計算固體計算力學-第三章材料非線性問題-1

1、計算固體計算力學計算固體計算力學 1計算固體計算力學計算固體計算力學 2第三章第三章 材料非線性問題及其有限元求解材料非線性問題及其有限元求解 材料彈塑性本構關系材料彈塑性本構關系 塑性力學中的變分原理塑性力學中的變分原理 彈塑性增量有限元分析彈塑性增量有限元分析 彈塑性全量有限元分析彈塑性全量有限元分析參考書籍：參考書籍：1. 非線性固體計算力學非線性固體計算力學，宋天霞等著，宋天霞等著2. 有限元素法中的變分原理基礎有限元素法中的變分原理基礎，王生楠編，王生楠編計算固體計算力學計算固體計算力學 33.1 3.1 點的應力狀態(tài)及應力張量點的應力狀態(tài)及應力張量1.1.任一點的應力狀態(tài)任一點的應

2、力狀態(tài)斜面上的應力斜面上的應力計算固體計算力學計算固體計算力學 4 一點的應力狀態(tài)由九個分量組成，這些分量在一點的應力狀態(tài)由九個分量組成，這些分量在坐標系變換時符合二階張量的定義，故由這九個坐標系變換時符合二階張量的定義，故由這九個應力分量組成一個二階張量，稱為應力張量。應力分量組成一個二階張量，稱為應力張量。計算固體計算力學計算固體計算力學 52.2.應力張量不變量應力張量不變量 如果物體上某點的如果物體上某點的l方向為合應力方向，且無剪方向為合應力方向，且無剪應力，則稱以應力，則稱以l為法向的平面為主平面，該法向稱為法向的平面為主平面，該法向稱為主方向，正應力為主方向，正應力 稱為主應力。

3、稱為主應力。l計算固體計算力學計算固體計算力學 6計算固體計算力學計算固體計算力學 71I2I3I應力張量不變量應力張量不變量計算固體計算力學計算固體計算力學 8主剪應力主剪應力計算固體計算力學計算固體計算力學 93.2 3.2 偏應力張量偏應力張量應力張量分解應力張量分解計算固體計算力學計算固體計算力學 103.2 3.2 偏應力張量偏應力張量應力張量分解應力張量分解計算固體計算力學計算固體計算力學 113.2 3.2 偏應力張量偏應力張量式中：式中：113I這里，這里， 是不變量，即是不變量，即 對所有可能的坐標軸向?qū)λ锌赡艿淖鴺溯S向都是相同的。因此，都是相同的。因此， 稱作靜水應力。稱

4、作靜水應力。1Imm計算固體計算力學計算固體計算力學 123.2 3.2 偏應力張量偏應力張量 靜水應力張量，也稱為應力球張量，代表靜水應力張量，也稱為應力球張量，代表一個均勻應力狀態(tài)，與此應力狀態(tài)對應的變形是一個均勻應力狀態(tài)，與此應力狀態(tài)對應的變形是彈性的體積改變，而無形狀改變。彈性的體積改變，而無形狀改變。mij 應力偏張量，代表一個實際的應力狀態(tài)偏離應力偏張量，代表一個實際的應力狀態(tài)偏離均勻應力狀態(tài)的程度，此應力狀態(tài)將只產(chǎn)生材料均勻應力狀態(tài)的程度，此應力狀態(tài)將只產(chǎn)生材料的形狀改變，而無體積變形。的形狀改變，而無體積變形。ijS計算固體計算力學計算固體計算力學 13用用 、 、 代替應力張

5、量三個不代替應力張量三個不變量表達式中變量表達式中 、 、 的就可以得到應力偏張量的就可以得到應力偏張量的三個不變量，且其主方向與應力張量的主方向的三個不變量，且其主方向與應力張量的主方向一致。一致。xmymzmyxz計算固體計算力學計算固體計算力學 14計算固體計算力學計算固體計算力學 153.3 3.3 應變張量及其分解應變張量及其分解一、應變與位移的關系一、應變與位移的關系1 1、小變形情況、小變形情況12,iji jj iuu2 2、大變形（有限變形）情況、大變形（有限變形）情況 設變形前的初始時刻設變形前的初始時刻t=0，物體內(nèi)，物體內(nèi)A點的坐標點的坐標為為ai(a1,a2,a3)，

6、經(jīng)過變形后，在，經(jīng)過變形后，在t時刻它移到時刻它移到A。相對于同一坐標系的坐標為相對于同一坐標系的坐標為xi(x1,x2,x3)變形前后變形前后的位置一一對應，可由的位置一一對應，可由xi的單值連續(xù)函數(shù)表示的單值連續(xù)函數(shù)表示xi=xi(aj, t)。同樣也可以表示為。同樣也可以表示為ai的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)ai=ai(xj, t)。計算固體計算力學計算固體計算力學 163.3 3.3 應變張量及其分解應變張量及其分解 在連續(xù)介質(zhì)力學中，以物體的初始坐標為自在連續(xù)介質(zhì)力學中，以物體的初始坐標為自變量的描述法變量的描述法Lagrange方法；以變形后坐標（瞬方法；以變形后坐標（瞬時坐標）為

7、自變量的描述法為時坐標）為自變量的描述法為Euler方法。如采用方法。如采用后者后者12,iji jj ik ik juuu u 當小變形時，略去高階微量，上式和小變形當小變形時，略去高階微量，上式和小變形時的幾何方程完全等價時的幾何方程完全等價。計算固體計算力學計算固體計算力學 173.3 3.3 應變張量及其分解應變張量及其分解二、應變張量的分解二、應變張量的分解計算固體計算力學計算固體計算力學 183.3 3.3 應變張量及其分解應變張量及其分解計算固體計算力學計算固體計算力學 193.3 3.3 應變張量及其分解應變張量及其分解 應變球張量具有各方向相同的正應變，與彈性的應變球張量具有

8、各方向相同的正應變，與彈性的體積改變部分有關；應變偏張量的三個主應變之和為體積改變部分有關；應變偏張量的三個主應變之和為零，說明它沒有體積變形，只反映形狀改變部分。零，說明它沒有體積變形，只反映形狀改變部分。計算固體計算力學計算固體計算力學 20 在分析復雜應力狀態(tài)的塑性變形規(guī)律之前，我們先來觀察一下大家所熟知的簡單拉伸實驗。3.4 3.4 簡單拉伸時的塑性現(xiàn)象簡單拉伸時的塑性現(xiàn)象1 1 簡單拉伸實驗簡單拉伸實驗- 假定所用的材料具有彈塑性現(xiàn)象，是各向同性的，對拉伸和壓縮具有相同的力學性質(zhì)，即對于初始材料，先拉或先壓，其力學性能是相同的。 從實驗結果可以繪出其- 曲線計算固體計算力學計算固體計

9、算力學 21 從實驗結果可以繪出其- 曲線- 如圖所示：它是忽略了一些次耍的因素而稍加理想化了的應力應力- -應變應變曲線圖，但反映了常溫、靜載下，材料在受力過程中應力-應變關系的基本面貌，顯示了材料固有力學性能，從這里我們可以看到：（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點以前，應力和應變 成直線關系：彈性模量計算固體計算力學計算固體計算力學 22（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點以前，應力和應變 成直線關系：彈性模量由于超過A點以后，就不再保持上述的比例關系，所以與A A點相應的應力叫材料的比例極限 。如果在A點以前將荷載逐漸消除，變形即跟著完全消失，所以在OA段內(nèi)僅有

10、彈性變形。計算固體計算力學計算固體計算力學 23（2）當荷載繼續(xù)增加，此時變形的增長比在A A點之前點之前稍大，但在未超過B B點以點以前，變形仍是可以恢復的。所以將與B B點點相應的應力叫做材料的彈性極限 。它表示材料不致產(chǎn)生殘余變形的最大應力值。(3) 繼續(xù)加載達到達到C C點點時，變形增長得較快。過過C C點后點后，在幾乎不增加荷載的情況下，變形會繼續(xù)迅速增加。這時，發(fā)生了顯著的殘余變形，材料達材料達到屈服階段到屈服階段。與C C點相應點相應的應力就稱為材料的屈服極限 。 計算固體計算力學計算固體計算力學 24 像軟鋼一類材料具有明顯的屈服階段， -e 曲線在這時有一個明顯的平緩的部分(

11、下左圖所示)。 但有些材料(如鋁合金）沒有明顯的屈服階段(下右圖)。在工程上往往以殘余變形達0.2%時作為塑性變形的開始，其相應的應力 作為材料的屈服應力.ooo HDH.bABCD由于-般材料的比例極限、彈性極限和屈服極限相差不大，為了方便，通常不加區(qū)分。我們以后都用 ，并稱為屈服應力。0.2 0.20.2% 計算固體計算力學計算固體計算力學 25- - 由于材料是各向同性的，如果開始不做拉伸實驗，而做壓縮實開始不做拉伸實驗，而做壓縮實驗驗，則壓縮應力-應變曲線將和拉伸時的曲線一樣。- 初始彈性階段：初始彈性階段：這樣，我們可以認為材料在應力到達屈服極限 ，以前（ ）是彈性的，應力與應變成正

12、比，即服從Hooke 定律 ，這個階段稱為初始彈性階段初始彈性階段。- 初始屈服點：初始屈服點：曲線上和 相應的點是初始彈性階段的界限，超過此界限以后材料就進入塑性階段了，所以把它稱為初始屈服點。- 材料由初始彈性階段進入塑性的過程就稱為初始屈服材料由初始彈性階段進入塑性的過程就稱為初始屈服。計算固體計算力學計算固體計算力學 26（4）當材料屈服到一定程度時，它的內(nèi)部結構因為晶體排列的位置在改變后又重新得到調(diào)整，使它又重新或得了繼續(xù)抵抗外載的能力。-應變硬化應變硬化：在繼續(xù)加載后，曲線在屈服后繼續(xù)上升，這就說明材料在屈服以后，必須繼續(xù)增大應力才能使它產(chǎn)生新的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為應變硬化或加工

13、硬化，簡稱為硬化硬化。這個變形階段稱為硬化階段硬化階段。-應變軟化應變軟化：當曲線到達最高點最高點E E時，荷載達到最大值，此時，由于頸縮現(xiàn)象的出現(xiàn)，在E點以后荷載開始下降，直至斷裂。這這種應力降低、應變增加的現(xiàn)象稱為應變軟化種應力降低、應變增加的現(xiàn)象稱為應變軟化，簡稱為軟化。和E點相應的應力就稱為強度極限 。計算固體計算力學計算固體計算力學 27（5）如果將試件拉伸到塑性階段的某點，例如D點，以后逐漸減小應力，即卸載，則-e 曲線將沿著大致與OA 平行的直線 下降。在全部卸除荷載之后，留下殘余變形 。 表示全應變e， 是可以恢復的應變即彈性應變 是不能恢復的應變，即塑性應變 ，則：即全應變等

14、于彈性應變加上塑性全應變等于彈性應變加上塑性應變應變。-若在卸載后重新加載，曲線基本上仍沿 上升至D時又開始產(chǎn)生新的塑性變形，好像又進入了新的屈服，然后順著原來的DE 線上升，就像未曾卸載一樣。（2-1）計算固體計算力學計算固體計算力學 28-后繼屈服后繼屈服：為了與初始屈服相區(qū)別，繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時材料的再度屈服稱為繼續(xù)屈服或后繼屈服繼續(xù)屈服或后繼屈服，相應的屈服點屈服點D D稱為后繼屈服點。相應的屈服應力：屈服應力： 稱為后繼屈服應力后繼屈服應力。-由于硬化作用，使材料的后繼屈服極限比初始屈服極限提高了，即 而且和 不同， 不是材料常數(shù)，它的大小是和塑性變形的大小和歷史有關的。計算固體

15、計算力學計算固體計算力學 29- 這個效應說明對先給出某方向的塑性變形的材料，如再加上反方向的荷載，和先前相比，抵抗變形的能力減小， 即一個方向的硬化引起相反方向的軟化。這樣，即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形以后，就帶各向異性。雖然多數(shù)情況下為了筒化而不考慮Bauschinger 效應，但對有反復加載的情況必須予以考慮。（6 6）BauschingerBauschinger效應效應：如果在完全卸載后施加相反方向的應力，譬如由拉改為壓力，則曲線沿 的延長線下降，即開始是成直線關系（彈性變形)，但至一定程度( 點)又開始進入屈服，并有反方向應力的屈服極限降低的現(xiàn)象 ，這種現(xiàn)象稱為：Baus

16、chinger (Bauschinger (包辛格）效應。包辛格）效應。 計算固體計算力學計算固體計算力學 30-后繼彈性階段：后繼彈性階段：卸載的過程中，從D到 ，雖然也是線性關系，應服從Hooke定律，但不能寫成全量形式，而應寫成增量關系 ，這是因為全應變中有一部分是塑性應變，并不服從彈性定律。這個變形階段稱為后繼彈性階段后繼彈性階段，后繼屈服點就是它的界限點，且這種界限點的位置是隨塑性變形的大小和歷史而改變的。計算固體計算力學計算固體計算力學 31-從這個簡單拉伸實驗所觀察到的現(xiàn)象可以知道，和彈性階段不同，塑性的變形規(guī)律即本構關系應具有以下幾個重要的特點：(1) 首先要有一個判斷材料是處

17、于彈性階段還是已進入塑性階段的判斷式，即屈服條件，對簡單拉伸或壓縮應為狀態(tài)。這個判別式為：初始屈服條件：初始屈服條件： 后繼屈服條件：后繼屈服條件： 是常數(shù)，而 的大小由塑性變形的大小和歷史所決定，它們都是取絕對值。 (2) 應力和應變之間是非線性關系。計算固體計算力學計算固體計算力學 32(3) 應力和應變之間不存在彈性階段那樣的單值關系，因為加載和卸載是分別服從不同的規(guī)律。這一點又決定了它和非線性彈性問題不同。- 在單向拉伸或壓縮應力狀態(tài)下，這些關系可表示為：彈性階段：彈性階段：（當 時） 彈塑性階段：彈塑性階段：（當 時）加載加載 （ ）， （非線性關系非線性關系）卸載卸載（ ）， （線

18、性關系線性關系）計算固體計算力學計算固體計算力學 33因為加載和卸載時服從不同的規(guī)律，因此，如不指明變形路徑（歷史）是不能由應力確定應變（右圖）或由應變確定應力（左圖） 加載加載 （ ）， （非線性關系非線性關系）卸載卸載（ ）， （線性關系線性關系） 同一應力對應不同的應變同一應變對應不同的應力計算固體計算力學計算固體計算力學 34- 由此可知，塑性變形的規(guī)律遠比彈性變形的規(guī)律復雜得多，它是一個非線性的、加載與卸載不同的復雜關系，這就決定了塑性力學遠比彈性力學復雜。- 所以，在塑性力學中，為了能使復雜的問題得到解決，常常不得不引進一些恰當?shù)募僭O，使問題得到合理的解決。- 在確定力學模型時，要

19、特別注意使所選取的力學模型必須符合材料的實際情況，只有這樣才能使計算結果反映結構或構件中的真實應力及應力狀況。- 另一方面，要注意所選取的力學模型的數(shù)學表達式應該足夠簡單，以便在求解具體問題時，不出現(xiàn)過大的數(shù)學上的困難。計算固體計算力學計算固體計算力學 35(1) (1) 理想彈性力學模型理想彈性力學模型 E v符合材料的實際情況。v數(shù)學表達式足夠簡單。2.2.力學模型的要求：力學模型的要求： e彈性變形：應力與應變之間是一種線性關系, 應力和應變關系的數(shù)學表達式:在此階段中，外載荷引起的應力，應變和位移，與加載次序和歷史無關。在除去外載后，物體完全恢復到初始狀態(tài)，而且在物體中沒有任何殘余應力

20、和殘余變形。計算固體計算力學計算固體計算力學 36(2) (2) 理想彈塑性力學模型理想彈塑性力學模型 e s s s s sssE 彈性變形階段彈性變形階段(OA):(OA): 應力與應變(線性關系)塑性變形階段塑性變形階段(AB)(AB)：材料進入塑性狀態(tài)后，如不考慮材料的強化性質(zhì)，則可得到如圖所示的理想彈塑性模型。A AB B計算固體計算力學計算固體計算力學 37(3) (3) 線性強化彈塑性力學模型線性強化彈塑性力學模型 ssssEE )(1 s sEE1當考慮材料的強化性質(zhì)時，可采用線性強化彈塑性力學模型圖中有兩條直線，OA 和 AB，其解析表達式為：o oA AB B式中， E 及

21、 E1 分別為線段OA及AB 的斜率由于由于 OA OA 和和 ABAB是兩條直線，也稱雙線性強化模型是兩條直線，也稱雙線性強化模型。 s s計算復雜計算固體計算力學計算固體計算力學 38s s=1=1（4 4） 冪強化力學模型冪強化力學模型nA n：強化指數(shù)：0 n 1An=1n=0為了避免解析式在 處的變化，有時可以采用幕強化力學模型上式所代表的曲線在 =0處與軸相切，而且有下列公式： =A 當當 n = 1，（a） =A 當當 n = 0，（b）(a)式代表理想彈性模型，若將式中的A用彈性模量E代替，則為胡克定律的表達式。而式(b)的A 用s代替。則為理想塑性(或稱剛塑性)力學模型。通過

22、求解式(a)和(b)則可得= 1，即這兩條線在=1 處相交便于分析參數(shù)少計算固體計算力學計算固體計算力學 39（6 6） 線性強化剛塑性力學模型線性強化剛塑性力學模型 1Es s s （剛塑性力學模型）（5 5） 理想塑性力學模型理想塑性力學模型s E1 s s在許多實際工程問題中，彈性應變比塑性應變小得多，因而可以忽略彈性應變，若不考慮強化效應，則稱這種模型為剛塑性力學模型。這一模型假設:在應力到達屈服極限之前應變?yōu)榱?。線段AB 平行于軸，卸載線平行于軸。卸載線平行于軸。分析計算容易A AB BA AB B計算固體計算力學計算固體計算力學 40在塑性力學中，剛塑性力學模型具有重要意義。在塑性

23、成形理論中的許多情況下，塑性應變一般都比彈性應變大得多，所以忽略彈性應變而只考慮塑性應變是合理的，對總體的計算結果影響不大。采用剛塑性力學模型給數(shù)學計算帶來較大的簡化。使許多復雜問題能獲得完整的解析表達式。在以上所提及的幾種力學模型中，理想彈塑性、冪強化及理想剛塑性力學模型應用最為廣泛。計算固體計算力學計算固體計算力學 413.5 屈服條件 屈服函數(shù) 屈服面1、定義屈服：屈服面：初始屈服條件后繼屈服條件破壞條件屈服條件：物體內(nèi)一點開始產(chǎn)生塑性變形時其應力狀態(tài)所應滿足的條件屈服條件的幾何曲面初始屈服面加載面破壞面彈性進入塑性計算固體計算力學計算固體計算力學 422、屈服函數(shù)屈服條件的數(shù)學表達0)

24、(ijf應力狀態(tài)函數(shù)f簡單拉伸：0)(sijsf純剪切：0)(sijsf一般應力狀態(tài)：0),()(xzyzxyzyxijff0),(),(321321ffii各向同性0),(0),()(321321JJJfffi或0) , (32JJf靜水壓力不影響塑性變形計算固體計算力學計算固體計算力學 43 3、屈服面與屈服曲線屈服面狹義：初始屈服函數(shù)的幾何曲面 廣義：屈服函數(shù)的幾何曲面（加載面）一個空間屈服面可以采用平面上的屈服曲線表達4、屈服面的性質(zhì)垂直于平面的柱面- -屈服面：屈服面：在應力空間中，將實驗所得各種應力狀態(tài)下初始屈服時的應力點連起來構成一個空間曲面，即屈服面。計算固體計算力學計算固體計

25、算力學 44屈服面在平面上的投影在每300分割段中都具有相似性（a）關于 對稱321、說明：材料各向同性，若 在屈服面上，則 也在屈服面上)(321、)(231、（b）關于 對稱321、說明：不考慮鮑辛格效應，若 在屈服面上，則 也在屈服面上)(321、)(321、屈服曲線是封閉的包含原點的曲線；說明：坐標原點處于零應力狀態(tài)，材料不可能在無應力的情況下屈服，所以原點應在屈服線內(nèi)。屈服曲線是彈性狀態(tài)的界限線，如果不封閉，則表示某些應力狀態(tài)永遠處于彈性狀態(tài)，顯然不可能。從坐標原點作任一徑向線必與屈服軌跡相交有且只有一次。計算固體計算力學計算固體計算力學 453.6 Tresca屈服條件和Mises

26、屈服條件一、 Tresca屈服條件131max2k66 , 0cos12kJ131312cos2cos)(22krrx22Jr 又，則、規(guī)定321) 1 ( Tresca (1864) 假設當最大剪應力達到某一極限值k時，材料發(fā)生屈服：1maxk用 表示屈服函數(shù)2J計算固體計算力學計算固體計算力學 46平面123的順序，則、不規(guī)定321)2(132121131222kkkx66 , 0cos12kJ主應力空間計算固體計算力學計算固體計算力學 47Tresca屈服柱被 平面所截后得到的圖形。03，則、當0)3(31211211222kkk計算固體計算力學計算固體計算力學 48k的試驗確定： 純剪

27、切試驗：ss321, 0,s，k1故ss31321, 0,2/1s，k故 簡單拉伸試驗：若材料滿足Tresca屈服條件，則：ss2計算固體計算力學計算固體計算力學 49二、 Mises屈服條件 Tresca屈服條件有以下問題：沒考慮中間主應力的影響；當應力處在屈服面的棱線上時，處理會遇到數(shù)學上的困難；主應力大小未知時，屈服條件十分復雜。因此， Mises(1913)提出了另一個屈服條件：應力偏張量的第二不變量達到某一定值時，材料就屈服。22213232221234)()()(61kJ、由等效應力 可得到用等效應力表示的Mises條件：32J22k說明：計算固體計算力學計算固體計算力學 50、屈

28、服面的形狀22213232221234)()()(61kJconstkkJr2222383422Mises屈服條件在平面上的一個圓，在應力空間是一個圓柱體。計算固體計算力學計算固體計算力學 51sskkJ2134322222sskkJ233422222、 k的試驗確定：簡單拉伸試驗：純剪切試驗：若材料滿足Mises屈服條件，則：ss232，則當03、計算固體計算力學計算固體計算力學 52、Mises條件的物理解釋：根據(jù)彈性理論，形狀改變比能 ：GkkGJGJEEWd32342121)1 ()()()(6)1 (22222221323222122228322343232kkJ2223kJ所以Mi

29、ses的物理解釋：當形狀改變比能或者八面體上的剪應力或者等效應力（應力強度）達到某一極限值時，材料才開始屈服。計算固體計算力學計算固體計算力學 53、 平面，Tresca屈服條件與Mises屈服條件的關系：規(guī)定拉伸時一致：Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓222)(22,2s1311條件下：kxTrescakssssskJrMisesk322138382:21222條件下，sssxr22233230cos0計算固體計算力學計算固體計算力學 54規(guī)定剪切時一致：Tresca六邊形 外切于Mises圓。ssskxTrescak22)(22,1311條件下：ssskJrMisesk22338382

30、:23222條件下，sxr s s 1s s 2s s 30 0322kxy計算固體計算力學計算固體計算力學 55三、比較兩屈服準則的區(qū)別：、Tresca屈服條件說明屈服只決定于最大最小主應力； Mises屈服條件考慮了中間應力，說明屈服條件和三個主應力都有關系；、Tresca條件下 ss2ss232Mises條件下試驗表明，一般材料ss)6 . 056. 0(所以Mises條件更切實際。、Mises條件與主應力有關，說明中間中主應力對屈服有影響，但在已知主方向和主應力大小順序時，Tresca條件更方便些。計算固體計算力學計算固體計算力學 563.7 塑性本構關系塑性本構關系 本節(jié)主要討論應力

31、點處于屈服面上，本節(jié)主要討論應力點處于屈服面上，材料處于塑性狀態(tài)，此時應力分量和應變材料處于塑性狀態(tài)，此時應力分量和應變分量所要滿足的關系分量所要滿足的關系塑性本構關系塑性本構關系。計算固體計算力學計算固體計算力學 57一、建立塑性本構關系的基本要素一、建立塑性本構關系的基本要素描述塑性變形規(guī)律的理論可分為兩大類：描述塑性變形規(guī)律的理論可分為兩大類：一類理論認為在塑性狀態(tài)下仍是應力和應變?nèi)恐g的關系一類理論認為在塑性狀態(tài)下仍是應力和應變?nèi)恐g的關系即全量理論；另一類理論認為在塑性狀態(tài)下是塑性應變增量即全量理論；另一類理論認為在塑性狀態(tài)下是塑性應變增量（或應變率）和應力及應力增量（應力率）之

32、間的關系即增（或應變率）和應力及應力增量（應力率）之間的關系即增量理論或流動理論。量理論或流動理論。為了建立塑性本構關系，需要考慮三個要素：為了建立塑性本構關系，需要考慮三個要素： 1 1、初始屈服條件；、初始屈服條件； 2 2、與初始屈服及后繼加載面相關連的某一流動法則。即要、與初始屈服及后繼加載面相關連的某一流動法則。即要有一個應力和應變（或它們的增量）間的關系，此關系包括有一個應力和應變（或它們的增量）間的關系，此關系包括方向關系和分配關系。實際是研究它們的偏量之間的關系；方向關系和分配關系。實際是研究它們的偏量之間的關系； 3 3、確定一種描述材料強化（硬化）特性的強化條件，即加、確定

33、一種描述材料強化（硬化）特性的強化條件，即加載函數(shù)。有了這個條件才能確定應力、應變或它們的增量之載函數(shù)。有了這個條件才能確定應力、應變或它們的增量之間的定量關系。間的定量關系。計算固體計算力學計算固體計算力學 58二、強化規(guī)律二、強化規(guī)律 Tresca、Mises兩種屈服條件，只是解決了從無應力狀態(tài)加兩種屈服條件，只是解決了從無應力狀態(tài)加載時的載時的“初始屈服初始屈服”問題。當初始屈服發(fā)生后，再繼續(xù)加載問題。當初始屈服發(fā)生后，再繼續(xù)加載，或卸載后又重新加載時，屈服條件將發(fā)生變化。要了解這，或卸載后又重新加載時，屈服條件將發(fā)生變化。要了解這種變化，就必須研究強化規(guī)律。種變化，就必須研究強化規(guī)律。

34、 在簡單拉伸中，當應力超過初始屈服應力后會出現(xiàn)塑性在簡單拉伸中，當應力超過初始屈服應力后會出現(xiàn)塑性變形，若進一步加載，則屈服應力將提高。這種屈服應力提變形，若進一步加載，則屈服應力將提高。這種屈服應力提供的現(xiàn)象，稱為（強化或硬化）現(xiàn)象。供的現(xiàn)象，稱為（強化或硬化）現(xiàn)象。 在復雜應力狀態(tài)下，強化現(xiàn)象則變?yōu)殚_始加載時，應力在復雜應力狀態(tài)下，強化現(xiàn)象則變?yōu)殚_始加載時，應力狀態(tài)點在屈服表面內(nèi)向屈服表面移動。在到達屈服表面后，狀態(tài)點在屈服表面內(nèi)向屈服表面移動。在到達屈服表面后，材料開始進入塑性，再繼續(xù)加載，屈服表面將發(fā)生改變（不材料開始進入塑性，再繼續(xù)加載，屈服表面將發(fā)生改變（不變的情況稱為理想塑性或完

35、全塑性），這就是強化。變的情況稱為理想塑性或完全塑性），這就是強化。計算固體計算力學計算固體計算力學 59 一般情況下，加載面不僅取決于應力一般情況下，加載面不僅取決于應力 和塑性應變和塑性應變 ，而且還依賴于整個塑性應變，而且還依賴于整個塑性應變過程（即所作的塑性功）。加載面的數(shù)學顯式過程（即所作的塑性功）。加載面的數(shù)學顯式ij,p ij0,ijp ijFK 式中，式中，K體現(xiàn)塑性功（即反映應變歷史）的參數(shù)體現(xiàn)塑性功（即反映應變歷史）的參數(shù)pKKd計算固體計算力學計算固體計算力學 601.1.各向同性強化各向同性強化 在復雜應力狀態(tài)下，各向同性強化理論假定，在復雜應力狀態(tài)下，各向同性強化理論

36、假定，加載面為初始屈服面作相似擴大，即加載面為初始屈服面作相似擴大，即0ijFK 式中，式中，K體現(xiàn)塑性功（即反映應變歷史）的參數(shù)體現(xiàn)塑性功（即反映應變歷史）的參數(shù)2.2.隨動強化隨動強化 隨動強化理論假定加載面的初始屈服面為一柱隨動強化理論假定加載面的初始屈服面為一柱面，但在應力空間移動。面，但在應力空間移動。0ijijF 式中，式中，aij為屈服柱面中心在應力空間中移動的量。為屈服柱面中心在應力空間中移動的量。計算固體計算力學計算固體計算力學 61三、流動法則三、流動法則1.1.Drucker公設公設 考慮某應力循環(huán)，設材料開始處于加載面內(nèi)，其考慮某應力循環(huán)，設材料開始處于加載面內(nèi)，其應力

37、為應力為 ，然后加載使其應力達到，然后加載使其應力達到 時恰好在加載時恰好在加載面上；再繼續(xù)在加載面上加載到面上；再繼續(xù)在加載面上加載到 ，使其產(chǎn)生，使其產(chǎn)生塑性應變塑性應變 ；最后卸載，使應力又回到；最后卸載，使應力又回到 。0ijijijijd,p ijd0ij 在上述應力循環(huán)過程中，無論材料是否穩(wěn)定，在上述應力循環(huán)過程中，無論材料是否穩(wěn)定，而外載所作的功總是正的，即而外載所作的功總是正的，即00ijijijd計算固體計算力學計算固體計算力學 62 要判斷材料的穩(wěn)定性，就必須由附加應力要判斷材料的穩(wěn)定性，就必須由附加應力 所作的塑性功不小于零的條件得到，即所作的塑性功不小于零的條件得到，即

38、000,ijijijp ijd事實上，這個條件也就是用了彈性應變在應力循事實上，這個條件也就是用了彈性應變在應力循環(huán)中的可逆性而得到的，即由于環(huán)中的可逆性而得到的，即由于000e,ijijijijd計算固體計算力學計算固體計算力學 63 另一方面，在整個應力循環(huán)中，只有在應力從另一方面，在整個應力循環(huán)中，只有在應力從 達到達到 時才產(chǎn)生塑性應變時才產(chǎn)生塑性應變 ，而在循環(huán)的，而在循環(huán)的其余部分不產(chǎn)生塑性變形，故其余部分不產(chǎn)生塑性變形，故 變成變成ijijdij, p ijd000,ijijijp ijd00,ijijijp ijdd退化到一維情形，上式可寫成退化到一維情形，上式可寫成00pdd

39、 計算固體計算力學計算固體計算力學 64按按DruckerDrucker公設，此塑性功為非負的，則有公設，此塑性功為非負的，則有如果如果 ，即起始應力狀態(tài)點位于屈服面之，即起始應力狀態(tài)點位于屈服面之內(nèi)，由于內(nèi)，由于 是任意無窮小量，與是任意無窮小量，與 相比，可相比，可以忽略不計，則上式改寫為：以忽略不計，則上式改寫為：或?qū)懗蓱兟实男问剑夯驅(qū)懗蓱兟实男问剑哼@里取等號是考慮到中性變載這里取等號是考慮到中性變載( (此時此時 ，或或 ）的存在。）的存在。計算固體計算力學計算固體計算力學 65當 ，即起始狀態(tài)位于屈服面上，則有或這兩組不等式就是和單向拉伸時的兩個不等式。相對應的相對應的。稍有不同

40、的是第一組對應式中，有等號，這是考慮到稍有不同的是第一組對應式中，有等號，這是考慮到在復雜應力狀態(tài)下，允許有中性變載存在，所以有等在復雜應力狀態(tài)下，允許有中性變載存在，所以有等式關系式關系。由于塑性功是耗散能，所以這些不等式又稱為最大塑性功原理由于塑性功是耗散能，所以這些不等式又稱為最大塑性功原理或最大耗散能原理，這個原理是和或最大耗散能原理，這個原理是和 Drucker Drucker 公設等價的，凡公設等價的，凡是滿足這些不等式的材料就是穩(wěn)定材料。是滿足這些不等式的材料就是穩(wěn)定材料。計算固體計算力學計算固體計算力學 662.2.流動法則流動法則由 Drucker 公設可以推出與屈服面有關的

41、兩個重要性質(zhì)：- 屈服面(初始的或后繼的)的外凸性外凸性- 塑性應變增量的法向性（屈服面與塑性應變增量的正交性屈服面與塑性應變增量的正交性）。計算固體計算力學計算固體計算力學 67在應力空間中：一點的應力狀態(tài) 用矢量OAOA0 0 表示 用OAOA表示，矢量 AB AB 表示應力增量: 矢量 AC AC 表示塑性應變增量: 建立一應力空間和塑性應變空間重合，并使 的原點置于屈服面的應力點處，如圖所示。則不等式: 可表示為：計算固體計算力學計算固體計算力學 68即這表示兩矢量夾角為銳角：以下將證明這只有在屈服面以下將證明這只有在屈服面為凸曲面為凸曲面以及矢量以及矢量ACAC垂直于垂直于( (即和

42、即和的外法線的外法線n n 一致一致) )時才能成立。時才能成立。若是外凸的，則過其上任一點A作它的切平面T，必全部位于T T 的一側(cè)或只有部分在T上（如圖所示）。這樣，不管A A0 0是在 之內(nèi)或在上，A A0 0A A和T T 的夾角一定在0范圍內(nèi)變化。計算固體計算力學計算固體計算力學 69若同時有ACAC垂直垂直T T，且指向T的另一側(cè)，則 A A0 0A A 和ACAC必成銳角，否則(即 ACAC不垂直T T), 即使是外凸的，則總會使兩矢量成鈍角。若屈服面是外凸的，而塑性應變增量的方向是任意的（如下圖所示），則兩矢量A A0 0A A 和ACAC 之間仍有可能成鈍角。計算固體計算力學

43、計算固體計算力學 70反之，如果不是外凸的，則A A0 0A A不一定總在T T的同一側(cè)，如圖所示。這時，即使AC垂直T， 但總可以選擇一點A A0 0， 使A A0 0A A 和ACAC成鈍角。由此即證明了:只有同時使為凸曲面和塑性應變增量矢量沿屈服面的法向時，才能使不等式。成立，即 Drucker 公設成立，這就是此公設的幾何意義。計算固體計算力學計算固體計算力學 71塑性應變增量矢量和屈服面外法線方向一致，稱為塑性塑性應變增量的法向性應變增量的法向性。若屈服函數(shù)為勢函數(shù)，屈服面即為等勢面，它的外法線方向與它的梯度方向一致，則 和梯度矢量的分量 成比例，即式中 （或 ）是非負的比例系數(shù)，是

44、一個標量。由此即證明 的大小和 有關，但方向和 無關，因為方向只決定于屈服面， 而屈服面是有 決定的，和 無關。或計算固體計算力學計算固體計算力學 72- 在單向應力狀態(tài)，雖然屈服以后，加載和卸載時變形規(guī)律是不同的，但由于只有一個應力分量不等于零，由這個分量的大小的增減就可以判斷是加載還是卸載。- 對于復雜應力狀態(tài)，六個獨立的應力分量都可增可減，如何判斷是加載還是卸載，有必要提出一個準則。3.3.加、卸載準則加、卸載準則計算固體計算力學計算固體計算力學 73 s s 由于理想塑性材料是無硬化的，它的后繼屈服條件和初始屈服條件是一致的，后繼屈服畫和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，則它與加載歷

45、史無關，以下列屈服函數(shù)表示： 理想塑性材料的加卸載準則理想塑性材料的加卸載準則 在荷載改變的過程中，應力點如保持在屈服面上，則此時塑性變形可以任意增長，就稱為加載。 當應力點從屈服面移動到屈服面內(nèi),則 :表示狀態(tài)從塑性退回到彈性，此時不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載.計算固體計算力學計算固體計算力學 74 理想塑性材料加載和卸載準則，用數(shù)學形式表示為：理想塑性材料加載和卸載準則，用數(shù)學形式表示為：彈性狀態(tài)：加載：卸載： 為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關系來說明為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關系來說明- 在應力空間以矢量 表示 即 的各個分量是：- 以 為分量的矢量就是函數(shù)

46、的梯度。設 n n為屈服面外法向單位矢量，則上述加、卸載準則可用矢量乘積表示為：計算固體計算力學計算固體計算力學 75加載：卸載：表示兩矢量正交，亦即 沿屈服面切向變化表示兩矢量的夾角大于900，亦即分處于屈服面的兩側(cè)，即指向屈服面內(nèi)。由于屈服面不能擴大，所以 不可能指向屈服面外。 以上討論是假定屈服曲面是正則的，即處處是光滑的。如果屈服面是非正則的，但是由分段光滑面構成的，如像Tresca 條件的屈服面，也只要應力點保持在屈服面上就是加載，返回到屈服面內(nèi)即為卸載。計算固體計算力學計算固體計算力學 76 對于硬化材料，后繼屈服面和初始屈服面不同，它是隨塑性變形的大小和歷史的發(fā)展而不斷變化的。

47、硬化材料的加卸載準則硬化材料的加卸載準則- 后繼屈服函數(shù)：- 如果后繼屈服面是正則的，則：-如圖所示：- 如果應力變化 使應力點從此瞬時狀態(tài)所處的后繼屈服面向內(nèi)移，則變化的結果使材料從一個塑性狀態(tài)退回到一個彈性狀態(tài)，即為卸載過程卸載過程， 不會產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K不變，即 dK= 0，由此得卸載準則為：計算固體計算力學計算固體計算力學 77且即：這里矢量關系說明：d和 n n 分處屈服面兩側(cè)，即d指向屈服面內(nèi)。計算固體計算力學計算固體計算力學 78-如圖所示：- 如果應力變化 使應力點沿后繼屈服面變化，實驗證明此過程也不產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K也不變， dK=0. 此過程稱為中性變

48、載中性變載，則且即：這里矢量關系說明：矢量d 和n 正交，表示中性變載時應力點沿屈服面切向變化。計算固體計算力學計算固體計算力學 79-如圖所示：- 如果應力 和參數(shù) K 都變化，使材料從一個塑性狀態(tài)過渡到另一個塑性狀態(tài)，應力點從原來的后繼屈服面外移到相鄰的另一個后繼屈服面時即為加載，此時加載準則加載準則表示為：且即：兩矢量的點積大于零，表示兩者的夾角小于900，即d也是指向屈服面外側(cè)的。如果屈服面不是正則的，而是由幾個正則面構成的，則上述加載和卸載準則的幾何意義也同樣成立。計算固體計算力學計算固體計算力學 80當塑性變形較大，特別是應力有反復變化時，等向硬化模型與實驗結果相差較大。（3 3）

49、 隨動硬化模型隨動硬化模型 隨動硬化模型隨動硬化模型: :是考慮Bauschinger效應的簡化模型。該模型假定材料將在塑性變形的方向OP+(如圖所示)上被硬化(即屈服值增大)，而在其相反方向OP- 上被同等地軟化了(即屈服值減小)。這樣，在加載過程中，隨著塑性變形的發(fā)展，屈服面的大小和形狀都不變，只是整體地在應力空間中作平移，如圖所示。所以，這個模型可在一定程度上反映Bauschinger 效應。計算固體計算力學計算固體計算力學 81四、彈性應力應變關系1、各向同性材料的彈性本構關系)()()()(12111EGGEGEGEGEyzyzyxzzxyxyxzyyxzxzzyxx剪切模量泊松比彈

50、性模量計算固體計算力學計算固體計算力學 82)()(zyxzyxzyxE21mmE32113)( )()(1211mmE應力球張量與應力球張量與應變球張量之間應變球張量之間的關系的關系mxmxzyxxzyxxEGEEEE32131111)()()(計算固體計算力學計算固體計算力學 83mxxEG321myyEG321mzzEG321同理可得：Gxzxzxz221又：Gxyxyxy221Gyzyzyz221所以廣義虎克定律可以用指標表示成：所以廣義虎克定律可以用指標表示成：)(2321ijmijijEG計算固體計算力學計算固體計算力學 84ijijmijijmijmijijmijijSGGEEG

51、e212121321)()(應力偏張量與應變偏張應力偏張量與應變偏張量之間的關系量之間的關系)(321ijijSGe 說明：由于說明：由于 ，所以，所以(3)式只有五個方程獨立，所以式只有五個方程獨立，所以（3）必須聯(lián)合）必須聯(lián)合 才是廣義虎克定律才是廣義虎克定律。0iiS)()(1211mmE計算固體計算力學計算固體計算力學 85為了將彈性本構方程與全量形式的塑性本構方程在形式上統(tǒng)一為了將彈性本構方程與全量形式的塑性本構方程在形式上統(tǒng)一起來起來ijijSGe21ijijee32ijijSS23G3所以廣義虎克定律所以廣義虎克定律體積變形是彈體積變形是彈性的性的應力偏量與應變偏量成正應力偏量與

52、應變偏量成正比例，兩者主方向一致比例，兩者主方向一致等效應力與等效應變成正比等效應力與等效應變成正比kkkkE)(211ijijSe23G3計算固體計算力學計算固體計算力學 86卸載規(guī)律卸載規(guī)律 當應力從加載面上卸載時，也服從虎克定律，但不當應力從加載面上卸載時，也服從虎克定律，但不能寫成全量關系，只能寫成增量形式：能寫成全量關系，只能寫成增量形式：ijijkkkkSeEd23dd)21 (d計算固體計算力學計算固體計算力學 87五、全量型本構關系五、全量型本構關系1、依留辛理論、依留辛理論 依留辛在實驗研究的基礎上，通過與彈性本構關系類比，依留辛在實驗研究的基礎上，通過與彈性本構關系類比，將

53、彈性變形的結論進行推廣，提出各向同性材料在小變形條將彈性變形的結論進行推廣，提出各向同性材料在小變形條件下塑性變形規(guī)律的假設：件下塑性變形規(guī)律的假設：（1）體積變形是彈性的）體積變形是彈性的kkkkE)(21ijijSe（2）應力偏量與應變偏量相似且同軸）應力偏量與應變偏量相似且同軸說明：應力和應變的定性關系：方向關系說明：應力和應變的定性關系：方向關系兩者主兩者主方向一致；分配關系方向一致；分配關系兩者成比例。兩者成比例。計算固體計算力學計算固體計算力學 88 不是常數(shù)，它取決于質(zhì)點的位置和荷載水平，但不是常數(shù)，它取決于質(zhì)點的位置和荷載水平，但對于同一點同一載荷水平，對于同一點同一載荷水平，

54、 是常數(shù)。是常數(shù)。 的求法的求法：ijijijijSSee223ijijijijSSeeijijSe23(3)等效應力等效應力 與等效應變與等效應變 之間存在單值對應關系：之間存在單值對應關系：)(計算固體計算力學計算固體計算力學 89綜上所述，全量型的塑性本構方程為：綜上所述，全量型的塑性本構方程為：kkkkE)(21ijijSe23)(說明：形式與彈性本構方程一致；說明：形式與彈性本構方程一致；區(qū)別在于：區(qū)別在于：彈性：彈性： G3線性關系線性關系塑性塑性： )(非線性關系非線性關系上式描述的全量應力應變關系單值對應。上式描述的全量應力應變關系單值對應。計算固體計算力學計算固體計算力學 9

55、02、全量理論的適應范圍、簡單加載定理、全量理論的適應范圍、簡單加載定理1）全量理論的適用范圍）全量理論的適用范圍小變形、簡單加載條件下小變形、簡單加載條件下tSStijijijij002）簡單加載：在加載過程，材料內(nèi)任一點的應力狀態(tài)）簡單加載：在加載過程，材料內(nèi)任一點的應力狀態(tài) 的各分量都按同一比例增加，即的各分量都按同一比例增加，即ijt單調(diào)增大的正參數(shù)單調(diào)增大的正參數(shù)說明：簡單加載條件下，各主應力分量之間也是按同一說明：簡單加載條件下，各主應力分量之間也是按同一 比例增加，且應力主方向和應變主方向始終不變。比例增加，且應力主方向和應變主方向始終不變。簡單加載條件下，加載路徑在應力空間是一

56、條簡單加載條件下，加載路徑在應力空間是一條通過原點的直線，在通過原點的直線，在 平面上，是一條平面上，是一條 的射線。的射線。const計算固體計算力學計算固體計算力學 913）保證簡單加載的條件）保證簡單加載的條件變形微??；變形微??；材料不可壓縮，材料不可壓縮，21外載荷成比例增長，如果有位移邊界條件，只能是外載荷成比例增長，如果有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；零位移邊界條件； 曲線具有曲線具有 的冪函數(shù)形式。的冪函數(shù)形式。nA滿足這四個條件即認為材料內(nèi)每一單元體都處于簡單滿足這四個條件即認為材料內(nèi)每一單元體都處于簡單加載狀態(tài)加載狀態(tài)此即簡單加載定理。此即簡單加載定理。說明：是必要條件

57、，而是充分條件不一定是必說明：是必要條件，而是充分條件不一定是必要條件；不滿足簡單加載條件，全量理論一般不能采用要條件；不滿足簡單加載條件，全量理論一般不能采用，但是對于偏離簡單加載條件不太遠的情況，使用全量，但是對于偏離簡單加載條件不太遠的情況，使用全量理論計算所獲得的結果和實際結果也比較接近。理論計算所獲得的結果和實際結果也比較接近。計算固體計算力學計算固體計算力學 923、卸載定理、卸載定理1）單軸拉伸卸載符合彈性規(guī)律：）單軸拉伸卸載符合彈性規(guī)律：E即：)(E式中：式中： 為卸載前的應力、應變；為卸載前的應力、應變；、卸載至卸載至 時的應力和應變時的應力和應變；iP 、為卸載過程中應力和

58、應變的改變量。為卸載過程中應力和應變的改變量。2）復雜應力狀態(tài)的卸載，若為簡單卸載則按彈性規(guī)律變）復雜應力狀態(tài)的卸載，若為簡單卸載則按彈性規(guī)律變化?；?。ijijmmSGeE2121)(計算固體計算力學計算固體計算力學 93在簡單卸載情況下：在簡單卸載情況下：iiiPPP按彈性力學公式可以計算出按彈性力學公式可以計算出 對應的對應的 ，ijiPij則卸載后則卸載后ijijijijijij當當 時，時， 為殘余應力、殘余應變。為殘余應力、殘余應變。iiPP ijij、注：上述計算方法只適用于卸載過程不發(fā)生第二次塑性注：上述計算方法只適用于卸載過程不發(fā)生第二次塑性變形的情形，即卸載不引起應力符號改變

59、而達到新的屈變形的情形，即卸載不引起應力符號改變而達到新的屈服（即卸載不發(fā)生反向屈服）。服（即卸載不發(fā)生反向屈服）。計算固體計算力學計算固體計算力學 94六、理想塑性材料的增量型本構關系六、理想塑性材料的增量型本構關系增量理論又叫流動理論增量理論又叫流動理論1、LevyMises理論又稱剛塑性增量理論理論又稱剛塑性增量理論 假設材料為理想塑性的，并認為材料到達塑性區(qū)，總假設材料為理想塑性的，并認為材料到達塑性區(qū)，總應變等于塑性應變，即假設材料符合剛塑性模型。即理應變等于塑性應變，即假設材料符合剛塑性模型。即理論假設歸納如下：論假設歸納如下：在塑性區(qū)總應變等于塑性應變（忽略彈性應變部分）在塑性區(qū)

60、總應變等于塑性應變（忽略彈性應變部分）pijpijeijijdddd體積變形是彈性的體積變形是彈性的kkkkEd)21 (d210210ddEekkij體積不可壓縮體積不可壓縮計算固體計算力學計算固體計算力學 95 的求法。的求法。d 塑性應變增量的偏量與應變偏量成正比例，塑性應變增量的偏量與應變偏量成正比例，或應力偏量主方向與塑性應變偏量的主方向一致：或應力偏量主方向與塑性應變偏量的主方向一致：) 0d( ddijpijSe式中比例系數(shù)式中比例系數(shù) 決定于質(zhì)點的位置和荷載水平?jīng)Q定于質(zhì)點的位置和荷載水平d因為塑性變形的體積不可壓縮因為塑性變形的體積不可壓縮ijpijpijSe ddd0dpkk