高考數(shù)學總復習專題2.6 導數(shù)（解析版）新課標試卷

1、專題2.6 導 數(shù)題組一、利用導數(shù)研究切線問題-試卷1-1、(2022·江蘇海安中學期初)(12分)已知函數(shù)f(x)e，g(x)lnx1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當x0時，求證：f(x)g(x)2；(2)是否存在直線與函數(shù)yf(x)及yg(x)的圖象均相切?若存在，這樣的直線最多有幾條?并給出證明若不存在，請說明理由【解析】(1)設h(x)f(x)g(x)2elnx1，x0，h(x)e，因為yh(x)在(0，¥)為增函數(shù)，且h(1)0，所以x(0，1)，h(x)0，h(x)為減函數(shù)，x(1，¥)，h(x)0 ，h(x)為增函數(shù).所以h(x)minh(1)e0l

2、n110，所以h(x)0，即證f(x)g(x)2.(2)設直線與yf(x)切于，與yg(x)切于，.，所以切線為.因為，即，即.又因為，將，代入，得：，整理得.設，因為在(0，¥)為增函數(shù)，且x1時，y0，所以x(0，1)，k(x)0，k(x)為減函數(shù)，x(1，¥)，k(x)0 ，k(x)為增函數(shù).k(x)mink(1)20，又因為，所以在(0，¥)上有兩個零點，即方程有兩個根，所以有兩條直線與函數(shù)yf(x)及yg(x)的圖象均相切.1-2、【2022·廣東省深圳市福田中學10月月考】已知函數(shù)在處取得極大值1.（1）求函數(shù)的圖象在處切線的方程；（2）若函

3、數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，由題意可得解得，所以；經(jīng)檢驗，適合題意，又，所以函數(shù)圖象在處切線的方程為，即.（2）因為，令，得或.當時，函數(shù)增函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，當時，函數(shù)為增函數(shù).因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以或，所以或.題組二、利用導數(shù)解證不等式 2-1、(2022·蘇州期初考試-)(本小題滿分12分)已知函數(shù)，aR(1)若函數(shù)yf(x)在xx0處取得極值1，其中l(wèi)n2x0ln3證明：2a3；(2)若f(x)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【解析】(1)由題知f(x)函數(shù)yf(x)在xx0處取得極值1，f(x0)0，且f(x0)1，alnx0ax0e，ae， 2

4、分令r(x)e(x0)，則r(x)e0，r(x)為增函數(shù)，0ln2x0ln3，r(ln2)ar(ln3)，即23成立 4分(2)不等式f(x)x恒成立，即不等式xexlnxax1恒成立，即aex恒成立，令g(x)ex，則g(x)ex， 6分令h(x)x2exlnx，則h(x)(x22x)ex，x0，h(x)0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)e1； h()ln20，h(x)有唯一零點x1，且x11 8分當x(0，x1)時，h(x)0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當x(x1，¥)時，h(x)0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增g(x)ming(x1)，ae， 9分由h(x1)0整

5、理得x1ex11，lnx10，令k(x)xex(x0)，則方程x1e等價于k(x1)k(lnx1)，而k(x)(x1)ex在(0，)上恒大于零，k(x)在(0，)上單調(diào)遞增，k(x1)k(lnx1)，x1lnx1，e， 11分g(x1)e1，a1，實數(shù)a的取值范圍為(，1 12分2-2、(2022·湖南省長郡中學開學考試-)（12分）已知函數(shù)f（x）ex+ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）若關于x的不等式mf（x）ex+m1在（0，+）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）已知正數(shù)a滿足：存在x01，+），使得f（x0）a（x03+3x0）成立，試比較

6、ea1與ae1的大小，并證明你的結(jié)論【解答】（1）解：f（x）為定義域上的偶函數(shù)證明：f（x）ex+ex的定義域為R，f（x）ex+exf（x），f（x）為定義域上的偶函數(shù)；（2）解：若關于x的不等式mf（x）ex+m1在（0，+）上恒成立，即m（ex+ex1）ex1在（0，+）上恒成立，x0，ex+ex10，即m在（0，+）上恒成立，設tex（t1），則m在（1，+）上恒成立當且僅當t2時上式等號成立m；（3）解：令g（x）ex+exa（x3+3x）則g（x）exex+3a（x21），當x1時，g（x）0，即g（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，故此時g（x）的最小值g（1）e+由于存在x01，+

7、），使得f（x0）a（x03+3x0）成立，故e+0，即a（e+）令h（x）x（e1）lnx1，h（x）1，由h（x）10，解得xe1當0xe1時，h（x）0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當xe1時，h（x）0，此時函數(shù)單調(diào)遞增h（x）在（0，+）上的最小值為h（e1）注意到h（0）h（1）0，當x（1，e1）（0，e1）時，h（e1）h（x）h（1）0x（e1，e）（e1，+）時，h（x）h（e）0h（x）0對任意x（1，e）成立a（，e）（1，e）時，h（a）0，即a1（e1）lna，從而ea1ae1；ae時，ea1ae1；a（e，+）（e1，+）時，h（a）h（e）0，即a1（e1）lna，從而e

8、a1ae12-3、(2022·江蘇揚州中學高三10月月考)設函數(shù)，其中（1）若，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）若，（）證明：函數(shù)恰有兩個零點；（）設為函數(shù)的極值點，為函數(shù)的零點，且，證明：【詳解】（1）由題設，且，則，在上單調(diào)遞增.（2）（）由，令，又，知：在上遞減，又，在上有唯一零點，即在上唯一零點，設零點為，則，遞增；，遞減；是唯一極值點，且為極大值，令且，則，故在上遞減，即，又，在、都有一個唯一零點，故恰有兩個零點；（）由題意，則，即，當時，又，則，即，得證.2-4、【2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月】已知.（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；（2）當時，若存在

9、正數(shù)，滿足，求證：.【解析】（1）.，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，在,上單調(diào)遞減，的最大值為； 當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，的最大值為綜上， （2），即， 令， ，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，即有，因為，所以.題組三、利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題-試卷3-1、(2022·江蘇第一次百校聯(lián)考)(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)lnx(aR)有兩個零點(1)證明：0a(2)若f(x)的兩個零點為x1，x2，且x1x2，證明：2ax1x21【解析】(1)證明：由f(x)lnx，x0可得f(x)，x0 1分當a0時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞

10、增，與題意不符當a0時，令f(x)0，得xa當x(0，a)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x(a)時f(x)0，f(x)單調(diào)遞增可得當xa時，f(x)取得極小值f(a)lna1 3分又因為函數(shù)有兩個零點，所以f(a)lna10，可得a，綜上，0a 4分(2)解：由上可得f(x)的極小值點為xa，則0x1ax2設g(x)f(2ax)f(x)ln(2ax)lnxx(0，a) 5分可得g(x)0，x(0，a)所以g(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(a)0即f(2ax)f(x)0，則f(2ax)f(x)，x(0，a)所以當0x1ax2時，2axa，且f(2ax1)f(x1)f(x2)，

11、因為當x(a，)時，f(x)單調(diào)遞增，所以2ax1x2，即x1x22a7分設x2tx1，t1，則則，即lnx1tlnx2tlntx1t(lnx1lnt)所以lnx1 8分所以ln(x1x2)lnx1(t1)lnx1ln(t1)ln(t1)t()10分-又因為，則g(t)0，所以g(t)在(1)上單調(diào)遞減，所以，所以ln(x1x2)0，即x1x21綜上，2ax1x21 12分3-2、(2022·沭陽如東中學期初考試-)(12分)已知函數(shù)f(x)(x2ax)lnxx2ax(1)討論函數(shù)f(x)的極值點；(2)若f(x)極大值大于1，求a的取值范圍【解析】f(x)(1)當a0時，f(x)在

12、(0，)上單調(diào)遞減，在(，¥)上單調(diào)遞增，極小值點為x；當0a時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減，在(，¥)上單調(diào)遞增，極小值點為x，極大值點為xa；當a時，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，無極值點；當a時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，極小值點為xa，極大值點為x 6分(2)由(1)知，a0和a時，無極大值，則不成立當a時，極大值f()a1，解得a，由于(1)0，所以a當0a時，極大值f(a)a2(2lna)1，得2lna令ta2，則g(t)2lnt，0te，g(t)，所以g(t)在(0，e)上單調(diào)遞增，而g(

13、1)0，所以g(t)0的解為(1，e)，則a(1，)，所以a的取值范圍為(1，)(，¥) 12分3-3、(2022·江蘇鎮(zhèn)江中學高三10月月考)已知函數(shù).（1）當時，求的最值；（2）當時，記函數(shù)的兩個極值點為，且，求的最大值.【解析】【分析】（1）當時，函數(shù)，求出函數(shù)的導函數(shù)，令，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值；（2）當時，求出導函數(shù)，由函數(shù)有兩個極值點，可知，是方程的兩個不等實根，由韋達定理可得，因此，令，則，依題意可得，則令，利用導數(shù)說明其最值即可；【詳解】解：（1）當時，函數(shù)的定義域為，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值.（2）當時，.

14、因為，是方程的兩個不等實根，所以，因此.令，則，因為，所以.令，則，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故.即的最大值為.3-4、【2022·廣東省廣州市10月調(diào)研】已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，設為的導函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，求證：【解析】【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的正負性，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)零點的定義，結(jié)合指數(shù)的運算法則，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)進行證明即可.【詳解】（1）由，可得，當時，函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，當時，令，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述：當時，函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單

15、調(diào)遞減；（2）由（1）可知：當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最小值，最小值為：，因為函數(shù)有兩個不同的零點，不妨設，因為當時，當時，所以有，即，因為函數(shù)有兩個不同的零點，所以，因此令，構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，因此，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故有，而，所以.3-5、(2022·江蘇省第一次大聯(lián)考)(12分)已知函數(shù)f(x)axlnx其導函數(shù)為f(x)(1)當a2時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍【解析】(1)因為f(x)axlnxx2ax，所以f(x)alnxx，設g(x)f(x)alnxx當a2時，g(x)2lnxx，g(x) 2分

16、當x(0，2)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當x(2，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)maxf(x)maxg(2)2ln22 4分(2)因為g(x)f(x)alnxx，所以g(x)當a0時，g(x)0，則g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，此時g(x)至多1個零點，f(x)至多1個極值點，不合題意 5分當a0時，當x(0，a)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當x(a，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)g(a)a(lna1)， 7分當0ae，則g(x)g(a)0，g(x)至多1個零點，f(x)至多1個極值點，不合題意 8分當ae時，因為g(1)10，g(a)a(ln

17、a1)0，且g(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，所以存在唯一x1(1，a)，使得g(x1)0 9分由(1)可知，g(x)2lnxx在(e，)單調(diào)遞減，所以g(x)g(e)2e0，所以g(a2)a(2lnaa)0，又因為g(a)0，且g(x)在(a，a2)上單調(diào)遞減，所以存在唯一x2(a，a2)使得g(x2)0列表如下：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，¥)f(x)00f(x)減極小增極大減此時滿足題意綜上可知，ae 12分題組四、利用導數(shù)解決不等式恒（能）成立與探索性問題-試卷4-1、(2022·南京9月學情【零模】)(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)(x2a)ex，

18、aR，e是自然對數(shù)的底數(shù)(1)若a3，求函數(shù)f(x)的極值；(2)當x0時，f(x)xa0，求a的取值范圍【解析】(1)當a3時，f(x)(x23)ex，f(x)(x1)(x3)ex2分令f(x)0，解得x3或1當x(，3)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當x(3，1)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，因此，當x3時，f(x)取到極大值f(3)6；當x1時，f(x)取到極小值f(1)2e5分(2)設g(x)f(x)xa(x2a)exxa，則g(x)(x22xa)ex1，g(x)(x24x2a)ex當a1時，當x0時，g(x)0，因此g(x)在0，

19、)上單調(diào)遞增，于是g(x)g(0)1a0，因此g(x)在0，)上單調(diào)遞增從而g(x)g(0)0，即a1符合題意8分當1a2時，當x0時，g(x)0，因此g(x)在0，)上單調(diào)遞增，又g(0)1a0，g(1)(3a)e10且g(x)在0，)上不間斷，因此g(x)在0，)上存在唯一的零點x0，且x0(0，1) 當0xx0時，g(x)g(x0)0，g(x)單調(diào)遞減，于是g(x0)g(0)0，不合題意10分-當a2時，當0x2時，g(x)(x24x2a)ex0，g(x)單調(diào)遞減，此時g(x)g(0)1a0，g(x)單調(diào)遞減，因此g(2)g(0)0，不合題意綜上可知a1，即a(，112分4-2、(202

20、2·泰州中學期初考試-)(12分)已知函數(shù)(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)已知時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)2exx2，f(x)2ex1，f（1）2e1，即曲線yf(x)在x1處的切線的斜率k2e1，又f（1）2e3，故所求的切線方程是y（2e1）x2(2)當x0時，若不等式f(x)0恒成立f(x)min0易知f(x)2exa若a0，則f(x)0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增；又f（0）0，當x0，+）時，f(x)f（0）0，符合題意若 a0，由f(x)0，解得xln則當時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增x時，

21、函數(shù)f(x)取得最小值當，即0a2時，當x0，+）時，f(x)f（0）0，符合題意當，即a2時，當時，f(x)單調(diào)遞增，f(x)f（0）0，不符合題意綜上，實數(shù)a的取值范圍是（，24-3、(2022·江蘇南京市二十九中學高三10月月考)（1）已知函數(shù).證明：恰有兩個極值點；若，求的取值范圍.（2）若時，關于的不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）2e【解析】【分析】（1）求導得，則，進而可得，推出的單調(diào)性，進而可得，則存在唯一使得，分析的單調(diào)性，進而可得極值個數(shù)令，求出函數(shù)的導函數(shù)，再對分類討論，即可得得取值范圍（2）令，對求導，分，兩種情況，求出的取值范圍；【詳解】解：（1）證明：，所以，所以，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，所以存在唯一使得，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以有2個極值點令，