混沌時間序列分析

1、 科學的目的就是要挖掘出事物的因果關系?？茖W的目的就是要挖掘出事物的因果關系。一個理論能否被接受，很重要的一個條件在于它一個理論能否被接受，很重要的一個條件在于它能否對事物的客觀規(guī)律作出一定的預測。能否對事物的客觀規(guī)律作出一定的預測。 根據(jù)混沌系統(tǒng)提取的非線性時間序列對系根據(jù)混沌系統(tǒng)提取的非線性時間序列對系統(tǒng)的未來進行預測，是一個十分重要的方向。統(tǒng)的未來進行預測，是一個十分重要的方向。 從時間序列研究混沌，始于從時間序列研究混沌，始于Packard等等1980提出的重構(gòu)相空間理論。提出的重構(gòu)相空間理論。 對于決定系統(tǒng)長期演化的任一變量的時間演對于決定系統(tǒng)長期演化的任一變量的時間演化，均包含了系

2、統(tǒng)所有變量長期演化的信息。因化，均包含了系統(tǒng)所有變量長期演化的信息。因此，我們可以通過決定系統(tǒng)長期演化的此，我們可以通過決定系統(tǒng)長期演化的任意單變?nèi)我鈫巫兞繒r間序列量時間序列來研究系統(tǒng)的混沌行為。來研究系統(tǒng)的混沌行為。 由時間序列恢復原系統(tǒng)最常用的方法利用由時間序列恢復原系統(tǒng)最常用的方法利用Takens 的延遲嵌入定理：的延遲嵌入定理：對于一個非線性系統(tǒng)對于一個非線性系統(tǒng),通過觀測通過觀測,可以得到一組測量值可以得到一組測量值x ( n)，n=1,2,N利用此測量值可以構(gòu)造一組利用此測量值可以構(gòu)造一組m 維向量維向量X( n) = ( x ( n) , x ( n +) , ,x ( n +(

3、 m - 1) ) n= 1,N- ( m - 1)如果參數(shù)如果參數(shù), m 選擇恰當選擇恰當,則則X( n) 可描述原系統(tǒng)。可描述原系統(tǒng)。稱為延遲時間，稱為延遲時間，m稱為嵌入維數(shù)。稱為嵌入維數(shù)。由由x(n)構(gòu)造構(gòu)造X(n) 稱為稱為相空間重構(gòu)。相空間重構(gòu)。相空間重構(gòu)例vHenon 映射nnnnnxyyxx3 . 04 . 11121該系統(tǒng)雖然有兩個狀態(tài)變量，但如果觀測到狀態(tài)變量Xn的信息，我們可以從Xn建立原系統(tǒng)的模型對狀態(tài)變量Xn進行相空間重構(gòu):Zn=(Xn,Xn-1) 由Zn 可以重構(gòu)原來的系統(tǒng)延遲時間間隔延遲時間間隔的選取的選取主要方法v 線性自相關函數(shù)法v平均互信息法（課后自行查閱）

4、平均互信息法（課后自行查閱）線性自相關函數(shù)法NnnNnnNnnnxNxxxNxxxxNC11211,)(1)(1)(其中定義自相關函數(shù)為 選擇使得自相關函數(shù)C()第一次為零時的的值為延遲時間嵌入維數(shù)嵌入維數(shù)m的選取的選取主要方法（課后查閱）虛假鄰點法關聯(lián)積分法奇異值分解法Lorenz系統(tǒng)bzxydtdzyzrxdtdyxydtdx)()(91.37,68.13,34.1538,2810000zyxbr初值，取Lorenz系統(tǒng)的吸引子(x-y-z）-40-20020400204060-20-1001020如果只觀測到變量x的值，利用x作相空間重構(gòu)取延遲時間為9，嵌入維數(shù)為3即令 (x(1),y(

5、1),z(1)=(x(19),x(10),x(1) (x(2),y(2),z(2)=(x(20),x(11),x(2) (x(3),y(3),z(3)=(x(21),x(12),x(3) -20-1001020-20-1001020-20-1001020-40-20020400204060-20-1001020重構(gòu)后的相圖(x-y-z)原始系統(tǒng)相圖(x-y-z)1 時間序列分析模型簡介時間序列分析模型簡介 一、時間序列分析模型概述一、時間序列分析模型概述1、自回歸模型、自回歸模型2、移動平均模型、移動平均模型3、自回歸移動平均模型、自回歸移動平均模型非線性時間序列預測基本思想設時間序列來自確定

6、性系統(tǒng)X(n)=F(X(n-1),F(.)為連續(xù)函數(shù)。若 X(n)和X(j)距離很小，則F(X(n)和F(X(j)距離也應很小，即X(n+1)和X(j+1)間的距離很小，從而 可以用X(j+1)作為X(n+1)的預測值。 ARMA模型是一類常用的隨機時間序列模型，是一模型是一類常用的隨機時間序列模型，是一種精度較高的時間序列短期預測方法，其基本思想是：某種精度較高的時間序列短期預測方法，其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間些時間序列是依賴于時間 的一族隨機變量，構(gòu)成該時的一族隨機變量，構(gòu)成該時間序列的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變間序列的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變

7、化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應的數(shù)學模型近似描述化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應的數(shù)學模型近似描述. 通過對該數(shù)學模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認識時通過對該數(shù)學模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認識時間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達到最小方差意義下的最優(yōu)預測間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達到最小方差意義下的最優(yōu)預測. t tX自回歸序列 ： tX1122tttptptXXXXu如果時間序列 是它的前期值和隨機項的線性函數(shù)，即可表示為【1】pp【1】式稱為 階自回歸模型，記為AR（ ） 注注1：實參數(shù)：實參數(shù) 稱為自回歸系數(shù)，是待估參數(shù)稱為自回歸系數(shù)，是待估參數(shù).隨機項隨機項 是相互獨立的白噪聲序列，且服從均值為是相互獨立

8、的白噪聲序列，且服從均值為0、方差為方差為 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.隨機項與滯后變量不相關。隨機項與滯后變量不相關。 12,p tu2注注2：一般假定：一般假定 均值為均值為0，否則令，否則令 tXttXX kBkktt kB XX212ptttpttXBXB XB Xu記 為 步滯后算子，即 ，則模型【1】可表示為212( )1ppBBBB 令 ，模型可簡寫為( )ttB XuAR（ ）過程平穩(wěn)的條件是滯后多項式 p( )B的根均在單位圓外，即 ( )0B的根大于1 【2】 tXtX1122ttttqt qXuuuu 如果時間序列 是它的當期和前期的隨機誤差項的線性函數(shù)，即可表示為 【3】qq

9、式【3】稱為階移動平均模型，記為MA（ ）注：實參數(shù)12,q 為移動平均系數(shù)，是待估參數(shù) 引入滯后算子，并令212( )1qqBBBB 則模型【3】可簡寫為 ( )ttXB u注1：移動平均過程無條件平穩(wěn) 注2：滯后多項式( )B的根都在單位圓外時，AR過程與MA過程能相互表出，即過程可逆，【4】21201itittiw Bw BXwBXu 即為MA過程的逆轉(zhuǎn)形式，也就是MA過程等價于無窮階的AR過程注3：【2】滿足平穩(wěn)條件時， AR過程等價于無窮階的MA 過程，即21201jttjtjXv Bv Buv Bu 自回歸移動平均序列自回歸移動平均序列 ：tXtX11221122tttpt ptt

10、tq t qXXXXuuuu 如果時間序列是它的當期和前期的隨機誤差項以及前期值的線性函數(shù)，即可表示為【5】( , )p q式【5】稱為階的自回歸移動平均模型，記為ARMA( , )p q12,p 12,q 注1：實參數(shù)稱為自回歸系數(shù)，為移動平均系數(shù)，都是模型的待估參數(shù)注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形注3：引入滯后算子，模型【5】可簡記為( )( )ttB XB u【6】注4：ARMA過程的平穩(wěn)條件平穩(wěn)條件是滯后多項式 ( )B的根均在單位圓外 可逆條件可逆條件是滯后多項式( )B的根都在單位圓外 12,tttt kXXXXkk構(gòu)成時間序列的每個序列值構(gòu)成時間序列的每個序列值相關關系稱為

11、自相關。自相關程度由自相關系數(shù)相關關系稱為自相關。自相關程度由自相關系數(shù)表示時間序列中相隔表示時間序列中相隔期的觀測值之間的相關程度。期的觀測值之間的相關程度。 之間的簡單之間的簡單度量，度量，121()()()n ktt ktknttXXXXXX注1：nkX是樣本量，為滯后期，代表樣本數(shù)據(jù)的算術平均值 注2：自相關系數(shù) k的取值范圍是 1,1 且|k越接近1，自相關程度越高 tX121,ttt kXXX tXt kX偏自相關是指對于時間序列，在給定的條件下， 與之間的條件相關關系。 kk11kk 其相關程度用度量，有 偏自相關系數(shù)111,111,112,3,1kkkjkjjkkkkjjjkk

12、kk其中是滯后期的自相關系數(shù)， 1,1,1,2,1kjkjkkkkjjk 如果一個時間序列是純隨機序列，意味著序列沒有任何規(guī)律性，序列諸項之間不存在相關，即序列是白噪聲序列，其自相關系數(shù)應該與0沒有顯著差異?？梢岳弥眯艆^(qū)間理論進行判定。 在B-J方法中，測定序列的隨機性，多用于模型殘差以及評價模型的優(yōu)劣。若時間序列 tX滿足 1）對任意時間t，其均值恒為常數(shù)； 2）對任意時間t和s，其自相關系數(shù)只與時間間隔 ts有關，而與 的起始點無關。 那么，這個時間序列就稱為平穩(wěn)時間序列 。 和st 序列的平穩(wěn)性也可以利用置信區(qū)間理論進行判定序列的平穩(wěn)性也可以利用置信區(qū)間理論進行判定.需要需要注意的是，

13、在注意的是，在B-J方法中，只有平穩(wěn)時間序列才能直接建立方法中，只有平穩(wěn)時間序列才能直接建立ARMA模型，否則必須經(jīng)過適當處理使序列滿足平穩(wěn)性要模型，否則必須經(jīng)過適當處理使序列滿足平穩(wěn)性要求求 在實際中，常見的時間序列多具有某種趨勢，但很多序在實際中，常見的時間序列多具有某種趨勢，但很多序列通過差分可以平穩(wěn)列通過差分可以平穩(wěn) 判斷時間序列的趨勢是否消除，只需考察經(jīng)過差分后序列的自相關系數(shù)自相關系數(shù) 時間序列的季節(jié)性是指在某一固定的時間間隔上，序列時間序列的季節(jié)性是指在某一固定的時間間隔上，序列重復出現(xiàn)某種特性重復出現(xiàn)某種特性.比如地區(qū)降雨量、旅游收入和空調(diào)銷售額比如地區(qū)降雨量、旅游收入和空調(diào)銷

14、售額等時間序列都具有明顯的季節(jié)變化等時間序列都具有明顯的季節(jié)變化. 一般地，月度資料的時間序列，其季節(jié)周期為12個月； 季度資料的時間序列，季節(jié)周期為4個季. 判斷時間序列季節(jié)性的標準為：判斷時間序列季節(jié)性的標準為： 月度數(shù)據(jù)，考察月度數(shù)據(jù)，考察 12,24,36,k 時的自相關系數(shù)是否與與0有顯著差異；有顯著差異；季度數(shù)據(jù)，考察季度數(shù)據(jù)，考察 4,8,12,k 系數(shù)是否與系數(shù)是否與0有顯著差異。有顯著差異。 時的自相關時的自相關說明各年中同一月（季）不相關，序列不存在季節(jié)性，否則說明各年中同一月（季）不相關，序列不存在季節(jié)性，否則存在季節(jié)性存在季節(jié)性. 若自相關系數(shù)與若自相關系數(shù)與0無顯著不

15、同，無顯著不同， 實際問題中，常會遇到季節(jié)性和趨勢性同時存在的情況，實際問題中，常會遇到季節(jié)性和趨勢性同時存在的情況，這時必須這時必須再用上述方法再用上述方法，否則季節(jié)性會被強趨勢性所掩蓋，以至判斷錯誤否則季節(jié)性會被強趨勢性所掩蓋，以至判斷錯誤. 包含季節(jié)性的時間序列也不能直接建立包含季節(jié)性的時間序列也不能直接建立ARMA模型，需模型，需進行季節(jié)差分消除序列的季節(jié)性，差分步長應與季節(jié)周期一進行季節(jié)差分消除序列的季節(jié)性，差分步長應與季節(jié)周期一致致. , ,d D p q,P Q在需要對一個時間序列運用在需要對一個時間序列運用B-J方法建模時，應運用序列的方法建模時，應運用序列的自相關與偏自相關對

16、序列適合的模型類型進行識別，確定適自相關與偏自相關對序列適合的模型類型進行識別，確定適宜的階數(shù)宜的階數(shù)以及以及 （消除季節(jié)趨勢性后的平穩(wěn)序列）（消除季節(jié)趨勢性后的平穩(wěn)序列） （1 1）MAMA（q）的自相關與偏自相關函數(shù)）的自相關與偏自相關函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 22212111,0,10,qkkkq kqkkqkq2tDu是白噪聲序列的方差是白噪聲序列的方差 樣本自相關函數(shù) 1122011,0,110,kkq kqkkqkkqkqqkkqqMA（）序列的自相關函數(shù)在這種性質(zhì)稱為自相關函數(shù)的步截尾性； 以后全都是0，隨著滯后期 k這種特性稱為偏自相關函數(shù)的拖尾性 的增加，呈現(xiàn)指數(shù)或者正弦

17、波衰減，趨向于0，偏自相關函數(shù) （2 2）ARAR（p）序列的自相關與偏自相關函數(shù)）序列的自相關與偏自相關函數(shù)偏自相關函數(shù) ,10,kkkkpkp是p步截尾的 ；自協(xié)方差函數(shù) k滿足 ( )0kB自相關函數(shù) k滿足 ( )0kB它們呈指數(shù)或者正弦波衰減，具有拖尾性 （3 3）ARMAARMA（, p q）序列的自相關與偏自相關函數(shù)均是拖尾的）序列的自相關與偏自相關函數(shù)均是拖尾的 自相關函數(shù)與偏自相關函數(shù)是識別ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相關分析法確定模型的階數(shù). 若樣本自協(xié)方差函數(shù) k在q步截尾，則判斷 tX是MA（ q）序列 kkp若樣本偏自相關函數(shù)在步截尾，則可判斷是AR（

18、tXp）序列 若，都不截尾，而僅是依負指數(shù)衰減，這時可初步認為ARMA序列，它的階要由從低階到高階逐步增加，再通過檢驗來確定. k在kkk，tX是但實際數(shù)據(jù)處理中，得到的樣本自協(xié)方差函數(shù)和樣本偏自相關函數(shù)只是 k和kk的估計，要使它們在某一步之后全部為0幾乎是而只能是在某步之后圍繞零值上下波動，故對于 k和kk不可能的，的截尾性 只能借助于統(tǒng)計手段進行檢驗和判定。 （1）k的截尾性判斷q1,qq MMN對于每一個 ，計算（ 一般取左右），考察其中滿足22011|2qkllN22012|2qkllN或 的個數(shù)是否為 M的68.3%或95.5%。 如果當01kq時， k明顯地異于0，而 001,qqM近似為0，且滿足上述不等式的個數(shù)達到了相應的比例， 則可近似地認為 k在0q步截尾 （2）kk的截尾性判斷作如下假設檢驗： 0,:0,1,p k p kHkMMN1:Hk0kkpkMp存在某個，使，且 統(tǒng)計量2221p MkkMkpN 2( )MM2表示自由度為的分布 的上側(cè)分位數(shù)點 對于給定的顯著性