21412xdxxxxsin2

17、1sin21412Cxxxxcos21sin214123、如圖、如圖聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組21sinyxy解得解得65,621xxxyoxysin21y6560)21(sinsindxxxdxS6560)21cos(cosxxx3324、212222)(1yxyxuxuxyx2)(212322322)(yxxyuyyx2)(212322322)(yxy22xu2322)(yxxyxx2)(2325222322)(yx25222)(3yxx22222222)()(3yxyxyxx22xu2322)(yxyyxy2)(2325222322)(yx25222)(3yxy22222222)()(3yxy

18、xyxy2222yuxu222222222)()(2)( 3yxyxyxyx2222)(1yxyx5、如圖、如圖xyo1122yx11020:rDdrrdxydD10320cossindrrd10320cossindrrd10320sinsin10420241sin21r816、解微分方程、解微分方程1212yxxy整理整理 得得0212yxxydxxxdyy2121兩邊積分，得兩邊積分，得dxxxdyy2121解得解得11ln2lnCxxy121lnCxxy即即xeCxy12設原方程的通解為設原方程的通解為xexxCy12)(xxexxCexxCy112) 12)()(把把 代入原方程得代入

19、原方程得yy,1)(12xexxCxexxC121)()1(1)(112xdedxexxCxxCex1故原方程的通解為故原方程的通解為xxexCey121)()1 (12xCexxeyyy243 微分方程的特征方程為微分方程的特征方程為0432 rr特征根為特征根為1, 421rr故原方程的特解為故原方程的特解為xaey2,2)(2xaey )(yxae24把把 代入原方程得代入原方程得 yyy,xae24xae26xxeae224解得解得61a故原微分方程的通解為故原微分方程的通解為xxxeeCeCy224161xxxf1211)(7、令、令xxf12121)(xx12110 x0)(xf故

20、故 在在 上單增上單增)(xf), 0 0 x0)0()(fxfxx12118、32004)(0CxxC3200421)(2xxxC平均成本平均成本xxxxCxA3200421)()(2320021)(xxA令令0)( xA80 x84)80(A)600(21xP260)80600(21)80(P17684260)80()80(AP故日產(chǎn)量為故日產(chǎn)量為 80公斤時，平均成本最低公斤時，平均成本最低此時每公斤產(chǎn)品的利潤是此時每公斤產(chǎn)品的利潤是176元元.一、填空題一、填空題1、已知二元函數(shù)、已知二元函數(shù) 連續(xù)，且連續(xù)，且),(yxfz ,),(),(Ddyxfyxyxf其中其中 是由曲線是由曲線

21、Dxy1及直線及直線 圍成的閉區(qū)間，圍成的閉區(qū)間，2, 1yx則則 的表達式是的表達式是),(yxf2、 的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是 ，則，則)(xfx2sin1_)2(20dxxf x3、曲線、曲線 與曲線與曲線 在在baxxy2312xyy處相切，則處相切，則) 1, 1 ( _, ba4、_111sinlim20 xxexx5、微分方程、微分方程 的通解是的通解是xxyycostan 6、冪級數(shù)、冪級數(shù) 的收斂區(qū)的收斂區(qū)nnnxn1)131211 () 1(間是間是7、若、若 則則,tanyxy_dxdy8、設、設 則則,)11 (lim)(2txxxttf_)( tf9、_3sinl

22、imxxxx二、選擇題二、選擇題1、設、設 其中其中 在在,0)0(0)()(xfxxxfx)(xf0 x處可導，處可導， 則則 是是 的的, 0)0(, 0)0(ff0 x)(xA. 連續(xù)點連續(xù)點B.第一間斷點第一間斷點C.第二間斷點第二間斷點D.不確定不確定2、設、設 為常數(shù)，則級數(shù)為常數(shù)，則級數(shù)_)1)sin(12nnnnA. 發(fā)散發(fā)散B.條件收斂條件收斂C.絕對收斂絕對收斂D.收斂性與收斂性與 有關有關5、_2cos12dxxxA. B.C.D. Cx2sin21Cx2sin21Cx2sin2Cx2sin26、微分方程、微分方程 的特解形式是的特解形式是xxeyyy244 A. B.C

23、.D. xebax2)(xebxax22)(xebxax223)(xebxax234)(3、設、設 則當則當 時，時，,)(,sin)(4302xxxgtdtxfxA. 高階無窮小高階無窮小B.低階無窮小低階無窮小C.同階無窮小同階無窮小D.等階無窮小等階無窮小0 x是是 的的)(xf)(xg4、若、若 則則, 0)1(lim2baxxxxA. B.C.D.1ba1ba1, 1ba1, 1ba7、設、設 則則,sinyxezxA. B.C.D. 22e)1, 2(2yxz22e22e22e8、已知冪級數(shù)、已知冪級數(shù) 在在 處收斂，則處收斂，則nnnxa0A.條件收斂條件收斂B.絕對收斂絕對收斂

24、C.發(fā)散發(fā)散D.斂散性不定斂散性不定2x在在 處處23xA. B.C.D. sec060)sin,cos(rdrrrfd9、 是由直線是由直線 及及 軸圍成的閉軸圍成的閉D1,3xxyx區(qū)域，則區(qū)域，則 在極坐標下的二次在極坐標下的二次Ddyxf),(積分是積分是sec030)sin,cos(rdrrrfdcos030)sin,cos(rdrrrfdcos060)sin,cos(rdrrrfd1、求微分方程、求微分方程 的通解的通解 10、方程、方程_043235xxxA.無實根無實根B.有唯一實根有唯一實根C.有五個不同實根有五個不同實根D.有五個不同實根有五個不同實根三、解答題三、解答題0

25、 yyx2、當、當 時，求冪級數(shù)時，求冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)1x12) 1(121nxnnn3、設、設 求求,2,sin2yxVxyuVezuyzxz,4、設、設 是一個閉區(qū)域，是一個閉區(qū)域， D, 4, 0, 022yxyx計算二重積分計算二重積分Dyxde225、證明不等式：當、證明不等式：當 時，時，1xxx1326、有一口鍋，其形狀可視為拋物線、有一口鍋，其形狀可視為拋物線繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成，已知鍋深軸旋轉(zhuǎn)而成，已知鍋深0.5米，鍋米，鍋,2axy口直徑口直徑1米，求鍋的容積米，求鍋的容積y一、填空題一、填空題1、2、yxyxf21),(03、1 ba4、15、xCxycos)(6、)

26、1 , 1(7、y2cot8、tet2)21( 9、31題號12345678910答案BAC C B C A B BB二、選擇題二、選擇題三、解答題三、解答題0 yyx1、, py 令令則則dxdpy 原方程化為：原方程化為：0pdxdpx整理得：整理得：dxxdpp11兩邊積分兩邊積分dxxdpp11xCCxp00lnlnlnln即即xCp0令令01CCxCp1即即xCy121lnCxCy2、令、令12) 1()(121nxxSnnn) 1(1) 1()(2221xxxxxSnnndxxxdxxSxx02201)(xxdxxxarctan)111 (02)0(arctan)(SxxxS0)0

27、(S1 x時，時，xxnxnnnarctan12) 1(1213、yxVxyuVezu2,2,sinVeuzusinVeVzucosyxu2xyu2xxV21yVxVeyVexVVzxuuzxzuu2cos2sin)cos()sin(222yxxyxyexy1cos2sinVexVeyVVzyuuzyzuu)cos()sin(222yxyxxexy4、如圖、如圖xyo2222yx22020:rDDyxde22drredr2020220202re)(21220202rdedr)1 (44exxxf132)(5、令、令22111)(xxxxxxf1x0)(xf故故 在在 上單增上單增)(xf),

28、0 1x0) 1 ()(fxfxx1326、如圖、如圖xyo212axy 由題意知：由題意知：)21,21(在拋物線在拋物線 上上2axy 2a故拋物線方程為故拋物線方程為yx21221022104121yydyV161 B. 比比 低階的無窮小低階的無窮小一、選擇題一、選擇題1、設、設 則則,)(5xxf2、 且且 )()(,)(002xfxxfyxxfy,21, 000 xx則則 時，時， 是是_)(xefxe45A. B.C. D. xe5545xxe0 xyA. 比比 高階的無窮小高階的無窮小xxC. 比比 同階的無窮小同階的無窮小D. 比比 等階的無窮小等階的無窮小x3、設、設 且且

29、 在在 處連續(xù)，處連續(xù)，0001sin)(xxxbxkxxxf)(xf0 xA. 為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，B.C. D. x則則1bk1, 0kb1, 0bk1, 0kb4、設、設 則則,NKA. B.C. D. _sin2kxdx025、下列函數(shù)對中，是同一個函數(shù)的、下列函數(shù)對中，是同一個函數(shù)的原函數(shù)的是原函數(shù)的是A. B.C. D. xxe2log,2ln22xx arccos,arcsinxarcxcot,arctan xxln5ln),5ln(6、廣義積分、廣義積分 為為A. B.C. D. dxxx02321)22arctan2(2242 (發(fā)散發(fā)散)227、曲面、曲面 是是A. 球

30、面球面 B. 半球面半球面C. 圓錐面圓錐面 D. 半圓錐面半圓錐面 224yxz8、級數(shù)、級數(shù)A. 當當 時絕對收斂時絕對收斂 B. 當當 時條件收斂時條件收斂 C. 當當 時發(fā)散時發(fā)散D. 當當 時絕對收斂時絕對收斂 _2sin1npnn10 p0p1p1p9、冪級數(shù)、冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 122)2(nnnxA. B.C. D. 2212210、在空間直角坐標系中，方程、在空間直角坐標系中，方程)0(22ppxy表示表示A. 面上的拋物線面上的拋物線B. 母線平行于母線平行于 軸的拋物線柱面軸的拋物線柱面C. 母線平行于母線平行于 軸的拋物線柱面軸的拋物線柱面D. 母線平行于

31、母線平行于 軸的拋物線柱面軸的拋物線柱面xoyxyz二、填空題二、填空題1、函數(shù)、函數(shù) 的定義域為的定義域為 ，則，則)(xf 1 , 1的定義域是的定義域是)(ln xf2、_2sintanlimxxx3、曲線、曲線 在在 處的法線方處的法線方tytx2cossin4t程式程式4、 則則 ),ln(22yxxz_2yxz5、函數(shù)、函數(shù) 則則 ,00021sin)(2xxxxxf_)0( f6、_)ln21 (1dxxx7、函數(shù)、函數(shù) 則則 ,32),(22yxyxhyxf_),(),(hyxfhyxf8、微分方程、微分方程 的通解是的通解是xeyy239、二次積分、二次積分 改變積改變積,)

32、,(22422xxdyyxfdxI分順序后分順序后_I三、解答題三、解答題1、設、設 填寫下表填寫下表),11ln(21xxy1定義域定義域2奇偶性奇偶性3單增區(qū)間單增區(qū)間4單增區(qū)間單增區(qū)間5凸弧區(qū)間凸弧區(qū)間6凹弧區(qū)間凹弧區(qū)間7拐點拐點8鉛直漸近線鉛直漸近線2、求由曲線、求由曲線 與直線與直線圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積xy224 yx3、求微分方程、求微分方程 滿足初始滿足初始xeyyy 32條件條件 的特解的特解0)0(, 1)0(yy4、設、設 證明方程證明方程, 0, 0ba至少有一個正根不超過至少有一個正根不超過bxaxsinba5、級數(shù)、級數(shù) 試討論，當試討論，當 取何

33、值時，取何值時，,) 1(1nnn該級數(shù)該級數(shù) 條件級數(shù)條件級數(shù) 絕對級數(shù)絕對級數(shù) 發(fā)散發(fā)散6、拋物線、拋物線 通過原點，當通過原點，當cbxaxy210 x時，時， 該拋物線與該拋物線與 軸及直軸及直, 0yx線線 圍成的平面圖形的面積是圍成的平面圖形的面積是 ，1x試求試求 的值，使上述平面圖形繞的值，使上述平面圖形繞31cba,軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積x最??？最小？8、某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為、某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品增加成本元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品增加成本60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為為 是需求

34、量，是單位產(chǎn)品是需求量，是單位產(chǎn)品xpx(101000價格價格)，試求：，試求： 總成本函數(shù)總成本函數(shù) 總總收入函數(shù)收入函數(shù) 總利潤函數(shù)總利潤函數(shù) 產(chǎn)量產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？為多少時，總利潤最大？ 獲得獲得最大利潤時，單位產(chǎn)品的價格是多少最大利潤時，單位產(chǎn)品的價格是多少題號12 3 4 5 6 7 8 9 10答案A C C B C A B D D D一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題1、2、21,1ee3、0142 yx4、2322)(yxy5、hyx3626、7、xxeCey238、yyyydxyxfdydxyxfdy444220),(),(0Cx ln21ln219、三、解答題

35、三、解答題1、)11ln(21xxy11, 011xxx定義域定義域) 1 , 1()()11ln(21)11ln(21)(xfxxxxxf0)1)(1 (1xxy單增區(qū)間單增區(qū)間),1 , 1(單減區(qū)間單減區(qū)間22)1 (2xxy 當當 時，時，01x0 y當當 時，時，10 x0 y凸弧區(qū)間凸弧區(qū)間,0 , 1(凹弧區(qū)間凹弧區(qū)間)1 ,0當當 時，時，0 x, 0y拐點拐點)0 ,0()11ln(21lim1xxx)11ln(21lim1xxx1, 1xx是鉛直漸近線是鉛直漸近線 2、如圖所示、如圖所示xyo解方程組解方程組422yxxy 解得交點解得交點)2,2(),4,8(dyyyS2

36、)4(2424232)6421(yyy283. 微分方程的特征方程為微分方程的特征方程為0322 rr特征根為特征根為3, 121rr故原方程的特解為故原方程的特解為xaey ,)(xaey )(yxae把把 代入原方程得代入原方程得 yyy,xxxxeaeaeae3241a故原方程的通解為故原方程的通解為xxxeeCeCy413214. 令令xbxaxfsin)(0, 0ba)(xf在在 上連續(xù)上連續(xù), 0ba又又0)0(bf)()sin()(babbaabaf0 1)sin(baa若若 時，時，0)(baf顯然顯然 是是 的根的根baxbxaxsin若若 時，時，0)(baf則則 在在 內(nèi)

37、至少有一個零點內(nèi)至少有一個零點)(xf), 0(ba即即 至少有一個正根不超過至少有一個正根不超過bxax sinba5、取值可分為取值可分為1, 1, 10 , 0, 0當當 時，時，0nnn) 1(lim故發(fā)散故發(fā)散當當 時，時，0發(fā)散發(fā)散,) 1(1nn當當 時，時，101) 1(11nnunnu0limnnu1) 1(nnn故故 收斂，但收斂，但 發(fā)散發(fā)散11nn當當 時，時，11) 1(nnn條件級數(shù)條件級數(shù) 當當 時，時，111nn收斂收斂1) 1(nnn故對故對當當 時發(fā)散時發(fā)散; ;0當當 時時條件級數(shù)條件級數(shù);10當當 時時絕對級數(shù)絕對級數(shù).16、 通過原點通過原點cbxax

38、y20c又又10231)(dxbxax)1 (32ab10104234222)2()(dxxbabxxadxbxaxV1052452)512151(xbabxxa)512151(22baba)2742711352(2aa)2711354(aV令令0V解得解得45a0,23,45cba7. 總成本函數(shù)總成本函數(shù) 200060)(xxCpx101000 xxp101100)1000(1012101100)(xxpxxR故總成本函數(shù)故總成本函數(shù) 總利潤函數(shù)總利潤函數(shù) 2101100)()()(xxxCxRxL)200060(x2000401012xx4051)()()(xxCxRxL令令0)( xL

39、200 x故當產(chǎn)量為故當產(chǎn)量為200200時，總利潤最大時，總利潤最大80200101100101100 xp一、選擇題一、選擇題1、當、當 時，函數(shù)時，函數(shù) 是是0 x2、函數(shù)、函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間是的連續(xù)區(qū)間是 xxysec1sinA. 無意義的量無意義的量 B. 無界的變量無界的變量C. 無窮小量無窮小量 D. 無極限的函數(shù)無極限的函數(shù) ) 1ln(1xyA. B.C. D. , 2 2 , 1 ), 2() 2 , 1 (), 1 ( ), 1 axln1A. B.C. D. 3、設、設 且且 ，則，則0(logaxya) 1a_ yaxln1x1xxalog14、設、設 在在 上連續(xù)，在

40、上連續(xù)，在 內(nèi)可導，內(nèi)可導，)(xfy, ba),( ba且且 則在則在 上上, 0)( xf, baA. 單增單增 B. 單減單減C. 存在駐點存在駐點 D.存在極值點存在極值點 5、若、若 當當 時，時， 當當 時，時，, 0)(0 xfA. 極大值極大值B. 極小值極小值C. 最大值最大值D.最小值最小值, 0)( xf0 xx0 xx, 0)( xf則則 必是必是 的的)(0 xf)(xf6、_sin02dttdxdxA. B.C. D. 2cosx2sinx2cos2xx2sin2xx7、下列函數(shù)是、下列函數(shù)是 的一個原函數(shù)的是的一個原函數(shù)的是211xyA. B.C. D. xx11

41、ln21xarcsinxx11ln21xarctan8、下列函數(shù)中，定義域為、下列函數(shù)中，定義域為0),( yxyx且且 的是的是0 yxA. B.yxeyxzyxyxln21C. D. yxyxz11yxyxzarcsin9、設、設 是由是由 圍成的圍成的DCBA),0 , 1 (),1 , 1 (),0 , 0(ABC閉區(qū)域，則閉區(qū)域，則_2deDxA. B.C. D. e1e1)1 (21e) 1(21e10、若將二重積分、若將二重積分 在直角坐在直角坐Ddxdyyxf),(標系下化為二次積分，其積分限均標系下化為二次積分，其積分限均為常數(shù)，則積分區(qū)域為常數(shù)，則積分區(qū)域 是是DA. 三角

42、形區(qū)域三角形區(qū)域B. 圓環(huán)形區(qū)域圓環(huán)形區(qū)域C. 矩形區(qū)域矩形區(qū)域D. 圓形區(qū)域圓形區(qū)域二、填空題二、填空題1、函數(shù)、函數(shù) 的定義域是的定義域是224xxy2、函數(shù)、函數(shù) 則則,)(22axxf_)(xff3、_)11 (lim2xxx4、曲線、曲線 在點在點 處的切線方程是處的切線方程是2xy) 1 , 1 (5、函數(shù)、函數(shù) 在在 處的導數(shù)值是處的導數(shù)值是 xtdty0sin2x6、曲線、曲線 與坐標軸及直線與坐標軸及直線 圍成圍成xey1x的平面圖形的面積是的平面圖形的面積是7、函數(shù)、函數(shù) 在在 處連續(xù)，則處連續(xù)，則002)(xaxxfx0 x_a8、極限、極限_)1(limtan0 xxx

43、9、定積分、定積分_11dxx10、廣義積分、廣義積分 收斂于收斂于 dxx1121三、解答題三、解答題1、求、求20cos1limxxx2、求、求xxex32lim3、 求求,1sin2xyy4、 求求,2xxeydy5、 由方程由方程 確定，求確定，求)(xyyyxylndxdy6、設、設 求求,1,yxyxeVeuVuZxZ7、 求求dxxx218、 求求dxxxln9、 計算計算dxeeexxx1010、 計算廣義積分計算廣義積分dxx121111、 是由曲線是由曲線 與直線與直線 圍成圍成1xyxyy , 2的閉區(qū)域，計算的閉區(qū)域，計算DydD12、 已知點已知點 是曲線是曲線 的拐

44、點，的拐點，) 3 , 1 (23bxaxy求求 和和 的值的值ab13、 求微分方程求微分方程 滿足初始滿足初始0)1 (2yyx條件條件 的特解的特解1) 0(y14、 證明不等式：當證明不等式：當 時，時，1x1) 1(2lnxxx15、 生產(chǎn)甲，乙兩種型號的機床，當生產(chǎn)甲，乙兩種型號的機床，當每月產(chǎn)量分別是每月產(chǎn)量分別是 臺和臺和 臺，總成本臺，總成本xy函數(shù)是函數(shù)是 (萬元萬元)，如，如2221),(yxyxyxC果兩種機床每月共生產(chǎn)果兩種機床每月共生產(chǎn)10臺，問臺，問和和 各為多少臺時，才能使總成本各為多少臺時，才能使總成本最??？最小總成本是多少最小？最小總成本是多少xy題號12

45、3 4 5 6 7 8 9 10答案C B B A A B A C C C一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題1、2、242242aaxax2,0(0 ,23、2e4、012 yx5、1a6、7、18、11e9、110、1三、解答題三、解答題20cos1lim1xxx、xxx2sinlim021xxex32lim2、xxex322limxxe362lim03、)1(1cos22xxy)1 (1211cos222xxxxxx21211cos222211cosxxx4、 dxeexdxeddyxxx222)()(dxedxxexx222dxxex) 12(2yyxy15、兩邊對、兩邊對 求導求

46、導x1yyydxdyyxyxeVeuVuZ1,6、yxyxeVueVxZ21yxyxyxyxyxeeeee2)1 (112)1 (yxyxeedxxx217、）（221121xdxCx232131）（dxnxxl8、2l2xdnxdxxxxx21ln222dxxxx2ln22Cxxx2241ln21dxeeexxx109、dxeexx10221)1 (11212102xxede102)1ln(21xe 2ln)1ln(212edxx121110、1arctanx4arctanlimxx44211、 如圖所示如圖所示xyoxy1xy2yyyDydxdyyd121211)(dyyxyy212) 1

47、(dyy解方程組解方程組xyxy 1解得交點解得交點) 1 , 1 (yxyyD121:213)31(yy 3412、23bxaxybxaxy232baxy26 由題意得由題意得3026baba解得解得2923ba13、原方程整理得、原方程整理得ydxdyx)1 (2即即dxxdyy2111兩邊積分兩邊積分dxxdyy21110arctanlnCxy解得解得即即xCxCeeyarctanarctan01) 0 (y01Ce1C故微分方程的特解為：故微分方程的特解為：xeyarctan14、令、令1) 1(2ln)(xxxxf2) 1() 1(2) 1(21)(xxxxxf22) 1() 1(x

48、xx1x0)(xf1x0) 1 ()(fxf1) 1(2lnxxx15、方法一：、方法一： ,10 yxxy10總成本函數(shù)總成本函數(shù)22)10(21)10()(xxxxxf5020252xx205)(xxf令令0)( xf解得解得4x10)4(, 6fy每月生產(chǎn)甲機床每月生產(chǎn)甲機床4臺，乙機床臺，乙機床6臺，臺，總成本最小，最小總成本總成本最小，最小總成本10萬元萬元方法二：方法二： 2221),(yxyxyxC10 yx令令)10(21),(22yxyxyxyxFyxFx2yxFy由題意得由題意得10002yxyxyx解得解得64yx一、選擇題一、選擇題1、下列極限計算正確的是、下列極限計算

49、正確的是2、曲線、曲線 在在 處的切線方程是處的切線方程是A. B. C. D. xeyA. B.C. D. xy1xy 1exxx10)41 (lim410)41 (limexxx410)41 (limexxx4110)41 (limexxx) 1, 0( xy 1xy13、下列說法正確的是、下列說法正確的是A. 在在 處有定義且有極限，則處有定義且有極限，則 )(xf)(xf0 x在在 處連續(xù)處連續(xù)0 xB. 在在 處不可導，則處不可導，則 在在 處必處必)(xf)(xf0 x0 x不連續(xù)不連續(xù)C. 在在 處有極限，則處有極限，則 在在 處必處必)(xf)(xf0 x0 x由定義由定義D.

50、 在在 可導，則可導，則 在在 必連續(xù)必連續(xù))(xf)(xf0 x0 x4、下列函數(shù)是奇函數(shù)的是、下列函數(shù)是奇函數(shù)的是A. B. C. D. )3cos(xyxxysin2xxeey23xxy5、下列極限計算正確的是、下列極限計算正確的是A. B. C. D. xdxxarctan112Cxdxx21CxxdxcossinCxxdx2sectan6、若、若 是可導函數(shù)是可導函數(shù) 的一個極大值的一個極大值)(xf0 x點，則下列說法正確的是點，則下列說法正確的是A. 是是 的最大值點的最大值點)(xf0 xB. 在在 附近，有附近，有0)( xf0 xC. 在在 附近，有附近，有0)( xf0

51、xD. 是是 的駐點的駐點0 x)(xf7、曲線、曲線 通過點通過點 且在且在 處的切處的切)(xfy),1,( ex線斜率為線斜率為 則該曲線的方程是則該曲線的方程是xxlnA. B. C. D. 23ln212xy1)ln(lnxy2ln2xy1)ln(lnxy8、定積分、定積分_)(2111dxeexxxA. B. C. D. 22019、下列級數(shù)收斂的是、下列級數(shù)收斂的是A. B. C. D. 11nnn11nn1lnnn1121nn10、下列定積分計算正確的是、下列定積分計算正確的是A. B. C. D. 2111dxx21112dxx211dx211dxx二、填空題二、填空題1、函

52、數(shù)、函數(shù) 的定義域是的定義域是11arccos22yxZ2、冪級數(shù)、冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為1!nnnx3、_2dxedx4、 ,若若 在在 連續(xù)，則連續(xù)，則 00)(2xaxbxxf)(xf0 x 與與 滿足的關系是滿足的關系是ab5、已知某產(chǎn)品的固定成本是、已知某產(chǎn)品的固定成本是520元，且元，且每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加35元，則元，則生產(chǎn)生產(chǎn) 件產(chǎn)品的平均成本函數(shù)件產(chǎn)品的平均成本函數(shù)x_)(xC6、函數(shù)、函數(shù) 則則 的極大值是的極大值是,) 2)(1()(0 xdtttxf)(xf7、 是矩形區(qū)域：是矩形區(qū)域： ，則，則D10 , 10yx_2dxyD8、

53、 則則,lnyxyxZ_xZ9、二元函數(shù)、二元函數(shù) 極小極小279),(33xyyxyxf值是值是10、微分方程、微分方程 的通解是的通解是02yxy三、解答題三、解答題1、求、求xxxsin11lim02、求、求xxxx5)1(lim3、求、求502822)72()52() 12(limxxxx4、設、設 求求,)3(xexxyy 5、設、設 求求),1arctan(2xydy6、設、設 求求,)(lnxxy dy7、 由方程由方程 確定，確定，)(xyy2lnxyyexdxdy求求8、 求求dxxex2119、 計算計算dxx021110、求、求dxxxxe) 1(ln2211、設、設 求

54、求,)arctan(22yxeZxZ12、設、設 求求,lnxyZ dZ13、求曲線、求曲線 與直線與直線 圍成圍成1412xyxy2的平面圖形的面積的平面圖形的面積14、 設設 在在 內(nèi)可導，且內(nèi)可導，且 )(xf),( ba0)( xf試證明：試證明： 是常數(shù)是常數(shù))kkxfbax()(),(15、 已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)C是產(chǎn)量是產(chǎn)量 (百件百件)的函數(shù)，且邊際的函數(shù)，且邊際x成本成本 邊際收入邊際收入, 42)(xxC,230)(xxR固定成本為固定成本為50 (萬元萬元)，試求，試求 總利潤函數(shù)，總利潤函數(shù)， 當產(chǎn)量由當產(chǎn)量由3 (百百件件)增至增至4

55、(百件百件)時，求利潤的增值時，求利潤的增值14、 設設 在在 內(nèi)可導，且內(nèi)可導，且 )(xf),( ba0)( xf試證明：試證明： 是常數(shù)是常數(shù))kkxfbax()(),(15、 已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)C是產(chǎn)量是產(chǎn)量 (百件百件)的函數(shù)，且邊際的函數(shù)，且邊際x成本成本 邊際收入邊際收入, 42)(xxC,230)(xxR固定成本為固定成本為50 (萬元萬元)，試求，試求 總利潤函數(shù)，總利潤函數(shù)， 當產(chǎn)量由當產(chǎn)量由3 (百百件件)增至增至4 (百件百件)時，求利潤的增值時，求利潤的增值題號12 3 4 5 6 7 8 9 10答案D C D C C D A C

56、A C一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題1、2、),(2),(22 yxyx3、dxex24、ba 5、656、7、8、54222yxy9、x52035 10、61331xCey三、解答題三、解答題xxxsin11lim10、) 11(sin) 11)(11(lim0 xxxxx) 11(sinlim0 xxxx21xxxx5)1(lim2、xxx5)11 (lim55)11(limexxx502822)72()52() 12(lim3xxxx、28222822)72()72()52() 12(limxxxxx22)7212(limxxx28)7252(limxxx22)271211(l

57、imxxx28)271251(limxxx1xxexexxy)3()3(423、xxexexy)3(232321xexx)323(2321xexxy )2343(2121xexx)323(2321xexxx)3433(212123)1arctan(52xddy、)1 ()1 (11222xdxdxxx22)1 (126、兩邊取自然對數(shù)：、兩邊取自然對數(shù)：)ln(lnlnxxy 兩邊對兩邊對 求導求導xxxxxyy1ln1)ln(ln17、兩邊對、兩邊對 求導求導xxyyyeeyxx21ln1)ln(ln)(lnxxxyxdxxxxdyxln1)ln(ln)(lnxxyeyexyydxdy1)2

58、(dxxex2118、dxxexx)1(212dxx21dxxex21xdexx111Cexx11dxx02119、0arctanxxxarctanlim2dxxxxe) 1(ln1022、dxxxdxxee222) 1(111lneeexxdxxxxx222)111(ln1ln 111) 1ln(2ln22eexee 111) 1ln()2(2ln2eeee3114ln) 1ln(eexyxyxexZ)(arctan1122arctan22、xyxyxyxe)(112222arctan222222arctan221122yxxyxeyx2222arctan)1 (22yxyxxeyx)(11

59、22xyxyxZ、)(2xyyxx1xxyyZ11y1dyydxxdZ11xyo 2、如圖所示、如圖所示解方程組解方程組xyxy21412 解得交點解得交點)0 ,2(),8 ,6(dxxxS)14()2(226dxxx) 34(2261364)32121(2623xxx14、任取、任取 且且 則則),(,21baxx,21xx 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導內(nèi)可導,21xx)(xf),(21xx)()()()(211212xxxxfxfxf又又0)( xf0)(f)()(21xfxf故故 在在 內(nèi)的函數(shù)值處處相等內(nèi)的函數(shù)值處處相等)(xf),( bakxf)(即即xxR230)(50)0

60、(, 42)(CxxC15、 504)(2xxxC230)(xxxR 總利潤函數(shù)總利潤函數(shù):50262)()()(2xxxCxRxL 利潤的增值為：利潤的增值為：) 3() 4(LLL)5042642(2)5032632(212一、選擇題一、選擇題1、函數(shù)、函數(shù) 則則 的定的定A. B. C. D. ,20200022)(2xxxxxxf)2 , 2(義域是義域是)(xf)0 , 2(2 , 2(2 , 0(2、曲線上凹弧與凸弧的分界點是曲、曲線上凹弧與凸弧的分界點是曲線的線的A.駐點駐點 B.極值點極值點 C.切線不存在點切線不存在點 D.拐點拐點 3、函數(shù)、函數(shù) 在在 上連續(xù)，則上連續(xù)，則