第五章定積分的應(yīng)用ppt課件

1、第七章第七章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積二、二、 平面圖形的面積平面圖形的面積*四、四、 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng) 一一 、定積分應(yīng)用的微元法、定積分應(yīng)用的微元法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 一、一、 定積分應(yīng)用的微元法定積分應(yīng)用的微元法用定積分計(jì)算的量的特點(diǎn)：用定積分計(jì)算的量的特點(diǎn)：Fba,(1) (1) 所求量設(shè)為所求量設(shè)為 ）與一個(gè)給定區(qū)間）與一個(gè)給定區(qū)間 有關(guān)，且在該區(qū)間上具有可加性有關(guān)，且在該區(qū)間上具有可加性. . Fba,就是說(shuō)，就是說(shuō)，是確定于是確定于

2、上的整體量，上的整體量， 當(dāng)把當(dāng)把 ba,分成許多小區(qū)間時(shí)，分成許多小區(qū)間時(shí)， 整體量等于各部分量之和，即整體量等于各部分量之和，即niiFF1Fba,(2) (2) 所求量所求量 在區(qū)間在區(qū)間 上的分布是不均勻的，上的分布是不均勻的， Fba,也就是說(shuō)，也就是說(shuō)， 的值與區(qū)間的值與區(qū)間 的長(zhǎng)不成正比的長(zhǎng)不成正比. . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 用定積分概念解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟：用定積分概念解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟：FniiFF1第一步：將所求量第一步：將所求量 分為部分量之和，即分為部分量之和，即: : iF);, 2 , 1()(nixfii第

3、二步：求出每個(gè)部分量的近似值，第二步：求出每個(gè)部分量的近似值， FniiFF1iniixf)(1第三步：寫(xiě)出整體量第三步：寫(xiě)出整體量 的近似值，的近似值， 0maxixiniixf)(1第四步：取第四步：取時(shí)的時(shí)的極限，則得極限，則得nibaiixxfxfF10d)()(lim“大化小大化小 , 常代變常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ”觀察上述四步我們發(fā)現(xiàn)，第二步最關(guān)鍵，觀察上述四步我們發(fā)現(xiàn)，第二步最關(guān)鍵， 因?yàn)樽詈蟮谋环e表達(dá)式的形式就是在這一步被確定的，因?yàn)樽詈蟮谋环e表達(dá)式的形式就是在這一步被確定的， 這只要把近似式這只要把近似式iixf)(中的變量記號(hào)改變一下即可中的變量記號(hào)改

4、變一下即可 , xi換換為為dxxi換為換為而第三、第四兩步可以合并成一步：而第三、第四兩步可以合并成一步： ba,ba,在區(qū)間在區(qū)間 上無(wú)限累加，即在上無(wú)限累加，即在 上積分上積分. . 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是 F能用定積分計(jì)算的前提，能用定積分計(jì)算的前提，于是，上述四步簡(jiǎn)化后形成實(shí)用的微元法于是，上述四步簡(jiǎn)化后形成實(shí)用的微元法. .定積分應(yīng)用的微元法：定積分應(yīng)用的微元法： .d)(baxxfF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 于是，上述四步簡(jiǎn)化后形成實(shí)用的微元法于是，上述四步簡(jiǎn)化后形成實(shí)用的微元法. .( (一一) ) 在

5、區(qū)間在區(qū)間 ba,上任取一個(gè)微小區(qū)間上任取一個(gè)微小區(qū)間 xxxd,F然后寫(xiě)出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量然后寫(xiě)出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量的近似值，的近似值， xxfFd)(d記為記為( (稱(chēng)為稱(chēng)為F F的微元）的微元） ,dbaF在在（二）（二） 將微元將微元上積分無(wú)限累加），上積分無(wú)限累加）， 即得即得表示為表示為niiixfF10)(lim什么問(wèn)題可以用定積分解決什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 1) 所求量所求量 F 是與區(qū)間是與區(qū)間a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有關(guān)的有關(guān)的2) F 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性具有可加性 , 即可通過(guò)即可通過(guò)“大化小大化小, 常代變常代變,

6、近似和近似和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義定積分定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 一個(gè)整體量一個(gè)整體量 ;如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?第一步第一步 利用利用“化整為零化整為零 , 以常代變以常代變” 求出局部量求出局部量的的微分表達(dá)式微分表達(dá)式xxfFd)(d第二步第二步 利用利用“ 積零為整積零為整 , 無(wú)限累加無(wú)限累加 ” 求出整體量求出整體量的的積分表達(dá)式積分表達(dá)式Fxxfbad)(這種分析方法成為元素法這種分析方法成為元素法 (或微元分析法或微元分析法)元素的幾何形狀常取為元素的幾何形狀常取為: 條條, 帶帶, 段段,

7、環(huán)環(huán), 扇扇, 片等片等近似值近似值精確值精確值第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 二、用定積分求平面圖形的面積二、用定積分求平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)系下的面積計(jì)算直角坐標(biāo)系下的面積計(jì)算設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn))0()(xfy與直線(xiàn)與直線(xiàn))(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲那么那么xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 邊梯形面積為邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 計(jì)算兩條拋物線(xiàn)計(jì)算兩條拋物線(xiàn)22,xyxy在第一象限所圍

8、在第一象限所圍所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線(xiàn)計(jì)算拋物線(xiàn)xy22與直線(xiàn)與直線(xiàn)的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點(diǎn)得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42A機(jī)動(dòng) 目錄 上

9、頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng)當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xxdoyxab一般地一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 ttyytxx)()(給出時(shí)給出時(shí),則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積ttxtyAd)

10、()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )(ax 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)求由曲線(xiàn)求由曲線(xiàn))(r及及,射線(xiàn)圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間在區(qū)間,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為d)(212A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 a2sin2a例例4. 求雙紐線(xiàn)求雙紐線(xiàn)所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 ,2cos22ar d2cos212a404A402a)2(d2c

11、os0則所求面積為則所求面積為42a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 yox44d)(21d2A二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),例例5. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成與底面交成 角角,222Ryx解解:

12、如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 oRxyxoRxy考慮考慮: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyV

13、R0tan2yyRyd22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xyoabxyoab)(xfy 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段)()(dycyx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ayxb例例6. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法 利

14、用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby那那么么xxaabad)(220222(利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos那那么么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 aaaxxaxyV0332322d)(2d.10532d)33(2320343232342axxxaxaaa內(nèi)容小結(jié)

15、內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程邊界方程參數(shù)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程 (作業(yè)作業(yè)P138 1.(1)ttxtyAd)()(）作作業(yè)業(yè)6.138(d)(212PA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 (作業(yè)作業(yè)P138 10.(2)()(2xfxA繞繞 x 軸軸 :繞繞 y 軸軸 :)(xyy 2)()(yxA第二節(jié)第二節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 一、一、 變力沿直線(xiàn)所作的功變力沿直線(xiàn)所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力設(shè)物體在連續(xù)變力 F(

16、x) 作用下沿作用下沿 x 軸從軸從 xa 移動(dòng)到移動(dòng)到,bx 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, 求變力所做的功求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元在其上所作的功元素為素為xxFWd)(d因此變力因此變力F(x) 在區(qū)間在區(qū)間 ,ba上所作的功為上所作的功為baxxFWd)(例例1.一個(gè)單一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功求電場(chǎng)力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí)時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為2rqkF 則功的元素為則功的元素為rrqkWdd2所求功為所求功為barrqkWd2rq

17、k1ab)11(baqk說(shuō)明說(shuō)明:處的電勢(shì)為電場(chǎng)在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線(xiàn)從距離點(diǎn)電荷位正電荷沿直線(xiàn)從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到處移動(dòng)到 b 處處 (a b) , 在一個(gè)帶在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下, S例例2.體體, 求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從的活塞從點(diǎn)點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn)處移動(dòng)到點(diǎn) b 處處 (如圖如圖), 作的功作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.xxdx 由波義耳由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng)馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成

18、反比 , 即,SxkVkp 功元素為功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的故作用在活塞上的SpFxk所求功為所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為力為在底面積為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣的圓柱形容器中盛有一定量的氣 例例3.試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.oxm3xxxdm5在任一小區(qū)間在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為為Wdxxdg9故所求功為故所求功為50Wxxdg9g922

19、xg5 .112( KJ )設(shè)水的密設(shè)水的密度為度為05(KN)一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為底圓半徑為3m, 面積為面積為 A 的平板的平板二、液體側(cè)壓力二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為設(shè)液體密度為 深為深為 h 處的壓強(qiáng)處的壓強(qiáng): hp gh當(dāng)平板與水面平行時(shí)當(dāng)平板與水面平行時(shí), ApP 當(dāng)平板不與水面平行時(shí)當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為平板一側(cè)所受的壓力為小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xp g33g2R例例4.的液體的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立

20、坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 , 側(cè)壓力微元素側(cè)壓力微元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為端面所受側(cè)壓力為xd方程為方程為一水平橫放的半徑為一水平橫放的半徑為R 的圓桶的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為內(nèi)盛半桶密度為 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)桶內(nèi)充滿(mǎn)液體時(shí), )(gxR 小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRPd)(g222奇函數(shù)奇函數(shù)3gR)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣

21、量質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為l2rmI 則需用積分解決則需用積分解決 .r關(guān)于質(zhì)量連續(xù)分布關(guān)于質(zhì)量連續(xù)分布 的物體繞軸的的物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題,mxX+dxxyl例例5 5 一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為l,l,質(zhì)量為質(zhì)量為m,m,試計(jì)算細(xì)桿繞過(guò)它的試計(jì)算細(xì)桿繞過(guò)它的中點(diǎn)且垂直與桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中點(diǎn)且垂直與桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. .解解 選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系( (如圖如圖) )先求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微元先求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微元dl,dl,為此考慮細(xì)桿上為此考慮細(xì)桿上x(chóng),x+dxx,x+dx一段一段, ,它的質(zhì)量為它的質(zhì)量為dxlm把這一小段桿設(shè)想為位于把這一

22、小段桿設(shè)想為位于x x處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn), ,于是微元為于是微元為dxxlmdl2則沿細(xì)桿積分的整則沿細(xì)桿積分的整個(gè)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為個(gè)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dxxlmIll2222233llxlm.1212ml2rmI 依依據(jù)據(jù)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般微元的幾何形狀有一般微元的幾何形狀有:扇、片等扇、片等.(2) 然后用定積分來(lái)表示整體量然后用定積分來(lái)表示整體量 Q , 并計(jì)算之并計(jì)算之. 1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用:變力作功變力作功 , 側(cè)壓力側(cè)壓力 , 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.條、段、環(huán)、帶、條、段、環(huán)、帶、1 1已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 . .26 . 012100)(tttf42422d)6 . 012100(d)(tttttf8 .260)2 . 0