等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)及例題解析

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例題解析一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)：(1) Sn二a1+a2+an-1+an也可寫成Sn二an+an-1+a2+a1兩式相加得2Sn二(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1)=n(a1+an)所以Sn二n(a1+an)/2(公式一)(2) 如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為al，公差為d,項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+n(n+1)d/2(公式二)二、對(duì)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用【例1等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125,求其第6項(xiàng).解依題意，得伽+d=14012a1+a3+a5+a7+a9=5a1+20d=1

2、25解得a1=113,d=-22.其通項(xiàng)公式為an=113+(n1)(22)=22n+135a6=22x6+135=3說(shuō)明本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的.這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法.在本課中如果注意到a6=ai+5d,也可以不必求出an而2a1+9d=28直接去求a6，所列方程組化簡(jiǎn)后可得1相減即得a1+5d=3,6a1+4d=251即a6=3.可見(jiàn)，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性.當(dāng)然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知識(shí)的熟練掌握為前提.【例2】在兩個(gè)等差數(shù)列2,5,8,，197與2,7,12,，197中，求它們相同項(xiàng)的和.解由已知

3、，第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為an=3n1;第二個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為bN=5N3若am=bN,則有3n1=5N-3即n=N+心）3若滿足n為正整數(shù)，必須有N=3k+1（k為非負(fù)整數(shù)）.又2<5N-3<197,即1<N<40，所以N=1,4,7,，40n=1,6,11,，66二兩數(shù)列相同項(xiàng)的和為2+17+32+197=1393【例3】選擇題：實(shí)數(shù)a,b,5a,乙3b,，c組成等差數(shù)列，且a+b+5a+7+3b+c=2500,則a,b,c的值分別為A.1,3,5B.1,3,7C.1,3,99D.1,3,9解C由題設(shè)2b=a+5ab=3a又v14=5a+3b,a=1,b=3首項(xiàng)為1,公差為2

4、n(n1)又Sn=na+廠Ln(n1)二2500=n+2二n=502a50=c=1+(501)2=99二a=1,b=3,c=99【例4】在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為9:13，求插入的數(shù)的個(gè)數(shù).解依題意2=1+(2n+21)d前半部分的和Sn+1=(n+1)+(n21)nd后半部分的和S'n+1=(n+1)2+5加(d)由已知，有S'n1(n1)(1羅)(n1)(29_nd13y)1化簡(jiǎn)，得-2nd29nd132解之，得nd=11由，有(2n+1)d=11由，解得d=，11共插入10個(gè)數(shù).【例5】在等差數(shù)

5、列an中，設(shè)前m項(xiàng)和為Sm前n項(xiàng)和為N，且乩喬n，求Sm+n1解/Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n1)d1=(m+n)a1+(m+n1)d且SmFSn，n11ma1+m(m1)d=na1+n(n_1)d整理得(mn)a1+£(mn)(m+n1)=01即(mn)a1+-(m+n1)d=01由mHn，知a1+2(m+n1)d=0二Sm+rr0【例6】已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.分析等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=naj+-n(n»d,含有兩個(gè)未知數(shù)a1,2d,已知S3和S6的值，解方程組可得ai與d，再對(duì)數(shù)列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行

6、判斷，則可求出Tn來(lái).解設(shè)公差為d,由公式Sn=nq+n(n1d3a1+3d=21得ba1+15d=24解方程組得：d=2,ai=9an=9+(n1)(n2)=2n+11由an=2n+11>0得nv=5.5，故數(shù)列an的前5項(xiàng)為正,其余各項(xiàng)為負(fù).數(shù)列an的前n項(xiàng)和為：Sn=9n+n(n21)(-2)=-n2+10n當(dāng)nW5時(shí)，Tn=n2+10n當(dāng)n>6時(shí)，Tn=豈+心門S5|=S5(SnS5)=2S5SnnW5n>6Tn=2(25+50)(n2+10n)=n210n+50Tn=n2+10nn210n+50說(shuō)明根據(jù)數(shù)列an中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類討論思想可求|an|的前n項(xiàng)和.【例

7、7】在等差數(shù)列an中，已知a6+ag+a2+a5=34,求前20項(xiàng)之和.解法一一由ae+ag+a2+a5=34得4ai+38d=3420X19又S20=20a1+2d=20ai+190d=5(4a1+38d)=5X34=170(ai+a20)X20解法一S20=-2=10(a1+a20)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6+a15=ag+a12=a1+a20+a20=17S20=170【例8已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3£7二12,a4+a6=-4,求它的前20項(xiàng)的和S20的值.解法一設(shè)等差數(shù)列aj的公差為d,則d>0,由已知可得(a1+2d)(a1+bd)=12a1+3d+a1+

8、5d=4由，有a1=24d,代入，有d2=4再由d>0,得d=2二a1=10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20=180解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4+a6=a3+a7即a3+a7=4又a3a7=-12,由韋達(dá)定理可知：a3,a7是方程x2+4x12=0的二根解方程可得xi=6,X2=2Td>0二an是遞增數(shù)列a3=6,a7=2a?a3d=TT=2，a1=10,S20=180【例9】等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,SnT，則亟等于3n1b1002B.C.1992993200D.301分析該題是將彈與I2筆發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前n項(xiàng)b100Tn3n1和公式S

9、n=“憐）把前n項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系.n2解法一S啥久)T訛16)Sna1ana1an2nTnb1bnb1bn3n1t2aioo=ai+ai99，2bioo=bl+X99aw。=印a=2X199=199選Cb100b1b1993X199+1299解法二利用數(shù)列a"為等差數(shù)列的充要條件：Sn=an2+bnSl2nTn3n1可設(shè)Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k22.OnSnSn12nk2(n1)kbnTnTn1n(3n1)k(n1)3(n1)1k4n22n16n23n1.2X1001199b1003X1001299說(shuō)明該解法涉及數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2+bn,由

10、QQn已知，將Sn和Tn寫成什么？若寫成Sn=2nk.Tn=(3n+1)k,Tn3n1k是常數(shù)，就不對(duì)了.【例10】解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列an中a2=3,弔=17,求ag;(2) 在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350,求這幾個(gè)數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列an中，a4+a6+a5+3仃=50，求S20；已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求Sn的最大值.分析與解答173(1)a6=a2+(62)dd=54a9=a6+(96)d=17+3X(5)=32(ai+an+2)(n+2)-Sn+2a1=19,an+2=89,Sn+2=1350

11、22X1350n+2=25n=2319+8935an+2=a25=a1+24dd=衫故這幾個(gè)數(shù)為首項(xiàng)是呻，末項(xiàng)是8殆，公差為35的23個(gè)數(shù).(3) ta4+a6+a5+a7=50又因它們的下標(biāo)有4+17=6+15=21二a4+a17=a6+a5=25S20=(a1+a20)X2010X(a4a17)250(4)-an=333na1=30+an)nSn=n232123(n21)(633n)n23X212863n2/nN,.當(dāng)n=10或n=11時(shí),S1取最大值165.【例11】求證：前n項(xiàng)和為4n2+3n的數(shù)列是等差數(shù)列.證設(shè)這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)n2時(shí)，an=0Sn-1.an=

12、(4n2+3n)4(n1)2+3(n1)=8n1當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=4+3=7由以上兩種情況可知，對(duì)所有的自然數(shù)n,都有an=8n1又an+ian=8(n+1)1(8n1)=8.這個(gè)數(shù)列是首項(xiàng)為7,公差為8的等差數(shù)列說(shuō)明這里使用了“an=SnSn-1”這一關(guān)系使用這一關(guān)系時(shí),要注意,它只在n2時(shí)成立因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),Sn-1=S0，而Sq是沒(méi)有定義的所以，解題時(shí)，要像上邊解答一樣,補(bǔ)上n=1時(shí)的情況【例12】證明：數(shù)列an的前n項(xiàng)之和Sn=an2+bn(a、b為常數(shù))是這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件.證由Sn=an2+bn,得當(dāng)n2時(shí),an=SnSn-1=an2+bna(n1)2b(n1

13、)=2na+baa1=S1=a+b二對(duì)于任何nN,an=2na+baanan_i=2na+(ba)2(n1)ab+a=2a(常數(shù))an是等差數(shù)列.若an是等差數(shù)列，則n(n1)'=nai+(1n)n2+n(a1d)d2d=尹n(ai-)若令d二a,貝Va1=b,即卩22Sn=an2+bn綜上所述，Sn=an2+bn是an成等差數(shù)列的充要條件.說(shuō)明由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：前n項(xiàng)和為Sn=an2+bn+c的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是c=0.事實(shí)上，設(shè)數(shù)列為un，貝心充分性c=0Sn=an2+bnun是等差數(shù)列.必要性u(píng)n是等差數(shù)列Sn=an2+bnc=0.【例13】等差數(shù)

14、列an的前n項(xiàng)和Sn=m前m項(xiàng)和SnT=n(m>n)，求前m+n項(xiàng)和Sm+n解法一設(shè)an的公差d按題意，則有o+n(n1)Sn=n+2d=m,m(m1).Sm=ma1+d=n2-，得（m-n）ai+（mn）（mn1）】d=-1二Smn(mn)ai(mn)(mn1)-d(mn)(ai2mn1d)二一（m+n）解法二設(shè)SX=Ax2+Bx(xN)Am2+Bm=nAn2+Bn=m，得A(m2n2)+B(m-n)=nmt說(shuō)nA(m+n)+B=1故A(m+n)2+B(m+n)=(m+n)即Sm+=(m+n)說(shuō)明a1,d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解決其它問(wèn)題，但本題關(guān)鍵在于求出了a

15、1+mn1d=-1,這種設(shè)而不2解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒.解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22,故可設(shè)SX=Ax2+Bx.（xN）【例14】在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75,各偶數(shù)項(xiàng)之和為90,末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27,則n之值是多少解/S偶項(xiàng)S奇項(xiàng)=ndnd=90-75=15又由a2n=27,即(2n1)d=27nd=15n=5(2n1)d=27【例15】在等差數(shù)列an中，已知a1=25,S9=S17,問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值.解法一建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值.17X169x8根據(jù)題意：S17=17a1+d,S9=9a1+廠dta1=25,S7=S9解得d=2Sn=25n+n(；°(2)=n2+26n二(n13)2+169當(dāng)n=13時(shí)，$最大，最大值S13=169解法二因?yàn)閍1=25>0,d=2v0,所以數(shù)列an是遞減等差數(shù)列，若使前n項(xiàng)和最大，只需解an0，可解出n.an+1«0ta1=25,S9=S179X817X16”9X25+d=17X25+d,解得d=222an=25+(n1)(2)=2n+272n+27>0n<13.5二n=132(n+1)+27>0n>1