用思維導(dǎo)圖突破圓錐曲線壓軸題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 最值問(wèn)題 訓(xùn)練篇A1直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6B4,8C，3 D2，3解 選A設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得|AB|2，所以ABP面積的最大值為|AB|·dmax6，ABP面積的最小值為|AB|·dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,62斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2

2、B. C. D.解 選C設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.3已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1d2的最小值為_解 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2|PF|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31. 4過(guò)圓x2y

3、21上一點(diǎn)作圓的切線，與x軸、y軸的正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A. B.C2 D3解 選C設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0，y0)，其中x00，y00，則有xy1，且切線方程為x0xy0y1.分別令y0，x0得A，B，則|AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)x0y0時(shí)，等號(hào)成立5已知點(diǎn)P是橢圓1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且·0，則|的取值范圍是()A0,3)B(0,2) C2，3) D(0,4解 選B如圖，延長(zhǎng)F1M交PF2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.·0，.又MP為F1PF2的平分線，|PF1|PG|，且M為F1G的中點(diǎn)O為F1F

4、2中點(diǎn)，OM=F2G.|F2G|PF2|PG|PF1|PF2|，|2a2|PF2|4|PF2|.42<|PF2|<4或4<|PF2|<42，|(0,2)6.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若為等邊三角形，求的離心率；（2）如果存在點(diǎn)，使得，且的面積等于16，求的值和的取值范圍.解 （1）連接，由為等邊三角形可知在中，于是，故曲線的離心率.（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在當(dāng)且僅當(dāng)：，即，由及得，又由知，故，由得，所以，從而，故，當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn).7 已知橢圓1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|6，直線ykx與橢圓交于A，B

5、兩點(diǎn)(1)若AF1F2的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線PA的斜率k1(2，1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍解 (1)由題意得c3，根據(jù)2a2c16，得a5.結(jié)合a2b2c2，解得a225，b216.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由得x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2BF2，因?yàn)?x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x

6、28，所以有8，結(jié)合b29a2，解得a212，所以離心率e.(3)由(2)的結(jié)論知，橢圓方程為1，由題可知A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2k11可知，k2.即直線PB的斜率k2.8. 已知橢圓的離心率是（1）求橢圓的方程；（2）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交軸于不同的兩點(diǎn). 如果為銳角，求的取值范圍解 （1）由題意解得.所以橢圓的方程為 4分（2）由已知直線的斜率不為0.設(shè)直線方程為.直線與橢圓的交點(diǎn)為.由得.由已知，判別式恒成立，且直線的方程為，令，則.同理可得.所以 .將代入并化簡(jiǎn)，得.依題意，為銳角，

7、所以，即.解得或.綜上，直線斜率的取值范圍是.9. 如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)(不含軸)一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上.(1)設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；(2)若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍. 分析 第（1）要設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，確定PA，PB其中點(diǎn)坐標(biāo)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，然后利用“點(diǎn)差法”或韋達(dá)定理證明P，M中點(diǎn)縱坐標(biāo)相同；第（2）題要求三角形面積，可視|PB|為底，為高，把底和高表示為或的函數(shù)，確定函數(shù)定義域，再求其最值.（1）解1設(shè)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，由在拋物線上得， 兩式相減并化簡(jiǎn)得 ，即，所以垂直于軸.解2 設(shè)，則中點(diǎn)為，中點(diǎn)在拋物線上，得，化簡(jiǎn)得同理可得，

8、因?yàn)?，所以是方程的兩個(gè)解，從而，即垂直于軸.（2）因?yàn)樵诎霗E圓上，由題意知.由（1）解2得 ， 所以 ，于是，令，則，所以.10.設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀；（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:()相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因?yàn)?所以, 即.當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓；當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓； 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組,得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則其=,(*)即,即,且因,故,解得且,即恒成立.又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為，, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.(3)設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,