自動控制第四章頻率響應(yīng)法

1、第四章第四章 系統(tǒng)的動態(tài)性能用時域性能指標(biāo)來描述是最系統(tǒng)的動態(tài)性能用時域性能指標(biāo)來描述是最直觀直觀的，的，但是，一個控制系統(tǒng)，特別是但是，一個控制系統(tǒng)，特別是高階系統(tǒng)高階系統(tǒng)的時域性能是很難的時域性能是很難用用解析法解析法來確定的。尤其是系統(tǒng)設(shè)計方面，到目前為止還來確定的。尤其是系統(tǒng)設(shè)計方面，到目前為止還沒有直接按時域性能指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計的通用方法，而頻域中沒有直接按時域性能指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計的通用方法，而頻域中的一些的一些圖解法圖解法則可以方便的用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。則可以方便的用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。 本章主要討論本章主要討論頻率響應(yīng)法的基本概念頻率響應(yīng)法的基本概念，典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)及系

2、統(tǒng)頻率特性的求取頻率特性的求取，頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性的頻率特性，頻率響應(yīng)法在工程研究中的應(yīng)用頻率響應(yīng)法在工程研究中的應(yīng)用等。等。 第六節(jié)第六節(jié) 頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系第四章第四章 頻率響應(yīng)法頻率響應(yīng)法 第一節(jié)第一節(jié) 頻率特性概述頻率特性概述 第二節(jié)第二節(jié) 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖 第三節(jié)第三節(jié) 對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖 第四節(jié)第四節(jié) 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 第五節(jié)第五節(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 第七節(jié)第七節(jié) 用實驗法確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用實驗法確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 頻率特性概述頻率特性概述

3、 考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍信號輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 有時也用正弦信號正弦信號輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率的正弦信號輸入時的暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦信號輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。 頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣能間接地表示系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。第一節(jié)第一節(jié) 頻率特性概述頻率特性概述 (4) 頻率響應(yīng)法的缺點是，頻率響應(yīng)法的缺點是，三階及以上系統(tǒng)三階及以上系統(tǒng)的頻率特性和時間響的頻率特性和時間響應(yīng)之間只有間接的聯(lián)系，

4、而不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。應(yīng)之間只有間接的聯(lián)系，而不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。一、頻率法的特點：一、頻率法的特點： (1) 不用求解系統(tǒng)的特征根，而用一些較為不用求解系統(tǒng)的特征根，而用一些較為簡單的圖解方簡單的圖解方法法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計；就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計； (2)系統(tǒng)的頻率特性可用系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出實驗方法測出； (3) 用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可使用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可使噪聲忽略噪聲忽略或限制在規(guī)定的程度內(nèi)；或限制在規(guī)定的程度內(nèi)；二、對正弦輸入信號的響應(yīng)：二、對正弦輸入信號的響應(yīng)：)()()(trtcdttdcT 11)()

5、( TssRsC解：解： RC電路的微分方程為電路的微分方程為 式中，式中，T=RC。網(wǎng)絡(luò)的傳函為：。網(wǎng)絡(luò)的傳函為： R C r(t) c(t) 例：例： RC線性電路，當(dāng)輸入為正弦電壓線性電路，當(dāng)輸入為正弦電壓r(t)=Asin t 時，時，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？如果輸入為正弦電壓如果輸入為正弦電壓r(t)=Asin t ，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出：的穩(wěn)態(tài)輸出：AC sTss221( )1 A TA TAsTTTsTs222221()1()1()1/ tTA TA TAc tettTTT222( )cossin1()1()1() sstA TAc tctttTT22lim (

6、 )( )cossin1()1() ATttT2cossin1() ATttTTT2221cossin1()1()1() AtTT2sin(arctan)1() ATttT2cossin1() css(t)1T8 tr(t)arctansin(1)(lim22TtTAtct css(t)t 穩(wěn)態(tài)輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了穩(wěn)態(tài)輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了arctan T，是頻率是頻率 的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。 上式完全地描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入電壓作用下，穩(wěn)上式完全地描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入電壓作用下，穩(wěn)態(tài)輸出電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓頻率變化的規(guī)律，態(tài)輸

7、出電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓頻率變化的規(guī)律，稱為網(wǎng)絡(luò)的稱為網(wǎng)絡(luò)的。TjTjTeeTjjTj 1111)(1111arctan210 即把傳函中的即把傳函中的s 用用j 代替就可得代替就可得到頻率特性。到頻率特性。TjTjTeeTjjTj 1111)(1111arctan2幅頻特性幅頻特性Tj 11Tj 11相頻特性相頻特性|1111 jssTTj G(s)c(t)r(t)c(s)r(s) 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：R(s)C(s)+ 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的幅頻特性為：系統(tǒng)的幅頻特性為：系統(tǒng)的相頻特性

8、為：系統(tǒng)的相頻特性為：三、頻率特性的定義：三、頻率特性的定義：1.頻率響應(yīng)在正弦輸入函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值頻率響應(yīng)在正弦輸入函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值稱為頻率響應(yīng)。稱為頻率響應(yīng)。 2.頻率特性頻率響應(yīng)頻率特性頻率響應(yīng)c(t)與輸入正弦函數(shù)與輸入正弦函數(shù)r(t)的復(fù)數(shù)比稱的復(fù)數(shù)比稱為頻率特性。為頻率特性。a. 幅頻特性：幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比，用穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比，用A( ) 表示。表示。四、頻率特性的表示法：四、頻率特性的表示法：（一）系統(tǒng)頻率特性的解析式表示（一）系統(tǒng)頻率特性的解析式表示 1.幅頻幅頻相頻形式相頻形式: 2. 指數(shù)形式指數(shù)形式: 3. 三角函數(shù)形式三

9、角函數(shù)形式: 4. 實頻實頻虛頻形式虛頻形式:（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖形形式（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖形形式 當(dāng)當(dāng)=0變化時變化時,A()和和()隨隨而變而變,以以A()作幅值作幅值,()作相角的端點在作相角的端點在s平面上形平面上形成的軌跡成的軌跡,稱稱Nyquist曲線。曲線。1. 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖-Nyquist圖圖G(j)H(j)=|G(j)H(j)|G(j)H(j) =A() ()=1 = =0ImRe0G(j)可以證明：可以證明：0.52. 對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖-Bode伯德伯德圖圖極坐標(biāo)圖是極坐標(biāo)圖是變化時相量變化時相量G(j)H(j)在復(fù)平面上在復(fù)平面上畫出的軌跡。同樣，也可

10、以將復(fù)數(shù)相量畫出的軌跡。同樣，也可以將復(fù)數(shù)相量G(j)H(j)的的幅值和相角分別用橫坐標(biāo)（幅值和相角分別用橫坐標(biāo)（按對數(shù)分度按對數(shù)分度）和縱坐標(biāo)（）和縱坐標(biāo)（線性分度線性分度）的）的半對數(shù)坐標(biāo)半對數(shù)坐標(biāo)畫出。畫出。對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： 橫坐標(biāo)是橫坐標(biāo)是的的對數(shù)分度對數(shù)分度, 縱坐標(biāo)是縱坐標(biāo)是L()和和()的的線性分度線性分度L()=Lm|G(j)H(j)|=20lgG()H() (db)對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性：()= G(j)H(j) (rad)20Friday,April29,2022結(jié)論：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用jw 代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。 到目前為止，我

11、們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性等。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)js dtds dtdj)(tgL)(1sGL第二節(jié)第二節(jié) 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖一、典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：一、典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：1. 1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：其傳遞函數(shù)為： G(s) = K;頻率特性為頻率特性為 ： G(j ) = K幅相頻率特性為：幅相頻率特性為：A( ) = K ( ) = 0 ImRe0K實頻特性實頻特性： ；虛頻特性虛頻特性： ；KP)(0)(Q比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實軸上的K點。ImRe0 2. 2. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)=0K

12、A)(2)0()(1Ktg0)(PKQ)(頻率特性：2)(eKKjjKjG 積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率從0+特性曲線由虛軸的趨向原點。3.3.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)頻率特性：,1)(TsKsG1)(TjKjGTtgTKA122)(,1)(22221)(,1)(TKTQTKP0)0()0(0)0()0(0QKPKA，時：2)1(2)1(45)1(2)1(1KTQKTPTKTAT，時：0)(0)(90)(0)(QPA，時：0T1極坐標(biāo)圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：TPQ)()(222)(11PQKTKP整理得：222)2()2(KQKP22221)(1)(TKTQTKP下半個圓對應(yīng)于正頻率部分

13、，而上半個圓對應(yīng)于負(fù)頻率部分。0T125Friday,April29,2022實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：222222222222224)1 (2)(,4)1 (1)(TTTQTTTP222222)2()1 (1)()()(TTQPA221112)()()(TTtgPQtg 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG討論 時的情況。當(dāng)K=1時，頻率特性為：10TjTjG2)1 (1)(22當(dāng) 時， ，曲線在3，4象限；當(dāng) 時，與之對稱于實軸。 00)(Q007 . 0, 1, 1Tk14 . 11)(2sssG0)(, 1)(0)(, 1)(0QPA，時當(dāng)2222

14、22224)1(1)(TTTP2222)2()1(1)(TTA22112)(TTtg2222224)1(2)(TTTQ，時當(dāng)T1;2)(,21)(A21)(, 0)(QP，時當(dāng))(, 0)(A0)(, 0)(QP實際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)。由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。Tp2212121)(ppAM當(dāng) 時，有諧振峰值。21 微分環(huán)節(jié)的頻率特性：微分環(huán)節(jié)的頻率特性： 微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：12)(1)()(22TssTsGTssGssG頻率特性分別為：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22 純微分環(huán)節(jié)：jjG)(0,20

15、,2)(,)(AReIm0)(,0)(QP微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率從0特性曲線由原點趨向虛軸的+。TQP)(1)(， 一階微分：TtgTA122)(1)(，ReIm0一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸的直線。頻率從0特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。 二階微分環(huán)節(jié)：12)(22TssTsG幅頻和相頻特性為：221222212)()2()1 ()(TTtgTTA，TQTP2)(,1)(22014 . 1)(2sssG7 . 0; 1T由于由于 ( )隨頻率的增長而線性滯后，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨頻率的增長而線性滯后，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性ImRe0=0由于幅值總是由于

16、幅值總是1，相，相角隨頻率而變化，角隨頻率而變化，其極坐標(biāo)圖為一單其極坐標(biāo)圖為一單位圓位圓。6. 6.滯后（延遲）環(huán)節(jié)滯后（延遲）環(huán)節(jié)頻率特性為頻率特性為 ：G(j ) = e j T 幅值為：幅值為：A( ) = e j T = 1 ( ) = T (rad)相角為：相角為：二、開環(huán)控制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖：二、開環(huán)控制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖：設(shè)開環(huán)頻率特性為：設(shè)開環(huán)頻率特性為：)(21)()()()()( jnkeAjGjGjGjG niinAAAAA121)()()()()( nii1)()( 式中式中 分別計算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計算出開環(huán)幅分別計算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計

17、算出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標(biāo)圖。值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標(biāo)圖。34 解: RC超前網(wǎng)絡(luò)的傳函為 ( ) = 90 arctan T2)(11)(TTA 111)( TjTjTjTjjG 例例5-1 如如圖所示圖所示RC超前網(wǎng)超前網(wǎng)絡(luò)絡(luò), ,要求繪制它的幅相曲線。要求繪制它的幅相曲線。1)( TsTssG式中 T=RC 。其頻率特性為 R C r(t) c(t)355.0 0.982 11.32.0 0.895 301.0 0.707 45幅相曲線如圖ImRe0T=125 T= T=01T A() ()()0 0 900.1 0.0995 84.30.3 0.288 73

18、.3 10 ( ) = 90 arctan T2)(11)(TTA (1)將開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解將開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解111(1)(1)( )( )( )(1)(1)lmiinKssKG s H sG ssT sT ss式中：式中： (2) 根據(jù)幅相曲線確定起點根據(jù)幅相曲線確定起點( =0)：精確求出：精確求出 A(0) ， (0) ；確定終點確定終點( = )：求出：求出A( ) ， ( ) ；由上式分析可得：由上式分析可得：幅頻特性為：幅頻特性為：相頻特性為：相頻特性為： 起點的確定起點的確定 終點的確定終點的確定 (3) 確定曲線與坐標(biāo)軸的交點及中頻段的其他特征點：確

19、定曲線與坐標(biāo)軸的交點及中頻段的其他特征點：曲線與實軸交點的求取曲線與實軸交點的求取令令I(lǐng)mG(j)H(j)=0或或 G(j)H(j)=(2k+1), k=0,1,2,求得求得代入代入ReG(j)H(j)中即可中即可令令ReG(j)H(j)=0 或或 G(j)H(j)= , k=0,1,2, 再取幾個再取幾個點計算點計算A() 和和(),即可得即可得Nyquist圖的大致形狀圖的大致形狀曲線與虛軸交點的求取曲線與虛軸交點的求取中頻段的其他特征點中頻段的其他特征點【例例4-4】繪制系統(tǒng)極坐標(biāo)圖。繪制系統(tǒng)極坐標(biāo)圖。解：解：此系統(tǒng)此系統(tǒng)m=0，n-m=3，=1， 低頻段低頻段: 0+時，時，G(j)H

20、(j)=-90 高頻段高頻段: 時，時，G(j)H(j)=0-903；令令I(lǐng)mG(j)H(j)=0，求得，求得=10， 中頻段：中頻段： 取取=10并代入并代入ReG(j)H(j)= -0.4,即曲線與實軸交即曲線與實軸交于于(-0.4,j0)點。點。第三節(jié)第三節(jié) 對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖一、對數(shù)坐標(biāo)圖一、對數(shù)坐標(biāo)圖(Bode(Bode圖圖) )及其特點：及其特點：1.對數(shù)坐標(biāo)圖的構(gòu)成包括對數(shù)包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性相頻特性曲線。橫坐標(biāo)曲線。橫坐標(biāo)表示頻率表示頻率 ，按對數(shù)分度，單位是，按對數(shù)分度，單位是rad/s 。90()/()0L()/dB0201/T20dB/d

21、ec橫坐標(biāo)(稱為頻率軸)分度：它是以頻率 的對數(shù)值 log 進(jìn)行線性分度的。但為了便于觀察仍標(biāo)以 的值，因此對 而言是非線性刻度。 每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個單位長度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率 的數(shù)值變化一倍，橫坐標(biāo)就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：10 lg 20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101=1=102345 6 7 8 9203040 對數(shù)幅頻特性曲線對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是均勻分度，

22、單位是dB(分貝分貝)。 L( ) = 20lgA( ) 相頻曲線相頻曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。度。 ( ) =G(j ) L()/dB2020 (rad/s) 123456102030100()/()9090(rad/s) 1234561020301002.對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點（1）頻率）頻率（橫坐標(biāo)）按對數(shù)分度，（橫坐標(biāo)）按對數(shù)分度，低頻部分排列稀疏低頻部分排列稀疏，分辨精，分辨精細(xì)，細(xì)，而高頻部分排列密集而高頻部分排列密集，分辨粗略。這正適合工程實際的需要。，分辨粗略。這正適合工程實際的需要。 （2）幅頻特性取對數(shù)）幅

23、頻特性取對數(shù)20lg G(s)H(s) 后，使各因子間的乘除后，使各因子間的乘除運算轉(zhuǎn)化成加減運算，在運算轉(zhuǎn)化成加減運算，在Bode圖上則變成圖上則變成各因子曲線的疊加各因子曲線的疊加，大，大大簡化了作圖過程，使設(shè)計和分析變得容易。大簡化了作圖過程，使設(shè)計和分析變得容易。（3）采用由直線構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確）采用由直線構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使圖，使繪圖十分簡便繪圖十分簡便，又能滿足工程需要，因而被廣泛應(yīng)用。，又能滿足工程需要，因而被廣泛應(yīng)用。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中，開環(huán)放大系數(shù)）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中，開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的是最常變化的參

24、數(shù)。而參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性，只會使幅頻特性曲線作上下平移。曲線作上下平移。二、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖：二、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖：1.比例環(huán)節(jié)（K）L( ) = 20lgK () = 0-90()/()020lgKL()/dB0() = 0對數(shù)幅相頻率特性分別是：對數(shù)幅相頻率特性分別是：90()/()020dB/decL()/dB020110-20dB/dec（每（每10倍頻程幅值下降倍頻程幅值下降20dB）的一條直線）的一條直線-90度定值水平線度定值水平線對數(shù)幅相頻率特性分別是：對數(shù)幅相頻率特性分別是：斜率為斜率為20dB/de

25、c（每（每10倍頻程倍頻程幅值上升幅值上升20dB）的一條直線）的一條直線90度定值水平線度定值水平線90()/()0L()/dB02010120dB/dec對數(shù)幅頻率特性分別是：對數(shù)幅頻率特性分別是：1當(dāng) 1/T時，L() 10lg1 = 0 2當(dāng) 1/T時，L() 20lgT慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條漸近線近似表示。頻率頻率1/T 稱為慣性環(huán)節(jié)的交稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。1/T L()20dB/dec斜率為斜率為-20dB/dec的一條直線的一條直線51 1/ lg201lg20/1 1lg20)(2222TTTTTL 如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約

26、3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB用漸近線近似表示L()，必然存在誤差L()，L()可按以下公式計算： L() = L() La()式中，L()表示準(zhǔn)確值，La()表示近似值，有相頻特性為：相頻特性為： ( ) = arctan T T = 0 ( ) = 0 T = 0.3 ( ) = 16.7 T = 0.8 ( ) = 38.7 L()/dB0201/T20dB/dec90()/()0 T = 1 ( ) = 45 T ( ) = 90對數(shù)幅相頻率特性分別是：對數(shù)幅相頻率特性分別是：90()/()0L()/dB0201/T20dB/dec對數(shù)

27、幅相頻率特性分別是：對數(shù)幅相頻率特性分別是：根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。 當(dāng)T 1時，L() 20lg2 / n2 = 40lg / n 。L()n=1/T40dB/dec5522 2222 222220lg (1/)(2/)( , )20lg (1/)(2/)20lg/nnnnnL 誤差計算公式是：誤差計算公式是： 這是一條斜率為這是一條斜率為 40dB/dec直線，和零分貝線交于直線，和零分貝線交于 = n的地方。故的地方。故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為 n 。下圖為下圖為 L( , ) 的曲線的曲線0.10.20.41246810/n2016128

28、40-4-8=0.05 =10.10.20.30.40.50.60.857相頻特性相頻特性2212arctan)(nn = 0 (0) = 0 = n ( n) = 90 () = 180 由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，( )在 = n鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。580.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2對數(shù)幅頻率特性分別是：對數(shù)幅頻率特性分別是：由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉(zhuǎn)畫出。對數(shù)幅頻率特性分別是：對數(shù)幅頻率特性分別是：()/()0L()/dB0延遲環(huán)節(jié)的幅值恒為延遲環(huán)節(jié)的幅值恒為1，對數(shù)幅頻特性曲線為對數(shù)幅

29、頻特性曲線為0dB的水平線的水平線三、開環(huán)系統(tǒng)三、開環(huán)系統(tǒng)BodeBode圖的繪制方法：圖的繪制方法：1.環(huán)節(jié)曲線疊加法【例例4-5】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制其開環(huán)對數(shù)頻率特性圖試?yán)L制其開環(huán)對數(shù)頻率特性圖解解（1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可寫成：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可寫成：即開環(huán)頻率特性可看作由比例環(huán)節(jié)即開環(huán)頻率特性可看作由比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)及二階振蕩環(huán)節(jié)組成。其環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率如上所示。一階微分環(huán)節(jié)及二階振蕩環(huán)節(jié)組成。其環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率如上所示。 （2）分別將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線畫于）分別將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線畫于對數(shù)紙上對數(shù)紙

30、上： 1）L1()=20412(dB)是幅值為是幅值為12dB的水平線。的水平線。 2）L2()是過是過=1斜率為斜率為-20dB/dec的直線。的直線。 3）L3()是轉(zhuǎn)角頻率為是轉(zhuǎn)角頻率為=0.5的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。 4）L4()是轉(zhuǎn)角頻率為是轉(zhuǎn)角頻率為=2的一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。的一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。 5）L5()是轉(zhuǎn)角頻率為是轉(zhuǎn)角頻率為=8的二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。的二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。 6）繪制各環(huán)節(jié)相頻特性曲線）繪制各環(huán)節(jié)相頻特性曲線 1（ ） 5（ ）（3）將）將L1() L5()疊加疊加(在各轉(zhuǎn)角頻率處各環(huán)節(jié)

31、幅值在各轉(zhuǎn)角頻率處各環(huán)節(jié)幅值數(shù)相加數(shù)相加)，求得開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線，求得開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（4）將）將 1（ ） 5（ ）疊加）疊加(選取數(shù)個選取數(shù)個 值，將各環(huán)節(jié)值，將各環(huán)節(jié)在各在各 處的相角數(shù)值疊加處的相角數(shù)值疊加)，得到開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線，得到開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線10-1100101102-100-80-60-40-2002040圖4-180.5822.順序斜率疊加法【例例4-6】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的對數(shù)頻率特性：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的對數(shù)頻率特性：解解（1）先將傳遞函數(shù)化成）先將傳遞函數(shù)化成Bode圖的標(biāo)準(zhǔn)式（即圖的標(biāo)準(zhǔn)式（即Ts+1形式），形式），則原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

32、：10-1100101-40-30-20-100102030401.423（3） 繪低頻漸近線，先找出基準(zhǔn)點：繪低頻漸近線，先找出基準(zhǔn)點：=1及及20K=207.5(dB)。以此為基準(zhǔn)點繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線。本節(jié)有一個積分以此為基準(zhǔn)點繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線。本節(jié)有一個積分環(huán)節(jié)（環(huán)節(jié)（ =1），過此點作），過此點作-20 dB/dec直線。直線。（4）由低頻到高頻順序畫出對數(shù)幅頻特性漸近線）由低頻到高頻順序畫出對數(shù)幅頻特性漸近線，在，在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個轉(zhuǎn)角頻率，便將其漸低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個轉(zhuǎn)角頻率，便將其漸近線斜率與原漸近線進(jìn)行疊加。具體地說，遇到近線斜率與原漸近線進(jìn)行

33、疊加。具體地說，遇到 環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加-20dB/dec;遇到遇到TS+1環(huán)節(jié)似環(huán)節(jié)似的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加+20dB/dec;遇到遇到 環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加-40dB/dec等。等。 12122TssT11ST（5）對漸近線進(jìn)行修正）對漸近線進(jìn)行修正，畫出精確的對數(shù)幅頻特性。，畫出精確的對數(shù)幅頻特性。通常在各轉(zhuǎn)角頻率左右一倍頻程內(nèi)加以修正即可。其修通常在各轉(zhuǎn)角頻率左右一倍頻程內(nèi)加以修正即可。其修正值可按環(huán)節(jié)的誤差曲線求得。正值可按環(huán)節(jié)的誤差曲線求得。（6）相頻特性，）相頻特性，畫出各環(huán)節(jié)的相頻特性，在選定的畫出各環(huán)

34、節(jié)的相頻特性，在選定的數(shù)個頻率數(shù)個頻率處將各環(huán)節(jié)相應(yīng)的相角值相疊加，求出系處將各環(huán)節(jié)相應(yīng)的相角值相疊加，求出系統(tǒng)在該點的相角值，然后連點描線即得到系統(tǒng)的相統(tǒng)在該點的相角值，然后連點描線即得到系統(tǒng)的相頻特性。頻特性。 （三）（三） 計算法計算法根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)H(s),寫出相應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻寫出相應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻特性表達(dá)式特性表達(dá)式L()和和 （ ）， 依次代入數(shù)個選定的依次代入數(shù)個選定的值，計算出不同值，計算出不同處的處的L（）和和 （ ）值，連點描線繪制出系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線值，連點描線繪制出系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。 四、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)：四、最小相

35、位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)：（1）定義）定義: 開環(huán)零點與開環(huán)極點全部位于開環(huán)零點與開環(huán)極點全部位于s左半平面的系統(tǒng)為左半平面的系統(tǒng)為 最最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。（3）具有相同幅值的兩個系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最小。）具有相同幅值的兩個系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最小。sssGsssG211)( 211)(21 0j10.5j00.51其對應(yīng)的零其對應(yīng)的零極點分布圖如下極點分布圖如下:212211( )20lg 20lg( )1214jLLjL()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/()0-180 -90(

36、)/()01() =arctanarctan2 2() = arctan arctan272 (4). (4).最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng), , 當(dāng)當(dāng)時時, ,相角為相角為(n-m)(-900)。 (5).(5).非最小相位一般由兩種情況產(chǎn)生：一是系統(tǒng)非最小相位一般由兩種情況產(chǎn)生：一是系統(tǒng)內(nèi)包含有內(nèi)包含有非最小相位元件非最小相位元件（如延遲因子），另外是（如延遲因子），另外是不穩(wěn)定的小回環(huán)不穩(wěn)定的小回環(huán)。 (6).(6).最小相位系統(tǒng)的最小相位系統(tǒng)的幅值特性和相角特性有一一對幅值特性和相角特性有一一對應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系, ,所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性由幅值特性來確定即可。所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性由幅值特性來確定即可。五

37、、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤五、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系：差的關(guān)系：1-0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：其對數(shù)幅頻特性式為：其對數(shù)幅頻特性式為：L( )/dB-20dB/dec2-I型系統(tǒng)I型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：其對數(shù)幅頻特性式為：其對數(shù)幅頻特性式為：L( )/dB-20dB/dec-40dB/decL( )/dB-20dB/dec-40dB/dec113-II型系統(tǒng)II型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：其對數(shù)幅頻特性式為：其對數(shù)幅頻特性式為：L( )/dB-40dB/dec-60dB/

38、decL( )/dB-40dB/dec-60dB/dec11【例例4-7】有有I型系統(tǒng)如圖所示。試證明：型系統(tǒng)如圖所示。試證明：L( )/dB-20dB/dec-40dB/dec證明：證明：兩邊取對數(shù)，兩邊取對數(shù)，(2) 與與0dB線交點處線交點處:幅值為幅值為1，即，即(3) 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:頻率特性：頻率特性：轉(zhuǎn)角頻率的求?。恨D(zhuǎn)角頻率的求取：時，轉(zhuǎn)角頻率為時，轉(zhuǎn)角頻率為因為：因為：用對數(shù)表示：用對數(shù)表示：【例例4-8】有有II型系統(tǒng)如圖所示。試證明：型系統(tǒng)如圖所示。試證明：L( )/dB-40dB/dec-60dB/dec-20dB/dec0證明：證明： (1)在在II型

39、系統(tǒng)低頻段型系統(tǒng)低頻段(2)與與0dB線交點處，幅值為線交點處，幅值為1第四節(jié)第四節(jié) 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要內(nèi)容映射原理理映射原理理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析BodeBode（伯德）圖的穩(wěn)定性分析（伯德）圖的穩(wěn)定性分析 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途

40、徑。一、一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本原理穩(wěn)定判據(jù)的基本原理（一）映射原理（一）映射原理G(s)R(s)C(s)+H(s)1212( )( )( ) ( ) ( )( )M sMsG sH sN sNs開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 1212( )( )( )( )( )( )( )kM s MsG sG s H sN s Ns 如圖示的控制系統(tǒng)，如圖示的控制系統(tǒng)，G(s)和和H(s)是是兩個多項式之比兩個多項式之比 121212( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )M s NsG ssG s H sN s NsM s Ms閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 把閉環(huán)特征多項式

41、和開環(huán)特征多項式之比稱之為輔助把閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比稱之為輔助函數(shù)，函數(shù)， 記作記作F(s)， F(s)仍是復(fù)變量仍是復(fù)變量s的函數(shù)。的函數(shù)。121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )BkDsN s NsM s MsF sD sN s Ns=1 + Gk(s) 顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：njjniipszssF11)()()( F(s)具有如下特征：具有如下特征： 1）其其零點零點和和極點極點分別是分別是閉環(huán)閉

42、環(huán)和和開環(huán)開環(huán)特征根；特征根； 2）零點和極點個數(shù)相同；零點和極點個數(shù)相同； 3） F(s)和和G(s)H(s)只相差常數(shù)只相差常數(shù)1。 F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點 都可以在F(s)平面上找到一個相應(yīng)的點 ， 稱為 在F(s)平面上的映射。sdfdfdsd s平面平面 F(s)平面平面 F(s)的零點的零點 原點原點 F(s)的極點的極點 無限遠(yuǎn)點無限遠(yuǎn)點 s平面上的其他點平面上的其他點 原點外的有限點原點外的有限點 同樣，對于s平面上任意一條封閉曲線 ，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應(yīng)的封閉曲線 （為 的映

43、射）。sfs例輔助方程為： ，則s平面上 點（-1，j1），映射到F(s)平面上的點 為（0，-j1）,見下圖：sssF2)(sdfd) 1, 1(jds) 1, 0 (jdf平面s平面)(sFj0szi AF(s)ImRe0fB在在 s 平面上任選一點平面上任選一點 A 通過映射通過映射F(s)平面上平面上F(A)。設(shè)設(shè) s只包圍只包圍zi ，不包圍也不通過任何極點和其他零點。，不包圍也不通過任何極點和其他零點。 從從A點點出發(fā)順時針轉(zhuǎn)一周回到出發(fā)順時針轉(zhuǎn)一周回到A 再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若 順時針包圍F(s)的一個極點和一個零點，則 不包圍原點順時針運動；若 順時針只包圍F(s)的一個極點，

44、則 包圍原點且逆時針運動。sfsf映射原理（柯西幅角定理） s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線 包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當(dāng)s以順時針方向沿封閉曲線 移動一周時，在F(s)平面上相對應(yīng)的封閉曲線 將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為ssf若N為正，表示 逆時針運動，包圍原點；ff若N為負(fù)，表示 順時針運動，包圍原點。若N為0，表示 順時針運動，不包圍原點；f或者（二）特征函數(shù)（二）特征函數(shù)F(s)與與G(s)H(s)的關(guān)系的關(guān)系由前面分析可知：由前面分析可知： 對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程 ，其零點恰好

45、是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。)(1)(sGsFk 我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的，輔助方程也已知。設(shè)想： 如果s平面有一個封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應(yīng)為：當(dāng)已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù)（三）（三）Nyquist軌線軌線N= F(s)的右半極點數(shù)的右半極點數(shù)F(s)的右半零點數(shù)的右半零點數(shù) =開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)

46、右半極點數(shù)0js+1932年，年，Nyquist將映射原理用于自將映射原理用于自控理論的研究，成功解決了經(jīng)典設(shè)控理論的研究，成功解決了經(jīng)典設(shè)計中穩(wěn)定性分析的問題。計中穩(wěn)定性分析的問題。穩(wěn)定性穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)特征根特征根F(s)繞原點的圈繞原點的圈數(shù)數(shù)(Nyquist軌線軌線)G(s)H(s)繞繞(-1,j0)點的圈數(shù)點的圈數(shù)Nyquist包圍了包圍了F(s)=1+G(s)H(s)的全的全部部正的零、極點正的零、極點二、二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)1. 1.第一種情況第一種情況( (開環(huán)傳遞函數(shù)在開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的原點及虛軸沒有極點時平面的原點及虛軸沒有極點時) )90 奈氏判據(jù)

47、：奈氏判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s 右半平面根的個數(shù)為右半平面根的個數(shù)為P，開環(huán)奈氏曲線（開環(huán)奈氏曲線（ : 0 ）包圍）包圍( 1，j0)點的圈數(shù)為點的圈數(shù)為N，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在 s 右半平面根的個數(shù)為右半平面根的個數(shù)為Z，且有且有 Z = P N 若若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若Z 0，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 或或當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線不包圍當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線不包圍( 1，j0)點時，則點時，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線包圍當(dāng)開環(huán)

48、系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線包圍 ( 1，j0)點點P圈時，圈時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。91例例5-10 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（2） p = 0 ，N 2 z p N 2 0 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Rep = 0 Im0 = 0解：由圖知（1）p = 0且N = 0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01p =0 =0 （3） p = 0 ，N 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ReIm0 1 = 0 p = 093試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1)( TsksGkTjTkTjkjGk/11)( 例例5-11 一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函一單位反饋系統(tǒng)

49、，其開環(huán)傳函當(dāng)當(dāng) = 0，Gk (j0) = k180 當(dāng)當(dāng) ，Gk (j ) = 090 ReIm0 = 0 k 解：已知解：已知 p = 1 頻率特性頻率特性 94 當(dāng)當(dāng) k 1 ，N= 1 z = p N = 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 當(dāng)當(dāng) k 1 ， k 198ImRe0=0+2121TTTkT 增補線1=0- 用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制 從從 0時時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍(-1，j0 )點的圈數(shù)點的圈數(shù)R（逆時針為（逆時針為正，順時針為負(fù)）和開環(huán)傳遞函數(shù)在正，順時針為負(fù)）和開環(huán)傳遞

50、函數(shù)在s 右半平面根的個數(shù)右半平面根的個數(shù)P，根根據(jù)公式據(jù)公式 Z = P 2R來確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)，如果來確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)，如果Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)穩(wěn)定的定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個數(shù)為如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個數(shù)為v，則繪制，則繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖后，應(yīng)從開環(huán)極坐標(biāo)圖后，應(yīng)從 =0+對應(yīng)的點開始，補作一個半徑為對應(yīng)的點開始，補作一個半徑為 ，逆時針方向旋轉(zhuǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)v 90 的大圓弧增補線，把它視為奈氏曲線的一的大圓弧增補線，把它視為奈氏曲線的一部分。然后再利用奈氏判據(jù)來

51、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。部分。然后再利用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.3.由奈氏判據(jù)判穩(wěn)的實際方由奈氏判據(jù)判穩(wěn)的實際方100 例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為)1()11 . 0()( sssksGk起點：起點： Gk(j0) = 270 終點：終點： Gk(j ) = 090 與坐標(biāo)軸交點：與坐標(biāo)軸交點： x =101/2 Re( x) = 0.1k 用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。（2 2）作開環(huán)極坐標(biāo)圖）作開環(huán)極坐標(biāo)圖 解解：（：（1 1）從開環(huán)傳遞函數(shù)知從開環(huán)傳遞函數(shù)知 p = 1 0j-101(3) 穩(wěn)定性判別穩(wěn)定性判別: 因為是因為是1型系統(tǒng)，需作增補線如圖型

52、系統(tǒng)，需作增補線如圖 當(dāng)當(dāng) 0.1k 10時，時， R =1/2，z = p 2R = 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ImRe0=0增補線10.1k)1()11 . 0()( sssksGk三、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析三、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析在工程控制系統(tǒng)中，首先要求系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的（絕對在工程控制系統(tǒng)中，首先要求系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的（絕對穩(wěn)定性），并且還要求有一定的穩(wěn)定安全系數(shù)，即穩(wěn)定裕穩(wěn)定性），并且還要求有一定的穩(wěn)定安全系數(shù)，即穩(wěn)定裕度。度。系統(tǒng)穩(wěn)定裕度表明系統(tǒng)相對穩(wěn)定的程度系統(tǒng)穩(wěn)定裕度表明系統(tǒng)相對穩(wěn)定的程度。( (一一) )系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的表述系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的表述 系統(tǒng)的系統(tǒng)的

53、Nyquist曲線越接近曲線越接近(-1,j0)點，其振蕩性越大。點，其振蕩性越大。ReIm0-1A(g)c或或( (三三) )系統(tǒng)的系統(tǒng)的Nyquist圖和圖和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系圖的對應(yīng)關(guān)系180()/()0L()/dBcg 由圖可知，幅相曲線由圖可知，幅相曲線不包圍不包圍( 1，j0)點。此結(jié)點。此結(jié)果也可以根據(jù)果也可以根據(jù) 增加時幅增加時幅相曲線自下向上相曲線自下向上(幅角減幅角減小小)和自上向下和自上向下(幅角增加幅角增加)穿越實軸區(qū)間穿越實軸區(qū)間(， 1)的的次數(shù)決定。次數(shù)決定。 R = N N 自實軸區(qū)間（自實軸區(qū)間（， 1 1）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實軸）開始向下的穿

54、越稱為半次正穿越，自實軸區(qū)間（區(qū)間（， 1 1）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。ReIm01(+)()對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)： 一個反饋控制系統(tǒng)，一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實部根其閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)個數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)遞函數(shù)s 右半平面極點數(shù)右半平面極點數(shù)P 和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，正值的所有頻率范圍內(nèi)，對 數(shù) 相 頻 特 性 曲 線 與對 數(shù) 相 頻 特 性 曲 線 與 1802k 線的正負(fù)穿越線的正負(fù)穿越次數(shù)之差次數(shù)之差R = N N 確定確定 Z = P 2RZ為零，閉環(huán)系統(tǒng)

55、穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。-180()/()0L()/dB()(+)例例 一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù) )1()()(2 TssksHsG 解：解： 由開環(huán)傳遞函數(shù)知由開環(huán)傳遞函數(shù)知 P = 0 ，作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)，作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線頻率特性曲線 用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。180()/()0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270輔助線輔助線顯見顯見 N = 0，N =1 R = N N = 1 Z = P 2R = 2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié)

56、有兩個積分環(huán)節(jié) =2 ，故補畫了，故補畫了0 到到 180 的輔助線。的輔助線。例例 一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù) )1()1()()(12 sTssTksHsG 解解： 由開環(huán)傳遞函數(shù)知由開環(huán)傳遞函數(shù)知 P = 1 。 作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。 ( ) = 90 + arctan T2 (180 arctan T1 ) （T1T2）當(dāng)當(dāng) ( ) = 180 時，時， g =(1/T1T2)1/2 ，A( g)=kT2 穩(wěn)定性判別。穩(wěn)定性判別。 G(s)H(s)有一個積分環(huán)節(jié)有一個積分環(huán)節(jié) =1 ，故，故補畫了補畫了 180 到到

57、 270 的輔助線。的輔助線。212211)(arctan270TTTT 用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。)1()1()()(12 sTssTksHsG（T1T2）L()/dB1/T140dB/dec180()/()02701/T220dB/dec20dB/dec90gc() 當(dāng)當(dāng) g 1，N = 1，N =1/2R = N N = 1/2 Z = P 2R = 0故系統(tǒng)穩(wěn)定。故系統(tǒng)穩(wěn)定。 () 當(dāng)當(dāng) g c 時，即時，即A( g) 1，N = 0，N =1/2R = N N = 1/2 Z = P 2R = 2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。第六節(jié)第六節(jié) 頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)的關(guān)系頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)的關(guān)系采用時域指標(biāo)分析系統(tǒng)的性能最為直觀，而對控制系統(tǒng)的采用時域指標(biāo)分析系統(tǒng)的性能最為直觀，而對控制系統(tǒng)的分析和校正，往往采用頻率特性法比較方便，這就需要進(jìn)一分析和校正，往往采用頻率特性法比較方便，這就需要進(jìn)一步探討頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)之間的關(guān)系。步探討頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)之間的關(guān)系。一、開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系一、開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系 用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能時，一般用用開環(huán)頻率