第四章平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析

1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析 2022-4-272第四章第四章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.54.5、隨機(jī)過程的采樣定理、隨機(jī)過程的采樣定理 4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度4.64.6、白噪聲、白噪聲4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解2022-4-273確定信號(hào)的頻域分析確定信號(hào)的頻域分析 隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? ? 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析隨機(jī)信號(hào)的頻域分析

2、 關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度2022-4-274信號(hào)特征分析信號(hào)特征分析時(shí)域分析時(shí)域分析頻域分析頻域分析4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞傅立葉變換傅立葉變換 ParsevalParseval定理定理 頻譜頻譜 能譜能譜 功率譜功率譜 v確定信號(hào)分析確定信號(hào)分析2022-4-275設(shè)設(shè)x(t)是時(shí)間是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t) 滿足滿足狄利赫利條件狄利赫利條件 絕對(duì)可積條件，即絕對(duì)可積條件，即 dttx )(能量有限條件，即能量有限條件，即 dttx2)(有限個(gè)極值；有限個(gè)斷點(diǎn)；

3、斷點(diǎn)為有限值有限個(gè)極值；有限個(gè)斷點(diǎn)；斷點(diǎn)為有限值4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v關(guān)于確定信號(hào)的一些假設(shè)關(guān)于確定信號(hào)的一些假設(shè) 2022-4-2764.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度對(duì)于確定信號(hào)對(duì)于確定信號(hào)x(t)，既可以通過時(shí)域分析，也可，既可以通過時(shí)域分析，也可以通過頻域分析，時(shí)域和頻域之間存在確定的關(guān)以通過頻域分析，時(shí)域和頻域之間存在確定的關(guān)系，周期信號(hào)可以表示成傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信系，周期信號(hào)可以表示成傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)可以表示傅立葉積分號(hào)可以表示傅立葉積分 v傅立葉變換傅立葉變換 2022-4-2774.14.1、平穩(wěn)

4、隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度則則 的傅立葉變換為的傅立葉變換為： )(tx( )( )j tXx t edt 其反變換為：其反變換為： 1( )( )2j tx tXed包含：振幅譜包含：振幅譜 相位譜相位譜頻譜密度頻譜密度頻譜密度存在的條件為頻譜密度存在的條件為：即信號(hào)為即信號(hào)為絕對(duì)可積信號(hào)絕對(duì)可積信號(hào) dttx )(v傅立葉變換傅立葉變換 4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v傅立葉變換傅立葉變換 約瑟夫約瑟夫路易斯路易斯拉格朗日拉格朗日J(rèn)oseph-Louis LagrangeJean Baptiste Joseph Fourier拉格朗日，

5、傅立葉旁，我凝視你凹函數(shù)般的臉龐。微分了憂傷，積分了希望，我要和你追逐黎曼最初的夢(mèng)想。感情已發(fā)散，收斂難擋，沒有你的極限，柯西抓狂，我的心已成自變量，函數(shù)因你波起波蕩。低階的有限階的，一致的不一致的，是我想你的皮亞諾余項(xiàng)。4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v傅立葉變換傅立葉變換 約瑟夫約瑟夫路易斯路易斯拉格朗日拉格朗日J(rèn)oseph-Louis LagrangeJean Baptiste Joseph Fourier狄利克雷，勒貝格楊一同仰望萊布尼茨的肖像，拉貝、泰勒，無窮小量，是長廊里麥克勞林的吟唱。打破了確界，你來我身旁，溫柔抹去我，阿貝爾的傷，我的心已成自變量

6、，函數(shù)因你波起波蕩。低階的有限階的，一致的不一致的，是我想你的皮亞諾余項(xiàng)。2022-4-2710dXdttxX22)(21)(即即能量譜密度能量譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其在頻域的總能量信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其在頻域的總能量能量譜密度存在的條件為：能量譜密度存在的條件為：2( )st dt 即信號(hào)總能量有限，即信號(hào)總能量有限，s(t)也稱為有限能量信號(hào)也稱為有限能量信號(hào)vParseval定理定理dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22

7、)(21)(即即4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其在頻域的總能量信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其在頻域的總能量證明：證明：vParseval定理定理2022-4-2712功率型信號(hào)功率型信號(hào)：能量無限、平均功率有限的信號(hào)：能量無限、平均功率有限的信號(hào)其能譜不存在，而其能譜不存在，而功率譜存在功率譜存在4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度持續(xù)時(shí)間無限長的信號(hào)一般能量無限持續(xù)時(shí)間無限長的信號(hào)一般能量無限利用截取函數(shù)的性質(zhì)利用截取函數(shù)的性質(zhì)21lim( )2TTTPs tdtT v功率譜功率譜2022-4-2713定義截取函數(shù)

8、為：定義截取函數(shù)為： TtTttxtxT0)()(4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v功率譜功率譜2022-4-27144.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？v如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？2022-4-2715v隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度對(duì)于隨機(jī)過程，一般不滿足絕對(duì)可積和能量有

9、限對(duì)于隨機(jī)過程，一般不滿足絕對(duì)可積和能量有限的這兩個(gè)條件，這是因?yàn)橐粋€(gè)隨機(jī)過程的持續(xù)時(shí)間的這兩個(gè)條件，這是因?yàn)橐粋€(gè)隨機(jī)過程的持續(xù)時(shí)間是無限長的，所以其總能量不是有限的。這說明隨是無限長的，所以其總能量不是有限的。這說明隨機(jī)過程的幅度頻譜是不存在的，因此其頻譜密度機(jī)過程的幅度頻譜是不存在的，因此其頻譜密度和能量密度都不存在和能量密度都不存在 2022-4-271616TtTttxtxT0)()(隨機(jī)過程的樣本函數(shù)及其截?cái)嗪瘮?shù)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)及其截?cái)嗪瘮?shù) 2 2）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均1 1）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于

10、確定性信號(hào)）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）)(tx)(txTtTT20T4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？171 1）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？TTtjtjTTdtetxdtetxX)()()( 樣本函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的傅立葉變換：樣本函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的傅立葉變換：dtjeTXtxT)(21)(),(T

11、X),(tTx181 1）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？2022-4-27dXdttxETT22),(21),( 樣本函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的能量樣本函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的能量：截?cái)嗪瘮?shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的能量譜能量譜2),(TX1 1）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率

12、譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？ 樣本函數(shù)的（時(shí)間）平均功率：樣本函數(shù)的（時(shí)間）平均功率：TTTdttxTW),(21lim2192),(2121limdTXTTdTXTT2),(21lim21功功率率譜譜2),(21lim),(TTXXTS4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均2),(21lim),()(TTXXXTESES物理意義：功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號(hào)在單位物理意義：功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號(hào)在單位電阻上消耗的功率的統(tǒng)計(jì)平均值電阻上消耗的功

13、率的統(tǒng)計(jì)平均值. .是是 的確的確定函數(shù)定函數(shù)缺陷缺陷: :不含不含相位信息相位信息2 2）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？2),(21lim),()(TTXXXTESES即：樣本函數(shù)的功率譜密度代表隨機(jī)過程的功率譜密度即：樣本函數(shù)的功率譜密度代表隨機(jī)過程的功率譜密度若為各態(tài)歷經(jīng)過程，則有：若為各態(tài)歷經(jīng)過程，則有：2),(21lim)(TTXXETS2),(21limTXTT求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均求各樣本函數(shù)功率譜

14、密度的統(tǒng)計(jì)平均2 2）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均2022-4-2722220100200300400500-1.0-0.50.00.51.0n010203040506070809010010-910-810-710-61x10-51x10-410-310-210-1Frequency (Hz)Power0100200300400500-2-1012n隨機(jī)信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)：隨機(jī)性信號(hào)功率譜分析的一個(gè)例子隨機(jī)性信號(hào)功率譜分析的一個(gè)例子4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)

15、隨機(jī)過程的功率譜密度v如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？1 1）頻域計(jì)算方法）頻域計(jì)算方法任一樣本函數(shù)的平均功率為任一樣本函數(shù)的平均功率為1( , )2XWSd隨機(jī)過程的平均功率為隨機(jī)過程的平均功率為隨機(jī)過程的平均功率：不同的頻率成分對(duì)隨機(jī)信號(hào)的平均功隨機(jī)過程的平均功率：不同的頻率成分對(duì)隨機(jī)信號(hào)的平均功率的貢獻(xiàn)。率的貢獻(xiàn)。1( , )2XWEWE Sd若為各態(tài)歷經(jīng)過程：=W W4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？2 2）時(shí)域計(jì)算方法）時(shí)域計(jì)算方法任一樣本函數(shù)的平均功率為任一樣本函數(shù)的平均

16、功率為21lim( , )2TTTWx tdtT隨機(jī)過程的平均功率為隨機(jī)過程的平均功率為21 lim( )2TTTWEWE X t dtT若為各態(tài)歷經(jīng)過程：=W W4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度v如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？3 3）頻域計(jì)算與時(shí)域計(jì)算的關(guān)系）頻域計(jì)算與時(shí)域計(jì)算的關(guān)系 dStXEX)(21)(2對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有00( )cos,0,0.5,( )X tataX t已知隨機(jī)過程，其中為常量， 為均勻分布在中的隨機(jī)變量 求的平均功率4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度Ex

17、ercise 4.1TTdttXETTW)(221lim)(2cos2)(20taEtXE)22cos(22220taaE)22cos(22220tEaadtaa220)22cos(22220)2sin(2220taaTTdttaaTT)2sin(22221lim022a2022-4-2727第四章第四章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.54.5、隨機(jī)過程的采樣定理、隨機(jī)過程的采樣定理 4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度4.64.6、

18、白噪聲、白噪聲4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解2022-4-27284.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納維納辛欽定理辛欽定理 利用維納利用維納- -辛欽定理求功率譜密度函數(shù)辛欽定理求功率譜密度函數(shù) 關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)2022-4-2729確定信號(hào)：確定信號(hào)：)()(jXtx隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。功率譜密度。 4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系傅立葉變換對(duì)：傅立葉變換對(duì)：2022-4-274.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函

19、數(shù)的關(guān)系Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem) ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：2022-4-2731TTXESXTX2),(lim)(2 ),(),(21lim* TXTXETXXT TT21lim)()(221121TTtjTTtjdtetXdtetXE TTTTttjTdtdtetXtXET21)(2112)()(21lim TTTTttjXTdtdtettRT21)(1212)(21lim4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、

20、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)Proof of Theorem 4.12022-4-27設(shè)設(shè)12tt 12ttu 則則22ut 21 ut所以：所以：2121212121),(),(21 uttJ 4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proof of Theorem 4.1Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)2022-4-27t1t2-TT2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu24.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相

21、關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proof of Theorem 4.1Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)2022-4-2734則則22020222111( )lim( )( )222TTTjjXXXTTTTSdRedudReduT )(2121lim2222dueRdTjXTTTTTdeRTTjXTTT)()2(21lim22deRTjXTTT)()21 (lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T 0)( XR ( (注意注意 ， 且且 ， 。因此，通常情。因此，通常情況下，第二項(xiàng)為況下，第二項(xiàng)為0)0) deRjX)(4.24.2、功率譜密

22、度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)Proof of Theorem 4.12022-4-27自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem) ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即： ( )2( )cos1( )( )cosXXXX

23、SRdRSdX t 若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：2022-4-2736由于實(shí)平穩(wěn)過程由于實(shí)平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) 是是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。功率譜。 )( XR000)(2)(XXSS4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系v單邊功率譜單邊功率譜 （物理譜）（物理譜）v相關(guān)性與功率譜相關(guān)性與功率譜相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相關(guān)性越弱，功相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為

24、：相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強(qiáng)，功率譜越陡窄率譜越寬平；相關(guān)性越強(qiáng)，功率譜越陡窄2022-4-27deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系由于由于2(011)244XRded ，因此功率譜存在，因此功率譜存在Exercise 4.2( )0 , 0,XRAeA 已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為，其中求其功，率譜密度滿足絕對(duì)可積條件滿足絕對(duì)可積條件4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.3 ( )0,4, 0 XARAeA

25、已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為，其中求其功，率譜密度不滿足絕對(duì)可積條件不滿足絕對(duì)可積條件4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.40020( )( )cos(),(0,2 )( )cos()( )( )2 , XXX tX tAtAARX tS 設(shè)為隨機(jī)相位隨機(jī)過程其中，為實(shí)常數(shù)為隨機(jī)相位， 在均勻分布。可以推導(dǎo)出這個(gè)過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為求的功率譜密度，不滿足絕對(duì)可積條件不滿足絕對(duì)可積條件4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若

26、隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 要求均值為零要求均值為零dXR)(這個(gè)定理要求不能應(yīng)用于含有直流分量或周期分量的隨機(jī)信這個(gè)定理要求不能應(yīng)用于含有直流分量或周期分量的隨機(jī)信號(hào)，號(hào)，功率譜密度是連續(xù)的，功率譜密度是連續(xù)的，實(shí)際中含有直流分量和周期分量實(shí)際中含有直流分量和周期分量的隨機(jī)過程很多。的隨機(jī)過程很多。4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與

27、功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 要求均值為零要求均值為零dXR)(引入引入 函數(shù)函數(shù))(211)(其傅立葉變換其傅立葉變換4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 要求均值為零要求均值為零dXR)(借助借助 函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點(diǎn)上函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點(diǎn)上無限值用無限值用 函數(shù)表示，

28、則維納辛欽定理可推廣應(yīng)用。函數(shù)表示，則維納辛欽定理可推廣應(yīng)用。4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 要求均值為零要求均值為零dXR)(若隨機(jī)過程均值非零，則功率譜在原點(diǎn)有一若隨機(jī)過程均值非零，則功率譜在原點(diǎn)有一 函數(shù)；函數(shù)；若含有周期分量，則在相應(yīng)的頻率處有若含有周期分量，則在相應(yīng)的頻率處有 函數(shù)；函數(shù)；引入引入 函數(shù)函數(shù))(211)(其傅立葉變換其傅立葉變換4

29、.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 2022-4-2745功率譜密度常用來進(jìn)行功率譜密度常用來進(jìn)行周期性檢測(cè)周期性檢測(cè)四類典型信號(hào)的功率譜四類典型信號(hào)的功率譜4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 2022-4-2746對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：( )( )jXXSRedTTdtttXRTTXR),(21lim)(時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度為傅立葉變換對(duì)與功率譜密度為傅立葉變換對(duì)4.24.2、功率譜

30、密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系v維納維納辛欽定理的局限與推廣辛欽定理的局限與推廣 ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：2022-4-27474.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2222( )XAS2( )XRAe 2( )2( )XSA 1( )4XAR222( )2( )XASA ( )4XARAe Exercise 4.3 ( )0,4, 0 XARAeA 已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為，其中求其功，率譜密度484.24.

31、2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.40020( )( )cos(),(0,2 )( )cos()( )( )2 , XXX tX tAtAARX tS 設(shè)為隨機(jī)相位隨機(jī)過程其中，為實(shí)常數(shù)為隨機(jī)相位， 在均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個(gè)過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為求的功率譜密度， deAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je解法解法1：2022-4-274.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Ex

32、ercise 4.40020( )( )cos(),(0,2 )( )cos()( )( )2 , XXX tX tAtAARX tS 設(shè)為隨機(jī)相位隨機(jī)過程其中，為實(shí)常數(shù)為隨機(jī)相位， 在均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個(gè)過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為求的功率譜密度，解法解法2：)()(cos000)()(22cos22000aa0cos22)(aXR( )( )jXXSRed4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.500( )( )sin,( )( )( )( ) XYY taX ttaX tSY tS已知其中為實(shí)常數(shù)為具有功率譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)

33、過程，求隨機(jī)過程的功率譜密度解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE)2cos()cos(20002ttRaX( )( )jYYSReddeRajX02cos)(2)()(4002XXSSa非平穩(wěn)隨機(jī)過程4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem) ( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSedX t若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：Continuous-time ( )( )(

34、)1( )( )2qqXmjm TXXmjm TXXqRmSRm eRmSedX n 若隨機(jī)序列是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，即：則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)傅氏變換，即：Discrete-time2( )2XqST記為為周期為的周期信號(hào)4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition 4.1 (Properties of power spectral density function).( )0- ,+ .( )=(- )XXXSSS 平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)函數(shù)即：，特別地，實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)偶函數(shù)即：證明證明1( )lim( )2

35、Tj tXTTSEeX t dtT2( )XS為非負(fù)實(shí)函數(shù).特別特別 對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程,( )jXXSdRe（ ）()XjedR()( )XXRR有)( )XjdRe (XS （- ）XXSS（- ）（ ）4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition 4.1 (Properties of power spectral density function).( )0- ,+ .( )=(- )XXXSSS 平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)函數(shù)即：，特別地，實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)偶函數(shù)即：1(0)20( )XXXXRSdSRd（ ）（ ）平均功率

36、平均功率00以上是，時(shí),兩對(duì)特殊的Fourier變換.第一式說明功率譜密度曲線下的總面積第一式說明功率譜密度曲線下的總面積(平均功率平均功率)等于平穩(wěn)過程的均方值等于平穩(wěn)過程的均方值.第二式說明功率譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)第二式說明功率譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)曲線下的總面積曲線下的總面積.4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition 4.1 (Properties of power spectral density function).( )0- ,+ .( )=(- )XXXSSS 平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)函數(shù)即：，特別地，實(shí)平穩(wěn)

37、過程的譜密度是非負(fù)實(shí)偶函數(shù)即：1(0)20( )XXXXRSdSRd（ ）（ ）平均功率平均功率2022-4-2755以上部分可能涉及到的計(jì)算以上部分可能涉及到的計(jì)算利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等變換的性質(zhì)等 利用已知的一些性質(zhì)計(jì)算利用已知的一些性質(zhì)計(jì)算4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2022-4-2756留數(shù)定理留數(shù)定理 設(shè)為設(shè)為 復(fù)變量復(fù)變量s的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線C反時(shí)針方向上和曲線反時(shí)針方向上和曲線C內(nèi)部只有內(nèi)部只有幾個(gè)極點(diǎn)

38、幾個(gè)極點(diǎn) )(sBips 則：則： niCdssBj1()(21內(nèi)部極點(diǎn)的留數(shù)）曲線pssBps )()(pssBpsdsd )()(2一階留數(shù)一階留數(shù) 二階留數(shù)二階留數(shù) 4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2022-4-2757121( ),.,( )2Res ( ),nnkkCf zDz zzf z dzjf z z函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則留數(shù)定理留數(shù)定理4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2022-4-2758 是是R(z)的分母在上半復(fù)平面的零點(diǎn)的分母在上

39、半復(fù)平面的零點(diǎn)。若若假設(shè)假設(shè)R(x)是分母無實(shí)零點(diǎn)的有理函數(shù)，且分子分是分母無實(shí)零點(diǎn)的有理函數(shù)，且分子分母沒有相同的零點(diǎn)，而分母的冪次比分子的冪次母沒有相同的零點(diǎn)，而分母的冪次比分子的冪次至少高一次，則有至少高一次，則有( )2Re ( ),j a zjaxkkeR x dxis eR z zkzkz是是R(z)分母的分母的n重零點(diǎn)，則重零點(diǎn)，則(1)1Re ( ),lim( )() (1)!kj a zj a znnkkzzs eR z zeR z zzn留數(shù)定理留數(shù)定理4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.632( )54(cos 2

40、 ),( ) XXReS已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為：求其功率譜密度33( )522cos4XRee( )XXSRF3325 122cos 4 eeFF F10( ) 2129223329(4)9(4) 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等變換的性質(zhì)等解：解：4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.72424( ),109( )XXSR已知零均值平穩(wěn)過程的譜密度為：求其求相關(guān)函數(shù)與平均功率2022-4-271( )( )2jXXReSd222142(9)(1)jed解法1:利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理利用復(fù)變函數(shù)中的留

41、數(shù)定理222222142Res(, )2(9)(1)4Res(,3 )(9)(1)jjjejej4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.72424( ),109( )XXSR已知零均值平穩(wěn)過程的譜密度為：求其求相關(guān)函數(shù)與平均功率解法1:利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理222222443Res(, )lim()(9)(1)(9)(1)16jjjejjeej222222344Res(,3 )lim(3 )(9)(1)(9)(1)548jjjejjeej4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exe

42、rcise 4.72424( ),109( )XXSR已知零均值平穩(wěn)過程的譜密度為：求其求相關(guān)函數(shù)與平均功率解法1:利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理2022-4-27( )XR222222142Res(, )2(9)(1)4Res(,3 )(9)(1)jjjejej335()1648jeejj3351648ee4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.72424( ),109( )XXSR已知零均值平穩(wěn)過程的譜密度為：求其求相關(guān)函數(shù)與平均功率225131( )8891XS-22244e利用F3122222231225 143

43、148 64( )8 24( )解法2: 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等變換的性質(zhì)等4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise 4.72424( ),109( )XXSR已知零均值平穩(wěn)過程的譜密度為：求其求相關(guān)函數(shù)與平均功率-22244e利用F解法2: 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等變換的性質(zhì)等2022-4-27113122222231225434( )484( )164( )XRFF3534816ee7(0)24XR4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相

44、關(guān)函數(shù)的關(guān)系2022-4-2765第四章第四章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.54.5、隨機(jī)過程的采樣定理、隨機(jī)過程的采樣定理 4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度4.64.6、白噪聲、白噪聲4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解TtTttxtxT0)()(TtTttytyT0)()(4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？1 1）定義兩個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的

45、功率譜）定義兩個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的功率譜( )( ) ( )( )( )( )TTX tY tx ty tx tyt考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程、， 它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個(gè)截取函數(shù)、為：2022-4-27674.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？1 1）定義兩個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的功率譜）定義兩個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的功率譜TTTTXYdttytxTTQ)()(21)(TTdttytxT)()(21( )( ) ()( ):( )( )TTXYTTytxtTTQTxtyt，因?yàn)槎紳M足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在

46、。在時(shí)間范圍，內(nèi)，兩個(gè)樣本函數(shù)的為（注意，為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取互功率時(shí)間平均）dttytxTT)()(*dTYTXYX),(),(21*dttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(dTTYTXYX2),(),(21*4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度由于由于 ， 的傅里葉變換存在，故帕塞的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即瓦定理對(duì)它們也適用，即: : txT tyTv如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？1 1）定義兩個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的功率譜）定義兩個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的功率譜4.34.3、互功率譜密度、互功率譜

47、密度v如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？2 2）對(duì)兩個(gè)隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的互功率譜求統(tǒng)計(jì)平均）對(duì)兩個(gè)隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的互功率譜求統(tǒng)計(jì)平均 和和 是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令取數(shù)學(xué)期望，并令 得：得： )(tx)(ty T)()(21lim)(limdttytxTEQTQETTTXYXYT ),(21limdtttRTTTXYTdTTXTXEYXT2),(),(lim21*4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？Definition3.4

48、(Joint Power Spectra Density Function)*( )( ) 1( )lim( ,)( ,)21( )lim( ,)( ,)2XYXYTYXYXTX tY tSE XTXTTSE XTXTT考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程、， 它們的互功率譜密度函數(shù)為：dSQXYXY)(21dSQYXYX)(21YXXYQQ4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度功率譜密度 F互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 互譜密度互譜密度 F4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系互譜密度和互相關(guān)函數(shù)

49、的關(guān)系若若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即即結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn)穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。2022-4-2773性質(zhì)性質(zhì)1 1：)()()(* YXYXXYSSS 證明：證明： deRSjXYXY)()(deRjYX)( （令（令 ） deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度

50、v互功率譜密度的性質(zhì)互功率譜密度的性質(zhì)2022-4-2774性質(zhì)性質(zhì)2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS證明：證明： deRSjXYXY)()(djRXY)sin()cos(dRSXYXYcos)()(RedRXYcos)()(ReXYS （令（令 ） 同理可證同理可證)(Re)(ReYXYXSS4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v互功率譜密度的性質(zhì)互功率譜密度的性質(zhì)2022-4-2775性質(zhì)性質(zhì)3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS證明：類似性質(zhì)證明：類似性質(zhì)2證明。證明。4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v互功率譜密度的性質(zhì)互功

51、率譜密度的性質(zhì)2022-4-2776性質(zhì)性質(zhì)4： 若若X(t)與與Y(t)正交，則有正交，則有 0)(YXS0)(XYS證明：若證明：若X(t)與與Y(t)正交，則正交，則 0),(),(2121ttRttRYXXY所以所以0)()(YXXYSS4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v互功率譜密度的性質(zhì)互功率譜密度的性質(zhì)2022-4-2777性質(zhì)性質(zhì)5 5： 若若X(t)與與Y(t)不相關(guān)，不相關(guān)，X(t)、Y(t)分分別具有常數(shù)均值別具有常數(shù)均值 和和 ，則，則 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)閄(t)與與Y(t)不相關(guān)，所以不相關(guān)，所以YXmmtYtXE

52、)()(21 deRSjXYXY )()(demmjYX)(2YXmm)(21 （ ）4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度v互功率譜密度的性質(zhì)互功率譜密度的性質(zhì)Exercise 4.83( )( )( )90( )00( ),( ):XYXYXYYXX tY tReRSS設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程和聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為求互譜密度2022-4-27解：解：deRSjXYXY)()(deej39dej )3(9j39jSSXYYX39)()(*4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度Exercise 4.9( )( )( ),( ),( ),( )= ( )+ ( ),( )( )XYXYZX tY

53、tSSSZ tX tY tZ tS設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程和聯(lián)合平穩(wěn)，它們的譜密度與互譜密度分別為令求的譜密度4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度( )ZXYmtmm解( ,) ( ) ()ZRt tE Z t Z t( )( )( )( )XYXYYXRRRR( )( )()( )( )ZXYYYXXSRRRRFFFF( )( )( )( )XYXYYXSSSS( )( )( )( )XYYYXXSSSS( )( )2R)( )e(XXYYSSS2022-4-2780第四章第四章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.2

54、4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.54.5、隨機(jī)過程的采樣定理、隨機(jī)過程的采樣定理 4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度4.64.6、白噪聲、白噪聲4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解2022-4-2781在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一大類過程，它們的功率譜在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為密度為 的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過程的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常常可以用有理函數(shù)來逼近常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來逼近 。這時(shí)。這時(shí) 可可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，

55、即以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即 )( XS)( XS4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMX有理譜密度是實(shí)際中最常見的一類功率譜密度或形式有理譜密度是實(shí)際中最常見的一類功率譜密度或形式工程中常用來作為有色噪聲的逼近工程中常用來作為有色噪聲的逼近v功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式2022-4-2782若用復(fù)頻率若用復(fù)頻率s來表示功率譜密度，那么，對(duì)于來表示功率譜密度，那么，對(duì)于一個(gè)有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分一個(gè)有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式：解形式： )()()()()(212

56、12NMXbsbsasasasS4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解v功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式2022-4-2783據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的性質(zhì)，可以據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于導(dǎo)出關(guān)于 的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)：)( XS（1） 為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。 2（2） 的所有虛部不為的所有虛部不為0的零點(diǎn)和極點(diǎn)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都成復(fù)共軛出現(xiàn)。都成復(fù)共軛出現(xiàn)。 )( XS（3） 的所有零、極點(diǎn)皆為偶重的。的所有零、極點(diǎn)皆為偶重的。 )( XS（4） MN。 4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解v功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式

57、功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式2022-4-2784根據(jù)上面的性質(zhì)，可將根據(jù)上面的性質(zhì)，可將 分解成兩項(xiàng)之積，即：分解成兩項(xiàng)之積，即： )( XS)()()(sSsSsSXXX)()()()()(11NMXssssasS)()()()()(*1*1NMssssasSX其中其中（零極點(diǎn)在（零極點(diǎn)在s s上半平面）上半平面）（零極點(diǎn)在（零極點(diǎn)在s s下半平面）下半平面）*)()(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且且譜分解定理譜分解定理 jjXdssSjtXE)(21)(2此時(shí)此時(shí)4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解v譜分解定理譜分解定理(連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間) 2022-4-27

58、85設(shè)設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過程，具有是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過程，具有有理功率譜密度函數(shù)有理功率譜密度函數(shù) 。則。則 可分可分解為：解為： zSX zSX )()(1zBzBzSX)()()()()(11MMzzzzCzB)()()()()(1111111MMzzzzCzB其中其中包含了包含了單位圓之內(nèi)單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)包含了包含了單位圓之外單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解v譜分解定理譜分解定理(離散時(shí)間離散時(shí)間) 2022-4-27在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)

59、離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為 的的z變換，并記為變換，并記為 ，即，即 )(mRX zSX mmXXzmRzS)(式中式中TjezdzzzSjmRmDXX1)(21)(式中，式中，D為在為在 的收斂域內(nèi)環(huán)繞的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)反平面原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。 zSX 4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解v離散傅立葉變換與離散傅立葉變換與Z變換變換 zSzSXX1)(（因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?）)()(mRmRXX4.44.4、平穩(wěn)過程的譜分解、平穩(wěn)過程的譜分解Exercise 4.10( )( ),1( )( )mXXXX

60、nRmaaSzS設(shè)某隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)為：求和解：解：10)mmmmXmmS zaza zazzazaz1)1)()1 (2azazza)1)(1 ()1 (12azaza)()(111zzaaaa將將z= 代人上式，即可求得代人上式，即可求得Tje TaaaaSXcos2)(112022-4-2788第四章第四章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.14.1、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4.24.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.54.5、隨機(jī)過程的采樣定理、隨機(jī)過程的采樣定理 4.34.3、互功率譜密度、互功率譜密度4