線性代數(shù)總復(fù)習(xí)講義

1、線性代數(shù)總復(fù)習(xí)線性代數(shù)總復(fù)習(xí)l一、行列式一、行列式l二、矩陣二、矩陣l三、向量組三、向量組l四、線性方程組的解四、線性方程組的解l五、特征值與特征向量五、特征值與特征向量第一章教學(xué)要求第一章教學(xué)要求：1了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。2會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式。3理解克萊姆法則及其應(yīng)用。 n階行列式的計(jì)算方法很多，除直接按定義計(jì)算外，一般還有下列方法： 1利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式計(jì) 算法 2. 降階展開(kāi)法 行列式的計(jì)算第二、三章教學(xué)要求第二、三章教學(xué)要求：1理解矩陣的概念。2了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣，以及它們的性質(zhì)。3掌握

2、矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪、方陣乘積的行列式。4理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求矩陣的逆。5掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，掌握用初等變換求逆矩陣的方法；及求矩陣的秩的方法。6了解分塊矩陣及其運(yùn)算。1了解n維向量的概念。2理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，了解并會(huì)用有關(guān)向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的重要結(jié)論。3了解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩。4 了解向量組等價(jià)的概念，了解向量組的秩與矩

3、陣秩的關(guān)系。重要結(jié)論2重要結(jié)論1第四章教學(xué)要求第四章教學(xué)要求：5理解理解齊次齊次線性方程組有線性方程組有非零解非零解的充分必要條件及的充分必要條件及非非齊次齊次線性方程組線性方程組有解有解的的充分必要條件充分必要條件。6理解理解齊次線性方程組的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系、通解通解的概念及的概念及 求法。求法。3理解理解非齊次線性方程組解的非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)及及通解通解的概念。的概念。4掌握掌握用行初等變換求非齊次線性方程組用行初等變換求非齊次線性方程組通解通解的的方方法法。Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A) r(A,b)無(wú)解齊次方程的基礎(chǔ)解系克拉默法則，r(A)

4、=r(A,b) 整體相關(guān)縮短不變性若向量組中向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù)必線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)整體無(wú)關(guān) = 部分無(wú)關(guān)加長(zhǎng)不變性R n 中，任一無(wú)關(guān)組向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù) n向量組 a1 , a2 , am 線性無(wú)關(guān)， 而添加 形成的向量組 a1 , a2 , am , 線性相關(guān)， 則 可由 a1 , a2 , am 線性表示，且表示唯一。結(jié)論1結(jié)束計(jì)算問(wèn)題1）怎樣求矩陣 A 的秩？- 行行、列則 秩（A） 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)行階梯形矩陣初等變換行)(A最常用2）怎樣求向量組 的秩？ - 行行、列s,21 以向量組 中各向量作為列向量， 構(gòu)成矩陣 A ； 求出矩陣 A 的秩，也即原向量組的秩s,213）

5、怎樣判斷向量組 的相(無(wú))關(guān)性？ - 行行、列s,21 求出秩（ ） r 比較 r 與 s 的大小s,21r = s 線性無(wú)關(guān)r s 線性相關(guān)當(dāng)向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)時(shí)求D 0 線性無(wú)關(guān)D= 0 線性相關(guān)s,214）怎樣求向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組？ - 行行s,21 以向量組 中各向量作為列向量， 構(gòu)成矩陣 A ； 則 B 中各首非零元所在列對(duì)應(yīng)的 A 的部分向 量組就為 向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組。s,21BA行階梯形矩陣初等變換行)(s,215）怎樣利用 4) 中求出的極大無(wú)關(guān)組表示其余向量？ - 行行 求出向量組 的極大無(wú)關(guān)組；(2)解非齊次線性方程組即可。 BA行階梯形矩陣初等變換行)(s,2

6、1“關(guān)于矩陣的秩”怎樣的情況下矩陣的秩不變？初等變換不改變矩陣的秩矩陣等價(jià)矩陣轉(zhuǎn)置乘可逆矩陣矩陣的秩不變矩陣運(yùn)算對(duì)秩的影響？ r ( A+（）B ) r ( A) + r (B) ; r ( AB ) min r ( A ) ，r ( B ) . 行秩列秩矩陣的秩方陣的秩與行列式的關(guān)系向量線性無(wú)關(guān)個(gè)行（列）的nAA是可逆矩陣0 AnAr)(稱(chēng)A是可逆，非奇異，非退化，滿秩的向量線性相關(guān)個(gè)行（列）的nAA是不可逆矩陣0 AnAr)(稱(chēng)A是不可逆，奇異，退化，不滿秩的 設(shè)A是 n 階方陣返回返回性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線有階方陣相似于對(duì)角矩陣nAn) 1 (2) 方陣 A 的屬于不同特征值的特征向量線

7、性無(wú)關(guān).(3) 設(shè) 是 n 階方陣 A 的一個(gè) k 重特征值，則 A 的屬于特征值 的特征向量中，極大線性無(wú)關(guān)組包含的向量個(gè)數(shù)不多于 k 個(gè)。亦即齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系包含的向量個(gè)數(shù)最多有 k 個(gè)。00)(0 xAE0的。對(duì)角矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必相似于n (4) 設(shè) A 是一個(gè) n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則向量個(gè)數(shù)恰有 k 個(gè).求正交矩陣Q的步驟 (1)求出A的特征多項(xiàng)式 的全部不同的根 ，即為A的全部不同的特征值；AE s,21 (2)對(duì)每個(gè)特征值 ，解齊次線性方程組 求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系),2, 1(sii,0)(xAEi;,21iirii (3) 將 正交化、單位化，得到一個(gè)正交單位向量組 是

8、屬于特征值 的一組線性無(wú)關(guān)的量；iirii,21iirii,21i (4) 將對(duì)應(yīng)于全部不同特征值 的線性 無(wú)關(guān)特征向量 作為列向量構(gòu)成矩陣Q，即為所求之正交矩陣亦即使得Q-1AQ為對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線上的元素即為A的全部特征值),2, 1(siissrssrr,21,222211121121結(jié)束重要的定理或性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1) ();TTAA (2) ();TTTABAB(3) ();TTAA (4) ().TTTABB A 重要的定理或性質(zhì)一、行列式.2112221122211211aaaaaaaaD ,312213332112322311322113312312

9、332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1、二階三階行列式的計(jì)、二階三階行列式的計(jì)算算2、n階行列式的計(jì)算階行列式的計(jì)算 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零(1) 利用行列式的性質(zhì)計(jì)

10、算利用行列式的性質(zhì)計(jì)算（化為三角形）（化為三角形）性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式0112012120112110 D解解21rr D0112012121102011 13rr 142rr 4130211021102011 23rr 143rr 2200420021102011 34rr 2000420021102011 4)2

11、()2()1(1 0112012121102011 D(2) 利用行列式展開(kāi)計(jì)算利用行列式展開(kāi)計(jì)算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 例例3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 二、矩陣二、矩陣1、矩陣的逆的求法、

12、矩陣的逆的求法（1）公式法（伴隨法）公式法（伴隨法）.1nnn2n12n22121n21111的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中元元素素為為行行列列式式的的伴伴隨隨矩矩陣陣，為為其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA （2）初等變換法）初等變換法):(EA行的初等變行的初等變換換):( E1 A例例1 1 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A2 .1存在存在 A412182466 1111) 1( A34122 2112) 1( A33123 （公式法）（公式法） 343122321A3113) 1( A43222 1221)

13、1( A34326 2222) 1( A33316 3223) 1( A43212 1331) 1( A12324 2332) 1( A12315 3333) 1( A22212 332313322212312111AAAAAAAAAA得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,222563462 6, 6, 2, 3, 22221131211 AAAAA2, 2, 5, 4, 233323123 AAAAA（初等變換法）（初等變換法） 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 3431

14、22321A 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩矩陣陣的的方方法法，還還可可用用于于求求利利用用初初等等行行變變換換求求逆逆陣陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行變換初等行變換2、矩陣的秩、矩陣的秩矩陣秩的求法矩陣秩的求法 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的

15、秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例例 4321,6063324208421221bA設(shè)設(shè) .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣bABA 46063332422084211221):(BbA解解 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR三、向量之間的關(guān)系三、向量之間的關(guān)系1、線性組合、線性組合mmb 2211，使，使，一組數(shù)一組數(shù)如果存在如果存在和向量

16、和向量給定向量組給定向量組mmbA ,: 2121的線性組合，這時(shí)稱(chēng)的線性組合，這時(shí)稱(chēng)是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA定義定義存在矩陣存在矩陣 ， Ab 使得使得矩陣方程矩陣方程bAX 有解有解判定判定),()(bARAR b),21mA （ 線性表示線性表示能由能由),()(BARAR 能能由由（),21sbbbB ),21mA （ 線性表示線性表示存在矩陣存在矩陣 ，KAKB 使得使得矩陣方程矩陣方程BAX 有解有解例例設(shè)設(shè),22111 a,31212 a,04113 a,1301 b證明向量證明向量 能由向量組能由向量組 線性表示，并

17、線性表示，并b321,aaa求表示式。求表示式。解解只需證矩陣只需證矩陣),(321aaaA 與矩與矩),(),(321baaabAB 陣陣有相同的秩。有相同的秩。下面把矩陣下面把矩陣 化為行最簡(jiǎn)形：化為行最簡(jiǎn)形：B法一法一),(),(321baaabAB 1032341201211111行的初等變換行的初等變換 00000000121023012)()( BRAR向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示。線性表示。b321,aaa由最簡(jiǎn)形知，方程組由最簡(jiǎn)形知，方程組bAx 的通解為的通解為從而從而 012123cx ccc1223 cccaaaAxb1223),(321321)12()23(

18、caacac 其中其中 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。c法二法二設(shè)設(shè)bakakak 332211即即也即也即 22111k 31212k 04113k 1301 13234202121321321321kkkkkkkkkkk321)12()23(caacac 其中其中 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。c解得其通解解得其通解為為 231 ck122 ckck 3332211akakakb 故向量故向量 可由向量組可由向量組 線性表示，且線性表示，且b321,aaa其中其中 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。c0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量

19、組組:,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)n 定義定義則稱(chēng)向量組則稱(chēng)向量組 是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)A2、線性相關(guān)性、線性相關(guān)性02211 nn 01 n .)(; ),( , 2121mARmAmm 條條件件是是必必要要向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充分分秩秩小小于于向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣要要條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必向向量量組組 定理定理判定判定線線性性相相關(guān)關(guān)維維向向量量個(gè)個(gè)nnn , 21nRARn ),( )(21 0|,| |21 nA 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)線線性性維維向向量量個(gè)個(gè)nnn , 21nRARn ),( )(21

20、 0|,| |21 nA ， 742520111321 .21321的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性，及及，試討論向量組試討論向量組 已知已知例例1 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)向量組向量組線性相關(guān)；線性相關(guān)；，向量組，向量組可見(jiàn)可見(jiàn) RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201., , 321133322211321的的相相關(guān)關(guān)性性討討論論線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組例例2 2bbbbbb 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133

21、322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即線性無(wú)關(guān)，故有線性無(wú)關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx解解02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx 3、最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩、最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩，r ,21設(shè)有向量組設(shè)有向量組 ，A滿足下面兩個(gè)條件：滿足下面兩個(gè)條件：如果能在如果能在 中選出中選出 個(gè)向量個(gè)向量rArA ,:210（1）向量組）向量組 線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)；0A線性表

22、示。線性表示。（2）向量組）向量組 中的每一個(gè)向量都能由向量組中的每一個(gè)向量都能由向量組A則稱(chēng)向量組則稱(chēng)向量組 為向量組為向量組 的的最大無(wú)關(guān)組最大無(wú)關(guān)組。 0AA最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù) 稱(chēng)為稱(chēng)為向量組的秩向量組的秩。r向量組的秩的求法向量組的秩的求法maaa,21向量組向量組 的秩的秩),(21maaaA 的秩的秩矩陣矩陣. 最大無(wú)關(guān)組最大無(wú)關(guān)組行即是行向量組的一個(gè)行即是行向量組的一個(gè)所在的所在的最大無(wú)關(guān)組，最大無(wú)關(guān)組，列即是列向量組的一個(gè)列即是列向量組的一個(gè)所在的所在的，則，則的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式是矩陣是矩陣若若rDrDADrrr最大無(wú)關(guān)組的求

23、法最大無(wú)關(guān)組的求法 97963422644121121112 A設(shè)矩陣設(shè)矩陣 例例.用用最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示屬屬最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大求求矩矩陣陣A行階梯形矩陣行階梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)閷?duì)對(duì) A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行變換初等行變換 .3 個(gè)向量個(gè)向量組含組含故列向量組的最大無(wú)關(guān)故列向量組的最大無(wú)關(guān)且且 列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為A421,aaa 00000310003011040101 初等行變換初

24、等行變換AB 因此因此213aaa 4215334aaaa 四、線性方程組的解四、線性方程組的解定理定理 n元線性方程組元線性方程組bAx 1),()(bARAR 有唯一解有唯一解2) nbARAR ),()(無(wú)解無(wú)解3)nbARAR ),()(無(wú)窮多解無(wú)窮多解定理定理 n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 有非零解有非零解0 AxnAR )(定理定理 設(shè)設(shè)nm 矩陣矩陣 的秩的秩 ，ArAR )(則齊次線性則齊次線性 的解集的解集 的秩為的秩為線性方程組線性方程組0 Ax. rnRS S rnrnkkkx2211其中其中 為任意實(shí)數(shù)。為任意實(shí)數(shù)。rnkkk ,21非齊次線性方程組的通解非齊次線

25、性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 的一個(gè)特解為的一個(gè)特解為* 齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax的基礎(chǔ)解系為的基礎(chǔ)解系為rn ,21則非齊次線性方程組則非齊次線性方程組bAx 的解解為的解解為例例 求解非齊次方程組求解非齊次方程組1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc則則1122

26、12314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）法法1：法法2： 令令, 043 xx得得 0074713 又原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解是又原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 1074713,01727321 所以原方程組的通解是所以原方程組的通解是2211 kk 12(,k k為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）五、特征值與特征向量五、特征值與特征向量（1）如何求）如何求 的特征值？的特征值？A0| EA 解特征方程解特征方程特征方程的根即為矩陣特征方程的根即為

27、矩陣 的特征值。的特征值。A（2）如何求屬于特征值）如何求屬于特征值 的特征向量？的特征向量？ 解齊次線性方程組解齊次線性方程組 0)( xEA 其非零解即為屬于特征值其非零解即為屬于特征值 的特征向量的特征向量 1、特征值與特征向量的求法、特征值與特征向量的求法例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的全全體體特特征征向向量

28、量為為故故對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 ).0,(323322不不同同時(shí)時(shí)為為kk pkpk n 21 APP1使得使得 則則若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣 ，),(21nxxxP （1） 為矩陣為矩陣 的特征值的特征值i A（2） 為對(duì)應(yīng)于特征值為對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量。的特征向量。ixi 2、方陣的對(duì)角化、方陣的對(duì)角化 163053064A設(shè)設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角能否對(duì)角化？若能對(duì)角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A 得方程組得方程組代入代入將將0121 x