動力氣象學 第三章 尺度分析與基本方程組簡化

1、第三章第三章 尺度分析與基本方程組的簡化尺度分析與基本方程組的簡化（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONSSCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS） 為什么要簡化基本方程組？為什么要簡化基本方程組？數(shù)學上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難數(shù)學上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難物理上：影響大氣運動的因子很多，重點不突出物理上：影響大氣運動的因子很多，重點不突出原因：描述大氣運動的基本方程組非常復雜原因：描述大氣運動的基本方程組非常復雜因此：需要簡化因此：需要簡化數(shù)學上：略去方程中相對較小的項，保留大項，使方程簡單，容

2、易求解數(shù)學上：略去方程中相對較小的項，保留大項，使方程簡單，容易求解物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握現(xiàn)象本質；物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握現(xiàn)象本質；最終結果：最終結果：使簡化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來更加方便。使簡化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來更加方便。 具體來說，大氣中存在各種具體來說，大氣中存在各種不同尺度不同尺度的運動，雖然它們都用同一個基本方程組的運動，雖然它們都用同一個基本方程組來描述，但由于運動的來描述，但由于運動的尺度尺度不同，使其運不同，使其運動性質不一樣。動性質不一樣。 當我們研究某一特定當我們研究某一特定尺度尺度

3、運動時，只運動時，只有抓住決定該有抓住決定該尺度尺度運動的主要因子，忽略運動的主要因子，忽略那些次要因子，才能把握該運動的基本特那些次要因子，才能把握該運動的基本特性。性。途徑：尺度分析途徑：尺度分析 一般，采用一般，采用尺度分析尺度分析方法。它是一種方法。它是一種對物理方程進行分析和簡化的有效方法。對物理方程進行分析和簡化的有效方法。 這一方法是恰尼（這一方法是恰尼（1948年）首先倡導年）首先倡導的。以后經(jīng)伯格（的。以后經(jīng)伯格（Burger,1958年）、年）、菲利普斯（菲利普斯（1963）等人進一步發(fā)展完善，）等人進一步發(fā)展完善，現(xiàn)在大氣動力學和數(shù)值天氣預報的研究中現(xiàn)在大氣動力學和數(shù)值天

4、氣預報的研究中得到廣泛的應用。得到廣泛的應用。 一、尺度的概念一、尺度的概念 由實際觀測資料可知，任一物理量都有一定的變動范圍，我們可以用各物理量場具有代表意義的量值來表示它的基本特征。 各物理量具有代表意義的量值稱為該物理量的特征值特征值。這一特征值就是尺度尺度。一般是用它的數(shù)量級來表征它的大小。 例如例如，在天氣圖上常見的天氣系統(tǒng)中（中低層大氣），水平風速大致在5到25ms-1 之間，故可取10ms-1 作為它的尺度。 若水平速度尺度（特征值）記作V，實際水平速度可以寫為：u=Vu* v=Vv*，u*、v*為一無量綱量，其量值在0.5-2.5之間。 將任一物理量寫作： *Qqq 其中： Q

5、特征量， 表示該物理量的一般大??； 常量；有量綱 無量綱量，量級在 100左右，表示物理量的具體大??；是變量；沒有量綱 *q 這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項。 比較物理量的大小，可以比較特征量Q的大?。础俺叨取保?。 如：已知：*,TttVuu則：則：*tuTVtu是其無量綱量。的特征量，是*tutuTV二、二、“尺度分析尺度分析”概念概念 依據(jù)表征某類運動系統(tǒng)某類運動系統(tǒng)各場變量的特征值，來估計大氣運動方程中各項量級大小的一種方法。根據(jù)尺度分析的結果，結合物理上的考慮，略去小項，保留大項，以得到突出某類運動特征的簡化方程?！俺叨确治龀叨确治觥钡牟襟E：的步驟：明確要分析的運

6、動系統(tǒng)， 即（大、中、?。┏叨冗\動；了解該尺度運動中各基本物理量的特征量的量級大??；將q=Qq*代入方程，寫出方程中各項的特征量；計算各項特征量的量級；比較大小，保留大項，略去小項。410410431010104101051051051061041010待定尺度待定尺度 ., PW在中高緯度大尺度大氣運動中，各物理量的特征量為： smHmLmsWmsV54612111010;10;10;10；基本尺度：303253/10,/101010mkgmkgPaPPPaPzhzh，氣壓和密度的變化：FFWWWVVVhtzhzh即：其水平變化尺度相同的時間變化尺度與同時認為：任意物理量物理量變化尺度：,F

7、; 12510 :sm空氣分子的粘性系數(shù)1151424360022210292. 72sin210SSfsff對中高緯地區(qū)ufvwfxpzuwyuvxuutu21TVLV2HVWLPh1Wf0Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-6 10-3 10-12 ms-2其中： 2222222zuyuxuu222HVLVLV三、運動方程的尺度分析三、運動方程的尺度分析2HVvfuypzvwyvvxvutv21TVLV2HVWLPh01Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 ms-2wufgzpzwwywvxwutw21TwLVWHW2HPz1G

8、Vf02HW 10-7 10-7 10-8 101 101 10-3 10-15 ms-2 分子粘性力可以忽略不考慮分子粘性和湍流粘性“自由大氣”對短期天氣過程來說，分子粘性很小，即日常天氣過程可以不計；對氣候學來說，分子粘性累積起來就很大了，所以不能忽略！流邊界層，分子粘性力可略湍低層：湍流粘性力重要氣；流粘性力可略自由大高層：層流，分子、湍討論：討論： 取“零級近似”，即只保留量級最大項，得到的簡化方程為：010101gzpfuypfvxp 水平方向上： 01Vk fph水平氣壓梯度力水平科氏力0 地轉平衡“零級近似”的特點：這表明“大尺度”運動中水平氣壓梯度力與科氏力基本相平衡的，運動是

9、準地轉的。0101fuypfvxp矢量形式：矢量形式：(Geostrophic balance)地轉平衡關系的重要性： 揭示了風場與氣壓場之間最簡單，最基本的聯(lián)系。大尺度運動處于準地轉平衡狀態(tài)，這是大尺度運動一個重要性質。 The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.地轉平衡運動的特征

10、：動力學特征： 水平壓力梯度力與科氏力相平衡運動學特征： 風沿等壓線吹；背風而立，高壓在右， 低壓在左（南半球相反）。地轉風的表達式： PkfVhg1南半球：南半球：0, 0f在南半球：高壓反氣旋逆時針 垂直方向上： 01gzp靜力平衡 上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，在大尺度運動中，任何一點的氣壓相當精確地等于該點在大尺度運動中，任何一點的氣壓相當精確地等于該點以上單位截面積的重量。以上單位截面積的重量。注意：這不意味沒有垂直運動，只是近似平衡。注意：這不意味沒有垂直運動，只是近似平衡。Hydrostatic equilibri

11、um靜力平衡關系的重要性： 給出了瞬時氣壓場、密度場、溫度場之間的關系。 大尺度運動經(jīng)常處于準準靜力平衡狀態(tài)，這是大尺度運動又一重要性質。 運動方程的零級近似式中不含有氣象要素的時間導數(shù)項，稱其為診斷方程。不能對速度場作確定，因此不能作為預報方程。注意：注意：0yvxu四、連續(xù)方程的零級簡化形式：四、連續(xù)方程的零級簡化形式：水平無輻散連續(xù)方程的零級簡化說明大尺度運動是準水平無幅散的。小結：“零級近似”得到的平衡方程：0010101yvxugzpfuypfvxp這組方程中不含有時間偏導數(shù)項，所以稱之為“平衡簡化方程組”。這組方程中不含有熱力學方程 由此可見，中高緯度大尺度大氣運動的主要特征是：準

12、地轉平衡、準靜力平衡、準水平無輻散、準水平、準定常。五、一級簡化方程pCRpppRpRTpdtdpdtdTCzwyvxutzwyuxugzpfuypyvvxvutvfvxpyuvxuutu00001000111其中或 一級簡化方程組可稱為“非平衡簡化方程組”。在這一方程組中，運動方程是不含有W項。由于垂直運動對于大氣變化有重要影響，雖在運動方程中一般對流項比其它項要小，但作為預報方程，一般還應保留對流項。一級簡化方程組中的連續(xù)方程不含時間導數(shù)項，這表明密度場基本上是定常的，可作為預報方程有時也保留時間導數(shù)項。此外，熱力學方程此時常采用絕熱形式：01dtdpdtdTCp由尺度分析可以證明，氣壓的

13、全導數(shù)幾乎由垂直運動決定。對于中緯度大尺度運動zpwypvxputpdtdp11111210101sHPwzpwsPLUypvxputpzhgwzpwdtdp0wCgzTwyTvxTutTpzTCgdp,0wyTvxTutTd尺度分析得：略去小項有：由此得到熱力學一級簡化方程：其中，上式改寫為：靜力平衡關系 這說明大尺度運動中溫度的局地變化主要是由溫度平流和垂直運動決定的。 一級簡化方程與原方程組最大的差異在于垂直運動方程采用了靜力平衡關系，這樣簡化了數(shù)學處理，它能濾去聲波。 鉛直厚度特征值大氣（有必要引入單獨的層結氣中，乎發(fā)生在同樣地層結大因為各種范圍的運動幾同（合理）為與其它運動學變量相氣

14、壓擾動的時空尺度?。ê竺嬗浱柎藭r且認為，將其分解為為了處理和分析的方便且它類似）表明（以氣壓舉例，其層結大氣的觀測事實，有點麻煩?。┏叨龋簾崃W變量（),),(,(,pPPPPPPPgzpTRptzyxpzppPPypxpzpTpzhzhhh的尺度也視為視為等溫大氣的溫度，其中（怎么來的？）也稱為大氣的標高時的厚度。隨高度的變化為是認為厚度尺度（熱力學基本狀態(tài)的鉛直TTmgRTHHeppH*4*10.) LDUWLUDWDWLULUDWHWDWDWLULULUzwyvxuzwzwVtxxxxxtzyxzzwyvxudtd或結論：僅僅是高度的函數(shù)）注意若（數(shù)學技巧：，忽略二階小量靜力扣除，先來

15、看連續(xù)性方程,0ln() 1,111,)1ln(),(0ln討論尺度取決于你關心同一件事物的哪個方面既然如此，為何不同尺度的運動方程，同一物理項為何會有不同的量級？因為，不同尺度的運動方程，使用不同的資料處理方法（這是資料同化研究的中心課題）（初始場與模式的協(xié)調性）尺度分析的經(jīng)驗性和非嚴謹性（小項一定不重要么；小項總是小的么）六、無量綱動力學參數(shù) 在動力氣象學中，經(jīng)常利用特征尺度，引進無量綱變量，將動力學方程無量綱化，并由此得到一些由基本尺度 和環(huán)境參數(shù) 組成的無量綱參數(shù)無量綱參數(shù)，這些無量綱參數(shù)都具有明確的物理意義。無量綱方程和無量綱參數(shù)在對大氣運動進行動力分析時十分有用。UDL,Hfg,0

16、方程無量綱化的步驟：1）把方程各項寫作 “特征量無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程” ： 用方程中某一項的特征量同除方程的每一項（量綱齊次性原理）無量綱方程各項前面的系數(shù)無量綱（數(shù)）體現(xiàn)各項的相對重要性。 例：例：fvxpyuvxuutu1*tuTV*2yuvxuuLV)1(1*0 xPLPh)(*0vfVf 兩邊同除以科氏力的特征量 Vf0以水平運動方程的以水平運動方程的“一級近似一級近似”為例為例*01)(vfxpyuvxuutuR特征科氏力項特征慣性力項VfLVR020VfLPVLTh001;其中：其中：非地轉。，滿足準地轉；度很小，可忽略特征慣性力很小，加速000010,10RR（

17、Rossy數(shù)）數(shù)）（所以可以通過Rossy數(shù)判斷是否準地轉運動）上式即無量綱方程上式即無量綱方程特征無量綱參數(shù)特征無量綱參數(shù)牽連渦度尺度相對渦度尺度000020/ffLVVfLVR又：運動平流時間慣性特征時間aiVLfVfLVR/10020R0=1時，非線性平流項不能忽略，因此，方程式非線性的，相對渦度大于或等于牽連渦度，運動的平流時間小于或等于慣性運動時間，這樣的運動過程稱為快過程快過程。a) 中緯度大尺度運動： smVsf14010,10mL610110100LfVR準地轉RossbyRossby數(shù)的應用：數(shù)的應用： b) 中緯度中小尺度運動： smVsf14010,10mL5100001

18、0LfVR非地轉c) 熱帶大尺度運動： smVsf15010,10mL61000010LfVR 非地轉七、地轉參數(shù)的簡化、及平面近似afyfayffyffyyyfyyyfyyyfff注意：其中高次項，則處如設高次項0000000222cos2sin20! 210000000aLfy000sincos現(xiàn)對地轉參數(shù)來進行分析。將f在緯度0處展開成泰勒級數(shù)，則有：若令L代表運動的徑向水平尺度，則（）式前兩項之比為： 因此，在中緯度地區(qū)，若運動的經(jīng)向水平尺度遠小于地球半徑時 ，可以取 既把f作為常數(shù)處理，這種近似稱為 近似。取這種近似相當于完全沒有考慮地球球面性所引起的f隨緯度的變化。 高一級近似是所

19、謂 平面近似，其主要內容是：（一）當f處于系數(shù)地位不被微商時，?。?；（二）當f處于對y求導時，取 為常數(shù)。 即：f=f0+y1aL0ff 0f0ff dydf 局地直角坐標系中，垂直坐標軸Z是以長度長度（米）（米）為單位來度量，描述大氣運動方程組的物理意義比較清楚。在這種坐標系中運動方程中（如氣壓梯度力）與連續(xù)方程中均含有密度密度項。八、八、P坐標坐標But：“密度密度”一般不是常規(guī)測量的物理量，這樣分析對比不同高度處氣壓梯度力時很不方便。于是，在氣象學中常采用氣壓P作為垂直坐標，在這種坐標系中，氣壓梯度力已不含密度的因子，用起來較方便，所以在實際工作中也進行等壓面圖的分析。1、P坐標系的概念用氣壓P替換z坐標系中的垂直坐標就可得到P坐標系。水平坐標x,y不變。把z坐標轉換為P坐標的基本關系是靜力平靜力平衡方程衡方程 :它與z的坐標方向相反。gdzdp2. 垂直坐標系轉換（Z P）任一氣象要素FF(x,y,z,t)=F(x,y,z(x,y,p,t),t)=F(x,y,p,t)zpztPPFtFtFzpzxPPFxFxFzpzyPPFyFyFzPPFzFpzt