D110閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)76318PPT學(xué)習(xí)教案VIP

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D110閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)76318注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxf12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn) ,xyab)(xfy O第1頁/共12頁例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也無最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11第2頁/共12頁,)(baxf在因此12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMba

2、x)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 證明略 )推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O第3頁/共12頁設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: 在閉區(qū)間

3、上的連續(xù)函數(shù)C使.)(Cf至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .xAbya)(xfy BO第4頁/共12頁O1x01423 xx一個(gè)根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有則則4321內(nèi)容小結(jié) 第5頁/共12頁已知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù),即:,0Ix ,

4、0,0)(0 x,0時(shí)當(dāng) xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關(guān)與x,0無關(guān)時(shí)與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, )(Ixxf對(duì),0若,0存在,21Ixx對(duì)任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(上連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(,21時(shí)當(dāng) xx第6頁/共12頁xxf1)(, 1,0(C但不一致連續(xù) .因?yàn)? ) 10(0取點(diǎn), )(,11211Nnxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理4., ,)(

5、baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考思考: P74 題 *7提示提示:設(shè))(, )(bfaf存在,作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然第7頁/共12頁則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)0)()(bfaf時(shí), ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba第8頁/共12頁1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示提示:建立坐標(biāo)系如圖.xOy則面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S第9頁/共12頁則, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 易證0)()0(a作業(yè)作業(yè)P74 (習(xí)題110） 2 ; 3; 5一點(diǎn)習(xí)題課 第10頁/共12頁,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf1e3xx至少有一個(gè)不超過 4 的 證證：證明