理學理論力學第四章學習教案

1、會計學1理學理學(lxu)理論力學第四章理論力學第四章第一頁，共134頁。機械振動的特點機械振動的特點(tdin)：圍繞其平衡位置往復運動。：圍繞其平衡位置往復運動。學習目的：利用學習目的：利用(lyng)有益的振動，減少有害的振動。有益的振動，減少有害的振動。振動系統(tǒng)包括振動系統(tǒng)包括(boku)：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。第1頁/共134頁第二頁，共134頁。1.1.自由自由(zyu)(zyu)振動微分方程振動微分方程0l設彈簧原長為設彈簧原長為gmP在重力在重力 的作用下的作用下剛度剛度(n d)系數為系數為kst彈簧的變形為彈簧的變形為

2、這一位置為平衡位置這一位置為平衡位置稱為靜變形稱為靜變形st/P k第2頁/共134頁第三頁，共134頁。取重物取重物(zhn(zhn w) w)的平衡位置點的平衡位置點O O為坐標原點為坐標原點st()Fkkx 其運動其運動(yndng)微分方程為微分方程為取取x 軸的正向鉛直向下軸的正向鉛直向下則則2st2d()dxmPkxtkxtxm22ddst/P k第3頁/共134頁第四頁，共134頁。上式表明上式表明(biomng)： 物體偏離平衡位置于坐標物體偏離平衡位置于坐標x x處將受到與偏離距離處將受到與偏離距離(jl)(jl)成正成正比而與偏離方向相反的合力比而與偏離方向相反的合力恢復力

3、恢復力只在恢復力作用下維持的振動只在恢復力作用下維持的振動(zhndng)稱為無阻尼自由振動稱為無阻尼自由振動(zhndng)mk200dd2022xtx無阻尼自由振動微分方程的標準形式無阻尼自由振動微分方程的標準形式kxtxm22dd第4頁/共134頁第五頁，共134頁。其解具有其解具有(jyu)(jyu)如下形式如下形式rtex 其中其中(qzhng)r(qzhng)r為待定常數為待定常數本征方程本征方程(fngchng)(fngchng)0202r本征方程的兩個根為本征方程的兩個根為0201iirr1r和和2r是兩個共軛虛根是兩個共軛虛根微分方程的解為微分方程的解為tCtCx0201si

4、ncos第5頁/共134頁第六頁，共134頁。其中其中 和和 是積分常數，是積分常數，1C2C由運動的起始由運動的起始(q sh)(q sh)條件確定條件確定令：令：212221tanCCCCA)sin(0tAx無阻尼無阻尼(zn)(zn)自由振動是簡諧振動自由振動是簡諧振動第6頁/共134頁第七頁，共134頁。2.2.無阻尼自由振動無阻尼自由振動(zhndng)(zhndng)的特點的特點（1 1）固有頻率）固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)周期周期(zhuq)振動振動若運動規(guī)律若運動規(guī)律x( t ) 可以寫為可以寫為)()(TtxtxT T為常數為常數周期周期由式由式)si

5、n(0tAx00()()2tTt第7頁/共134頁第八頁，共134頁。自由振動自由振動(zhndng)(zhndng)的周期為的周期為02T0122 fT其中其中 振動的振動的頻率頻率，表示每秒鐘的振動次數。，表示每秒鐘的振動次數。Tf1由式由式mk20mk0第8頁/共134頁第九頁，共134頁。只與表征系統(tǒng)本身特性的質量只與表征系統(tǒng)本身特性的質量(zhling)m(zhling)m和剛度和剛度k k有關有關而與運動而與運動(yndng)(yndng)的初始條件無關的初始條件無關它是振動系統(tǒng)它是振動系統(tǒng)(xtng)(xtng)固有的特性固有的特性所以稱為所以稱為固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻

6、率）固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率）0m=P/gst/kP0stgmk0第9頁/共134頁第十頁，共134頁。（2 2）振幅）振幅(zhnf)(zhnf)與初相角與初相角A A表示相對于振動表示相對于振動(zhndng)(zhndng)中心點中心點O O的最大位移的最大位移振幅振幅(zhnf)(zhnf)相位（或相位角）相位（或相位角）)(0t表示質點在某瞬時表示質點在某瞬時t t 的位置的位置而而表示質點運動的起始位置表示質點運動的起始位置初相角初相角設設t= t= 0 0 時，時，0 xx 0)cos(dd00tAtx)sin(0tAx)sin(0tAx000202020tanxxA第

7、10頁/共134頁第十一頁，共134頁。3.3.彈簧的并聯彈簧的并聯(bnglin)(bnglin)與串聯與串聯（1 1）彈簧）彈簧(tnhung)(tnhung)并聯并聯st11kF st22kF 在平衡在平衡(pnghng)(pnghng)時有時有st2121)(kkFFmg令令eqk等效彈簧剛度系數等效彈簧剛度系數steqkmg 21eqkkkeqst/kmg第11頁/共134頁第十二頁，共134頁。固有頻率固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)mkkmk21eq0 當兩個彈簧并聯時，其等效彈簧剛度系數當兩個彈簧并聯時，其等效彈簧剛度系數(xsh)(xsh)等于兩個等于兩個彈

8、簧剛度系數彈簧剛度系數(xsh)(xsh)的和。的和。這個這個(zh ge)(zh ge)結論也可以推廣到多個彈簧并聯的情形。結論也可以推廣到多個彈簧并聯的情形。第12頁/共134頁第十三頁，共134頁。（2 2）彈簧）彈簧(tnhung)(tnhung)串聯串聯1st1kmg22stkmg兩個彈簧兩個彈簧(tnhung)(tnhung)總的靜伸長總的靜伸長)11(212st1ststkkmg若設串聯彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數為若設串聯彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數為eqk則有則有eqst/kmg比較比較(bjio)(bjio)上面兩式得上面兩式得21eq111kkk2121eqkkkkk第13頁

9、/共134頁第十四頁，共134頁。固有頻率固有頻率( yu pn l)為為)(2121eq0kkmkkmk當兩個彈簧串聯時，其等效彈簧剛度當兩個彈簧串聯時，其等效彈簧剛度(n d)系數的倒數系數的倒數等于兩個彈簧等于兩個彈簧(tnhung)剛度系數倒數的和。剛度系數倒數的和。這一結論也可以推廣到多個彈簧串聯的情形這一結論也可以推廣到多個彈簧串聯的情形第14頁/共134頁第十五頁，共134頁。4.4.其他其他(qt)(qt)類型的單自由振動系統(tǒng)類型的單自由振動系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)(xtng)運動運動(yndng)微分方程為微分方程為tOktJ22dd令令OtJk20則上式可變?yōu)閯t上式

10、可變?yōu)?dd2022t第15頁/共134頁第十六頁，共134頁。例例 4 41 1已知：質量為已知：質量為m0.5kg0.5kg的物體沿光滑斜面無初速度滑下。的物體沿光滑斜面無初速度滑下。當物塊下落高度當物塊下落高度h=0.1m=0.1m時，撞于無質量的彈簧上，時，撞于無質量的彈簧上，并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數k k=0.8kN/m=0.8kN/m。傾角傾角 30求：此系統(tǒng)振動求：此系統(tǒng)振動(zhndng)(zhndng)的固有頻率和振幅并給出物塊的運動方程。的固有頻率和振幅并給出物塊的運動方程。第16頁/共134頁第十七頁，共134頁。解：解：若物塊平衡時，

11、彈簧應有若物塊平衡時，彈簧應有(yn(yn yu) yu)變形量變形量kmgsin0以物塊平衡位置以物塊平衡位置O O為原點，取為原點，取x x軸如圖，運動軸如圖，運動(yndng)(yndng)微分方程為微分方程為)(sindd022xkmgtxmkxtxm22dd通解通解(tngji)(tngji)為為)sin(0tAx第17頁/共134頁第十八頁，共134頁。固有頻率固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)00.8N/m 100040rad/s0.5kgkm當物塊碰上彈簧時，取時間當物塊碰上彈簧時，取時間(shjin)t=0(shjin)t=0，作為振動的起點，作為振動的起點m

12、1006. 31000N/m8 . 030sinm/s8 . 9kg5 . 03200 x2022 9.8m/s0.1m1.4m/svgh22002035.1vAxmm000arctan0.087radxv 運動運動(yndng)方程為方程為mm)087. 040sin(1 .35tx第18頁/共134頁第十九頁，共134頁。例例 4 42 2已知：如圖所示無重彈性梁，當中部放置質量已知：如圖所示無重彈性梁，當中部放置質量m的物塊時，的物塊時，其靜撓度為其靜撓度為2mm，若將此物塊在梁未變形位置處若將此物塊在梁未變形位置處無初速釋放。無初速釋放。求：系統(tǒng)的振動求：系統(tǒng)的振動(zhndng)(z

13、hndng)規(guī)律。規(guī)律。第19頁/共134頁第二十頁，共134頁。解：解：此無重彈性梁相當于一彈簧此無重彈性梁相當于一彈簧, ,其靜撓度其靜撓度(nod)(nod)相當于彈簧的靜伸長相當于彈簧的靜伸長則梁的剛度則梁的剛度( (nn d) d)系數為系數為stmgk 取其平衡位置為坐標原點取其平衡位置為坐標原點,x,x軸方向鉛直軸方向鉛直(qinzh)(qinzh)向下向下運動微分方程為運動微分方程為kxxkmgtxm)(ddst22設設mk200dd2022xtx)sin(0tAx第20頁/共134頁第二十一頁，共134頁。固有頻率固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)rad/s7

14、0st0gmk在初瞬時在初瞬時t=0t=0，物塊位于，物塊位于(wiy)(wiy)未變形的梁上未變形的梁上其坐標其坐標mm2st0 x重物初速度重物初速度00則振幅則振幅(zhnf)(zhnf)為為2200202vAx mm初相角初相角000arctanarctan()2xv 最后得系統(tǒng)的自由振動規(guī)律為最后得系統(tǒng)的自由振動規(guī)律為mm)70cos(2tx第21頁/共134頁第二十二頁，共134頁。已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計球質量為已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計球質量為m m。擺對軸。擺對軸O O 的轉動慣量為的轉動慣量為J J，彈簧剛度，彈簧剛度( (nn d) d)系數為系數為k k。桿于

15、水平位置。桿于水平位置 平衡。平衡。求：此系統(tǒng)微小振動的運動微分方程求：此系統(tǒng)微小振動的運動微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )及振動固有頻率。及振動固有頻率。第22頁/共134頁第二十三頁，共134頁。解：解：擺于水平平衡處，擺于水平平衡處，彈簧已有壓縮量彈簧已有壓縮量0由平衡方程由平衡方程0)(iOFMdkmgl0以平衡位置為原點，以平衡位置為原點，擺繞軸擺繞軸O的轉動微分方程為的轉動微分方程為ddkmgltJ)(dd022222ddkdtJJkd0第23頁/共134頁第二十四頁，共134頁。已知：如圖所示兩個相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑已知：如圖所示兩個相同

16、的塔輪，相嚙合的齒輪半徑 皆為皆為R R，半徑為，半徑為r r的鼓輪上繞有細繩。輪的鼓輪上繞有細繩。輪I I連一鉛連一鉛 直彈簧，輪直彈簧，輪IIII掛一重物，塔輪對軸的轉動慣量皆掛一重物，塔輪對軸的轉動慣量皆 為為J J，彈簧剛度，彈簧剛度( (nn d) d)系數為系數為k k，重物質量為，重物質量為m m。求：此系統(tǒng)求：此系統(tǒng)(xtng)(xtng)振動的固有頻率。振動的固有頻率。第24頁/共134頁第二十五頁，共134頁。解：解：以系統(tǒng)以系統(tǒng)(xtng)(xtng)平衡時重物的位置為原點，取平衡時重物的位置為原點，取x x軸如圖。軸如圖。22)(21221rxJxmT系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng

17、)(xtng)的勢能為的勢能為221kxV 不計摩擦不計摩擦(mc)(mc)，由系統(tǒng)的機械能守恒，由系統(tǒng)的機械能守恒22222121kxxrJxmVT常數常數系統(tǒng)動能為系統(tǒng)動能為第25頁/共134頁第二十六頁，共134頁。上式兩端對時間上式兩端對時間(shjin)取一階導數，得取一階導數，得0)2(2xkxxxrJm 0)2(2kxxrJm 自由自由(zyu)振動微分方程振動微分方程系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的固有頻率為的固有頻率為Jmrkr2220第26頁/共134頁第二十七頁，共134頁。如圖所示無阻尼振動如圖所示無阻尼振動(z n zhn dn(z n zhn dn) )系統(tǒng)系統(tǒng)當系統(tǒng)作自由振

18、動當系統(tǒng)作自由振動(zhndng)(zhndng)時，運動規(guī)律為時，運動規(guī)律為)sin(0tAx速度速度(sd)(sd)為為00cos()xvAttdd在瞬時在瞬時t t 物塊的動能為物塊的動能為22220011cos ()22TmvmAt第27頁/共134頁第二十八頁，共134頁。若選平衡位置為零勢能若選平衡位置為零勢能(shnng)(shnng)點，有點，有PxxkV)(212st2stPkst)(sin21210222tkAkxV 對于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果對于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果(rgu)(rgu)以平以平衡位置為零勢能位置，則重力勢能與彈性力衡位置為零勢能位置，則重力勢能與

19、彈性力勢能之和，相當于由平衡位置處計算變形的勢能之和，相當于由平衡位置處計算變形的單獨彈性力的勢能。單獨彈性力的勢能。第28頁/共134頁第二十九頁，共134頁。當物體處于平衡位置（振動當物體處于平衡位置（振動(zhndng)中心）時，物塊具有最大動能中心）時，物塊具有最大動能220max21AmT當物塊處于偏離振動中心當物塊處于偏離振動中心(zhngxn)的極端位置時，系統(tǒng)具有最大勢能的極端位置時，系統(tǒng)具有最大勢能2max21kAV由機械由機械(jxi)守恒定律守恒定律maxmaxVT可得系統(tǒng)的固有頻率可得系統(tǒng)的固有頻率mk /0第29頁/共134頁第三十頁，共134頁。求：系統(tǒng)作微振動求：

20、系統(tǒng)作微振動(zhndng)(zhndng)時的固有頻率。時的固有頻率。已知：如圖振動系統(tǒng)中，擺桿已知：如圖振動系統(tǒng)中，擺桿OA對鉸鏈點對鉸鏈點O的轉動慣量的轉動慣量J，桿的點桿的點A和和B各安置一個彈簧，剛度系數分別為各安置一個彈簧，剛度系數分別為 和和 。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。1k2k第30頁/共134頁第三十一頁，共134頁。解：解：)sin(0t系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)振動時擺桿的最大角速度振動時擺桿的最大角速度0max系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的最大動能為的最大動能為220max21JT選擇選擇(xunz)平衡位置為零勢能點平衡位置為零勢能點最大勢能為最大勢能為222

21、212221max)(21)(21)(21dklkdklkV第31頁/共134頁第三十二頁，共134頁。即即22221220)(2121dklkJ解得固有頻率解得固有頻率( yu pn l)Jdklk22210由機械能守恒定律有由機械能守恒定律有maxmaxVT第32頁/共134頁第三十三頁，共134頁。求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動(zhndng)(zhndng)的固有頻率。的固有頻率。已知：如圖表示一質量為已知：如圖表示一質量為m，半徑為半徑為r的圓柱體，的圓柱體，在一半徑為在一半徑為R的圓弧槽上作無滑動的滾動。的圓弧槽上作無滑動的滾動。第33頁/共1

22、34頁第三十四頁，共134頁。解：解：1()OvRrrrR/)(系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的動能為的動能為1122222221111()() ()222223()4OOmrRrTmvJm RrrmRr系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的勢能為的勢能為2sin)(2)cos1)(2rRmgrRmgV第34頁/共134頁第三十五頁，共134頁。當圓柱體作微振動當圓柱體作微振動(zhndng)時，時，可認為可認為22sin2)(21rRmgV設系統(tǒng)設系統(tǒng)(xtng)作自由振動時作自由振動時的變化規(guī)律為的變化規(guī)律為)sin(0tA則系統(tǒng)則系統(tǒng)(xtng)的最大動能的最大動能2202max)(43ArRmT系統(tǒng)的最大勢能系

23、統(tǒng)的最大勢能2max)(21ArRmgV由機械守恒定律由機械守恒定律有有maxmaxVT解得系統(tǒng)的固有頻率為解得系統(tǒng)的固有頻率為)(320rRg第35頁/共134頁第三十六頁，共134頁。1.1.阻尼阻尼(zn)(zn)阻尼阻尼(zn)(zn)振動過程中的阻力。振動過程中的阻力。粘性阻尼粘性阻尼當振動速度不大時，由于介質粘性引起的阻當振動速度不大時，由于介質粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。力近似地與速度的一次方成正比。dFcv 其中：其中：c c粘性阻力系數粘性阻力系數（簡稱為（簡稱為阻力系數阻力系數）以阻尼元件以阻尼元件c c表示。表示。一般的機械振動系統(tǒng)一般的機械振動系統(tǒng)彈性元

24、件（彈性元件（k）慣性元件（慣性元件（m）阻尼元件（阻尼元件（c）第36頁/共134頁第三十七頁，共134頁。2.2.振動振動(zhndng)(zhndng)微分方程微分方程如以平衡位置為坐標原點，如以平衡位置為坐標原點，在建立此系統(tǒng)在建立此系統(tǒng)(xtng)(xtng)的振動微分的振動微分方程時可以不再計入重力方程時可以不再計入重力的作用。的作用。在振動過程在振動過程(guchng)(guchng)中作用在物塊上的力有中作用在物塊上的力有（1 1）恢復力）恢復力eFkxFe（2 2）粘性阻尼力）粘性阻尼力dFtxccFxddd第37頁/共134頁第三十八頁，共134頁。物塊的運動物塊的運動(y

25、ndng)(yndng)微分方程為微分方程為txckxtxmdddd22令令mk20mc2固有角（圓）頻率固有角（圓）頻率0 阻尼系數阻尼系數0dd2dd2022xtxtx有阻尼自由振動微分方程的標準有阻尼自由振動微分方程的標準(biozhn)(biozhn)形式形式第38頁/共134頁第三十九頁，共134頁。其解可設為其解可設為rtex 本征方程本征方程(fngchng)02202rr方程方程(fngchng)的兩個根為的兩個根為2021r2022r通解通解(tngji)為為trt reCeCx2121第39頁/共134頁第四十頁，共134頁。3.3.欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)(zhungti)(

26、zhungti)0mkc2欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)(zhungti)(zhungti)本方程本方程(fngchng)(fngchng)的兩個根為共軛復數的兩個根為共軛復數2201ir2202ir220esin()txAtesin()txAtd其中其中A A和和為兩個積分常數，由運動的初始條件確定。為兩個積分常數，由運動的初始條件確定。有阻尼自由振動的固有角頻率有阻尼自由振動的固有角頻率220d令令第40頁/共134頁第四十一頁，共134頁。設設t t=0=0，,0 xx 022000220()vxAx002200tanxx振動的振幅是隨時間不斷衰減振動的振幅是隨時間不斷衰減(shui jin)(s

27、hui jin)的，稱為衰減的，稱為衰減(shui jin)(shui jin)振動。振動。是否是否(sh fu)(sh fu)為周期振動呢？為周期振動呢？仍具有振動仍具有振動(zhndng)(zhndng)的特點。的特點。第41頁/共134頁第四十二頁，共134頁。定義：質點從一個定義：質點從一個(y )最大偏離位置到下一個最大偏離位置到下一個(y )最大偏離位置最大偏離位置所需要的時間稱為所需要的時間稱為(chn wi)衰減振動的周期，衰減振動的周期，記為記為dT22022Tdd第42頁/共134頁第四十三頁，共134頁。令令220002211 ()Tdmkc20稱為稱為阻尼比阻尼比2d1

28、TT2d1 ff20d1第43頁/共134頁第四十四頁，共134頁。設在某瞬時設在某瞬時(shn sh)t(shn sh)t，振動達到的最大偏離值為，振動達到的最大偏離值為A A，eitiAA經過一個周期經過一個周期 后后dT()1eitTiAAddd()1eeeiitTitTiAAAA減縮減縮(jin su)(jin su)因數因數相當相當(xingdng)(xingdng)振幅振幅esin()txAtd對數減縮，對數減縮，反映阻尼的參數。反映阻尼的參數。d212ln21iiATA第44頁/共134頁第四十五頁，共134頁。4.4.臨界阻尼臨界阻尼) 1 (0臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)(zhu

29、ngti)(zhungti)crc臨界阻力系數臨界阻力系數mkc2cr本征方程本征方程(fngchng)(fngchng)的根為兩個相等的實根的根為兩個相等的實根1r2r微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )的解為的解為12e()txCC t是否具有振動的特點？是否具有振動的特點？其中其中 和和 為兩個積分常數，為兩個積分常數，1C2C由運動的起始條件決定。由運動的起始條件決定。物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置因此運動已不具有振動的特點因此運動已不具有振動的特點第45頁/共134頁第四十六頁，共134頁

30、。) 1 (0過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)(zhungti)(zhungti)阻力系數阻力系數crcc 本征方程本征方程(fngchng)(fngchng)的根為兩個不等的實根的根為兩個不等的實根2021r2022r微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )的解為的解為22220012e(ee)tttxCC5.5.過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)其中其中 和和 為兩個積分常數，為兩個積分常數，1C2C由運動起始條件來確定由運動起始條件來確定第46頁/共134頁第四十七頁，共134頁。運動運動(yndng)圖線如圖圖線如圖不具有振動不具有振動(zhndng)性質性質第47頁/共134

31、頁第四十八頁，共134頁。已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉剛度系已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉剛度系 數為數為kt t，圓盤對桿軸的轉動慣量圓盤對桿軸的轉動慣量J，如圓盤外緣受如圓盤外緣受 到與轉動速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭到與轉動速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭 振的周期為振的周期為 。dT求：圓盤所受阻力偶矩與轉動求：圓盤所受阻力偶矩與轉動(zhun dng)(zhun dng)角速度的關系角速度的關系第48頁/共134頁第四十九頁，共134頁。解：解：設設M為阻力偶系數為阻力偶系數圓盤繞桿軸轉動圓盤繞桿軸轉動(zhun dng)微分方程為微分方程為tJk

32、t0kJJd2t2()2TkJJ222dd24tT k JJT220002211 ()Td第49頁/共134頁第五十頁，共134頁。求：系統(tǒng)的臨界求：系統(tǒng)的臨界(ln ji)(ln ji)阻力系數和阻力系數各為多少。阻力系數和阻力系數各為多少。已知：如圖彈簧質量阻尼系統(tǒng)，其物體質量為已知：如圖彈簧質量阻尼系統(tǒng)，其物體質量為0.05kg， 彈簧剛度系數彈簧剛度系數k=2000N/m。使系統(tǒng)發(fā)生自由振使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動，測得其相鄰兩個振幅比動，測得其相鄰兩個振幅比 。981001iiAA第50頁/共134頁第五十一頁，共134頁。解：解：對數對數(du sh)減縮為減縮為0202. 098100

33、lnln1iiAA阻尼比為阻尼比為0.0032152系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的臨界阻力系數為的臨界阻力系數為s/mN20N/m2000kg05. 022crmkc阻力阻力(zl)系數系數s/mN0643. 0cr cc第51頁/共134頁第五十二頁，共134頁。在外加激振力作用下的振動稱為在外加激振力作用下的振動稱為(chn wi)受迫振動。受迫振動。簡諧激振力是一種典型簡諧激振力是一種典型(dinxng)(dinxng)的周期變化的激振力的周期變化的激振力)sin(tHF其中：其中：H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；是激振力的角頻率；是激振力的角頻率；是激

34、振力的初相角；是激振力的初相角；第52頁/共134頁第五十三頁，共134頁。1.1.振動振動(zhndng)(zhndng)微分方程微分方程恢復力恢復力kxFe質點質點(zhdin)(zhdin)的運動微分方程為的運動微分方程為)sin(dd22tHkxtxmmHhmk，20)sin(dd2022thxtx取物塊的平衡位置為坐標取物塊的平衡位置為坐標(zubio)(zubio)原點，原點，x x軸向下為正。軸向下為正。令令第53頁/共134頁第五十四頁，共134頁。齊次方程齊次方程(fngchng)(fngchng)的通解為的通解為)sin(01tAx設特解有如下設特解有如下(rxi)(rxi

35、)形式形式)sin(2tbx其中其中(qzhng)b(qzhng)b為待定常數為待定常數將將 代入方程代入方程2x)sin()sin()sin(202thtbtb220hb全解為全解為)sin()sin(2200thtAx)sin(dd2022thxtx)sin(dd2022thxtx第54頁/共134頁第五十五頁，共134頁。上式表明上式表明(biomng)無阻尼受迫振動是由兩個無阻尼受迫振動是由兩個(lin )諧振動合成的。諧振動合成的。第一部分是頻率為固有頻率第一部分是頻率為固有頻率( yu pn l)的自由振動的自由振動第二部分是頻率為激振力頻率的振動第二部分是頻率為激振力頻率的振動受

36、迫振動受迫振動)sin(01tAx)sin(2202thx第55頁/共134頁第五十六頁，共134頁。2.2.受迫振動受迫振動(shu p zhn dn)(shu p zhn dn)的振幅的振幅（1 1）若）若0即激振力為一恒力，此時即激振力為一恒力，此時(c sh)(c sh)并不振動并不振動所謂的振幅所謂的振幅 實為實為靜力靜力H 作用下的靜變形作用下的靜變形0bkHhb200220hb（2 2）若）若00振幅振幅b b 隨著頻率隨著頻率單調單調(dndio)(dndio)上升上升當當接近接近 時，時，0振幅振幅b b 將趨于無窮大。將趨于無窮大。第56頁/共134頁第五十七頁，共134頁

37、。（3 3）若）若0b b為負值為負值(f zh)(f zh)b b取其絕對值，取其絕對值，而視受迫振動而視受迫振動 ，與激振力反向，與激振力反向2x隨著激振力頻率隨著激振力頻率(pnl)(pnl)增大，振幅增大，振幅b b 減小。減小。當當趨于趨于，振幅，振幅(zhnf)b (zhnf)b 趨于零。趨于零。220hb)sin(2202thx第57頁/共134頁第五十八頁，共134頁。振幅振幅b b與激振力頻率與激振力頻率(pnl)(pnl)之間的關系曲線稱為振幅頻率之間的關系曲線稱為振幅頻率(pnl)(pnl)曲線，曲線，又稱為共振曲線。又稱為共振曲線。將縱軸取為將縱軸取為0bb橫軸取為橫軸

38、取為0振幅頻率振幅頻率(pnl)(pnl)曲線如圖所示曲線如圖所示第58頁/共134頁第五十九頁，共134頁。3.3.共振共振(gngzhn)(gngzhn)現象現象當當 時，即時，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅振幅b b在理論上應趨向無窮大，這種現象稱為在理論上應趨向無窮大，這種現象稱為共振共振。0當當 時時0沒有沒有(mi yu)(mi yu)意義意義微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )式的特解應具有下面的形式式的特解應具有下面的形式)cos(02tBtx02/hB220hb代入代入)sin(dd2022thxtx

39、第59頁/共134頁第六十頁，共134頁。當當 時，系統(tǒng)共振。時，系統(tǒng)共振。0受迫振動的振幅受迫振動的振幅(zhnf)(zhnf)隨時間無限地增大。隨時間無限地增大。其運動其運動(yndng)(yndng)圖線如圖所示圖線如圖所示它的幅值為它的幅值為thb02)cos(2002tthx共振共振(gngzhn)(gngzhn)時受迫振動的運動規(guī)律為時受迫振動的運動規(guī)律為第60頁/共134頁第六十一頁，共134頁。已知：如圖長為已知：如圖長為l無重杠桿無重杠桿OA，其一端其一端O 鉸支，另一端鉸支，另一端A水水 平懸掛在剛度系數為平懸掛在剛度系數為k的彈簧上，桿的中點裝有一質的彈簧上，桿的中點裝有

40、一質 量為量為m的小球，若在點的小球，若在點A A 加一激振力加一激振力 ， 其中激振力的頻率其中激振力的頻率 ， tFFsin00210為系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率忽略阻尼。忽略阻尼。求：系統(tǒng)的受迫振動求：系統(tǒng)的受迫振動(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )規(guī)律。規(guī)律。 第61頁/共134頁第六十二頁，共134頁。解：解：設任一瞬時剛桿的擺角為設任一瞬時剛桿的擺角為系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的運動微分方程為的運動微分方程為tlFkllmsin)2(022 令令mklmkl4)2(2220mlFlmlFh0204)2(thsin20 第62頁/共134頁第六十三頁，共134頁

41、?？傻蒙鲜隹傻蒙鲜?shngsh)(shngsh)方程的特解，即受迫振動為方程的特解，即受迫振動為thsin220將將 代入上式代入上式021tklFtmkmlFthsin34sin4434sin430020第63頁/共134頁第六十四頁，共134頁。求：當電機求：當電機(dinj)(dinj)以勻速角速度以勻速角速度旋轉時，系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。旋轉時，系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。已知：如圖表示帶有偏心塊的電動機，固定在一根彈性梁上，已知：如圖表示帶有偏心塊的電動機，固定在一根彈性梁上， 設電機設電機(dinj)(dinj)的質量為的質量為 ，偏心偏心(pinxn)(pinxn)矩為矩為e e，彈性梁

42、的剛度系數為彈性梁的剛度系數為k k。1m偏心塊的質量為偏心塊的質量為2m第64頁/共134頁第六十五頁，共134頁。解：解：質點系動量定理質點系動量定理(dn(dn lin lin dn dn l) l)kxmtixi)(ddkxtextmtxmt)sin(dddddd21質點系包括電機質點系包括電機(dinj)(dinj)和偏心塊。和偏心塊。以平衡位置為坐標原點，以平衡位置為坐標原點，電機電機(dinj)(dinj)軸心的坐標為軸心的坐標為x x。第65頁/共134頁第六十六頁，共134頁。受迫振動受迫振動(shu p zhn dn)振幅振幅22122220)(mmkemhb上述振幅表達式

43、表示的振幅頻率上述振幅表達式表示的振幅頻率(pnl)曲線如圖所示曲線如圖所示微分方程微分方程(wi fn fn chn)temkxxmmsin)(2221 令令22emH 2122mmemhtmmkemthxsin)(sin221222202第66頁/共134頁第六十七頁，共134頁。求：測振儀中物塊的運動微分方程及受迫振動求：測振儀中物塊的運動微分方程及受迫振動(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )規(guī)律。規(guī)律。已知：如圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為已知：如圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為m， 彈簧剛度系數彈簧剛度系數k，測振儀放在振動物體表面，測振儀放在振動物體表面

44、， 將隨物體而運動。設被測物體的振動規(guī)律為將隨物體而運動。設被測物體的振動規(guī)律為tessin第67頁/共134頁第六十八頁，共134頁。解：解：測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點的運動測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點的運動(yndng)(yndng)規(guī)律是規(guī)律是tessin取取t=0t=0時物塊的平衡位置為坐標時物塊的平衡位置為坐標(zubio)(zubio)原點原點O O取取x 軸如圖軸如圖sx st物塊絕對運動的微分方程物塊絕對運動的微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )為為tkekxxmsin （a a）物塊的受迫振動形式為物塊的受迫振動形式為tbxsi

45、n此時激振力的力幅為此時激振力的力幅為H=ke第68頁/共134頁第六十九頁，共134頁。b b為物塊絕對運動的振幅為物塊絕對運動的振幅(zhnf)(zhnf)由于由于(yuy)(yuy)測振儀殼體也在運動，其振幅為測振儀殼體也在運動，其振幅為e e。記錄紙上畫出的振幅記錄紙上畫出的振幅(zhnf)(zhnf)為物塊相對于測振儀的振幅為物塊相對于測振儀的振幅(zhnf)(zhnf)eba20220220)(1)(emkehb當當 時時00b有有ea 記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。第69頁/共134頁第七十頁，共134頁。選平衡位置選平衡

46、位置O O為坐標原點，坐標軸鉛直為坐標原點，坐標軸鉛直(qinzh)(qinzh)向下向下線性恢復力線性恢復力eFkxFe粘性阻尼力粘性阻尼力dFtxccFddd簡諧激振力簡諧激振力FtHFsin質點質點(zhdin)運動微分方程運動微分方程tHtxckxtxmsindddd22令令mk20mc2mHh thxtxtxsindd2dd2022有阻尼受迫振動微分方程的標準形式有阻尼受迫振動微分方程的標準形式第70頁/共134頁第七十一頁，共134頁。其解由兩部分其解由兩部分(b fen)(b fen)組成組成21xxx在欠阻尼在欠阻尼 的狀態(tài)下有的狀態(tài)下有)(02210esin()txAt)si

47、n(2tbxthxtxtxsindd2dd2022其中其中(qzhng)(qzhng)表示受迫振動的相位角落后于激振力的相位角表示受迫振動的相位角落后于激振力的相位角第71頁/共134頁第七十二頁，共134頁。)cos(sin)sin(cos)sin(sinthththth0)cos(sin2)sin(cos)(220thbthb對任意對任意(rny)(rny)瞬時瞬時t t，上式都必須是恒等式，上式都必須是恒等式0cos)(220hb0sin2hbthtbtbtbsin)sin()cos(2)sin(202第72頁/共134頁第七十三頁，共134頁。將上述將上述(shngsh)(shngsh

48、)兩方程聯立可解出兩方程聯立可解出2222204)(hb2202tan于是于是(ysh)(ysh)得方程的通解為得方程的通解為220esin()sin()txAtbt其中其中A A和和為積分為積分(jfn)(jfn)常數，由運動的初始條件確定。常數，由運動的初始條件確定。第73頁/共134頁第七十四頁，共134頁。受簡諧振動力受簡諧振動力(dngl)作用的受迫振動仍然是諧振動。作用的受迫振動仍然是諧振動。220esin()sin()txAtbt有阻尼有阻尼(zn)受迫振動包括兩部分受迫振動包括兩部分衰減衰減(shui jin)振動振動過渡過程過渡過程受迫振動受迫振動穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程振動頻率激振

49、力的頻率振動頻率激振力的頻率第74頁/共134頁第七十五頁，共134頁。振幅頻率關系振幅頻率關系(gun x)(gun x)曲線曲線橫軸表示頻率比橫軸表示頻率比0s縱軸表示振幅比縱軸表示振幅比0bb0crcc2222204)(hb影響振幅影響振幅(zhnf)(zhnf)的因素：激振力的力幅、頻率、的因素：激振力的力幅、頻率、m m、k k和和c c。第75頁/共134頁第七十六頁，共134頁。（1 1）當）當 時時0當作無阻尼受迫振動當作無阻尼受迫振動(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )處理。處理。（2 2）當）當時) 1即(0s阻尼增大阻尼增大(zn(zn d) d)，

50、振幅下降。，振幅下降。20220212振幅振幅b b具有最大值具有最大值maxb這時的頻率這時的頻率(pnl)(pnl)稱為共振頻率稱為共振頻率(pnl)(pnl)。220max2hb20max12bb第76頁/共134頁第七十七頁，共134頁。在一般情況下在一般情況下阻尼比阻尼比1 共振頻率共振頻率0共振的振幅為共振的振幅為20maxbb（3 3）當）當 時時0阻尼阻尼(zn)(zn)對受迫振動的振幅影響也較小對受迫振動的振幅影響也較小將系統(tǒng)當作將系統(tǒng)當作(dn(dn zu) zu)無阻尼系統(tǒng)處理無阻尼系統(tǒng)處理第77頁/共134頁第七十八頁，共134頁。有阻尼受迫振動的相位角，總比激振力落后

51、有阻尼受迫振動的相位角，總比激振力落后(lu hu)(lu hu)一個相一個相位角位角，稱為相位差。稱為相位差。相位差相位差隨激振力頻率隨激振力頻率(pnl)(pnl)變化曲線如圖變化曲線如圖)sin(2tbx2202tan第78頁/共134頁第七十九頁，共134頁。已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端l l處有處有 一質量為一質量為m的質點，距的質點，距2l處有一阻尼器，其阻力系處有一阻尼器，其阻力系 數為數為c，距距3l處有一剛度系數為處有一剛度系數為k的彈簧。并作用一的彈簧。并作用一 簡諧激振力簡諧激振力 。剛桿在水平位置平衡。剛桿在水

52、平位置平衡。tFFsin0試列出系統(tǒng)的振動微分方程，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率并求系統(tǒng)的固有頻率0以及當激振力頻率以及當激振力頻率等于等于 時質點的振幅。時質點的振幅。0第79頁/共134頁第八十頁，共134頁。解：解：設剛桿擺角為設剛桿擺角為，振動，振動(zhndng)(zhndng)微分方程為微分方程為tlFklclmlsin3940222 tmlFmkmcsin3940 令令mlFhmcmk00329，0即系統(tǒng)的固有頻率。即系統(tǒng)的固有頻率。當當 時時0kmclFlcFhb44320000質點質點(zhdin)(zhdin)的振幅的振幅kmcFlbB402222204)(

53、hb第80頁/共134頁第八十一頁，共134頁。使轉子發(fā)生激烈使轉子發(fā)生激烈(jli)(jli)振動的特定轉速臨界轉速。振動的特定轉速臨界轉速。單圓盤轉子：質量單圓盤轉子：質量m，質心為質心為C，圓盤與軸的交點為圓盤與軸的交點為A，偏心距為偏心距為eAC。圓盤角速度為圓盤角速度為 ，轉軸，轉軸彎曲偏離原來的固定軸線，點彎曲偏離原來的固定軸線，點O為為z軸與圓盤的交點，軸與圓盤的交點， 。 OArA設轉軸設轉軸(zhunzhu)(zhunzhu)安裝于圓盤的中點。安裝于圓盤的中點。圓盤慣性力：圓盤慣性力：OCmFI2彈性恢復力：彈性恢復力：AkrF 第81頁/共134頁第八十二頁，共134頁。0

54、mk2202erA)(22ermOCmkrAA22mkemrA使轉軸撓度異常增大的轉動角速度使轉軸撓度異常增大的轉動角速度臨界角速度臨界角速度。記為記為cr此時的轉速稱為此時的轉速稱為臨界轉速臨界轉速。記為記為crn第82頁/共134頁第八十三頁，共134頁。隔振分為主動隔振分為主動(zhdng)(zhdng)隔振和被動隔振兩類。隔振和被動隔振兩類。1.1.主動主動(zhdng)(zhdng)隔振隔振主動主動(zhdng)隔振是將振源與支持振源的基礎隔振是將振源與支持振源的基礎隔離開來。隔離開來。如圖所示為主動隔振的簡化模型。如圖所示為主動隔振的簡化模型。由振源產生的激振力由振源產生的激振力隔

55、振：隔振：將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼 元件進行隔離。元件進行隔離。減振：減振：使振動物體的振動減弱的措施。使振動物體的振動減弱的措施。tHtFsin)(第83頁/共134頁第八十四頁，共134頁。按有阻尼受迫振動按有阻尼受迫振動(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )的理論的理論物塊的振幅物塊的振幅(zhnf)(zhnf)為為222202222204)1 (4)(ssbhb彈簧變形彈簧變形(bin xng)(bin xng)而作用于基礎上的力而作用于基礎上的力)sin(etkbkxF通過阻尼元件作用于基礎的力通過阻尼元

56、件作用于基礎的力)cos(dtcbxcF這兩部分力相位差為這兩部分力相位差為9090, ,而頻率相同而頻率相同0s0crcckHhb200第84頁/共134頁第八十五頁，共134頁。它們可以合成為一個同頻率它們可以合成為一個同頻率(pnl)(pnl)的合力，合力的最大值為的合力，合力的最大值為222maxd2maxemaxN)()(cbkbFFF22maxN41skbF它與激振力的力幅它與激振力的力幅H之比為之比為222222maxN4)1 (41sssHF其中其中稱為稱為(chn(chn wi) wi)力的傳遞率力的傳遞率第85頁/共134頁第八十六頁，共134頁。在不同阻尼在不同阻尼(zn

57、)(zn)情況下傳遞率情況下傳遞率與頻率比與頻率比s s 之間的關系曲線之間的關系曲線第86頁/共134頁第八十七頁，共134頁。2.2.被動被動(bidng)(bidng)隔振隔振將需要防振的物體與振源隔開稱為將需要防振的物體與振源隔開稱為(chn wi)被動隔振。被動隔振。圖為被動隔振的簡化圖為被動隔振的簡化(jinhu)模型模型設地基振動為簡諧振動設地基振動為簡諧振動tdxsin1將引起擱置在其上物體的振動，將引起擱置在其上物體的振動，這種激振稱為這種激振稱為位移激振。位移激振。質點運動微分方程為質點運動微分方程為)()(11xxcxxkxm 第87頁/共134頁第八十八頁，共134頁。

58、11xckxkxxcxm 將將 的表達式代入的表達式代入1xtdctkdkxxcxmcossin )sin(tHkxxcxm 其中其中(qzhng)(qzhng)222ckdHkcarctan方程方程(fngchng)(fngchng)的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為)sin(tbx第88頁/共134頁第八十九頁，共134頁。2222222)(cmkckdb寫成綱量為寫成綱量為1 1的形式的形式(xngsh)(xngsh)2222224)1 (41sssdb其中其中 是振動物體的位移與地基激振動位移之比是振動物體的位移與地基激振動位移之比稱為稱為(chn(chn wi) wi)位移的傳

59、遞率位移的傳遞率第89頁/共134頁第九十頁，共134頁。求：汽車以速度求：汽車以速度v=45km/hv=45km/h勻速前進時，車體的垂勻速前進時，車體的垂 直振幅直振幅(zhnf)(zhnf)為多少？汽車的臨界速度為多少？為多少？汽車的臨界速度為多少？已知：如圖為一汽車在波形路面行走的力學模型，已知：如圖為一汽車在波形路面行走的力學模型，其中幅度的其中幅度的d=25mm，波長波長l=5m，汽車質汽車質量為量為m=3000kg，彈簧剛度系數為彈簧剛度系數為k=294kN/m，忽略阻尼。忽略阻尼。路面的波形用公式路面的波形用公式 表示，表示，12sinydxl第90頁/共134頁第九十一頁，共

60、134頁。解：解：xvt122sinsinvydxdtll令令 則則2vltdysin1其中其中相當于位移相當于位移(wiy)(wiy)激振頻率激振頻率x以汽車起始以汽車起始(q sh)(q sh)位置為坐標原點，路面波形方程可以寫為位置為坐標原點，路面波形方程可以寫為22 12.5m/s5rad/s5mvl系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)(xtng)的固有頻率為的固有頻率為rad/s9 . 9kg30001000N/m2940mk第91頁/共134頁第九十二頁，共134頁。激振頻率激振頻率(pnl)(pnl)與固有頻率與固有頻率(pnl)(pnl)的頻率的頻率(pnl)(pnl)比為比為59. 19 .