WJF8-4幾類可降階的二階微分方程ppt課件

1、8.4 8.4 幾類可降階的二階微分方程幾類可降階的二階微分方程型型)(xfy 型型),(yxfy 型型),(yyfy 二階微分方程的一般形式是：二階微分方程的一般形式是：0, ）（yyyxF，）（yyxfy ， ）（）（）（yyfyxfxfy，可以顯化：可以顯化：幾種特殊形式：幾種特殊形式：一、一、 型型解法：兩次積分即可得出解解法：兩次積分即可得出解 特點：特點：.yy 及及不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù))(xfy 21)(CxCdxdxxf如如xy2 兩邊積分得：兩邊積分得：2133CxCxy 再積分得：再積分得：12Cxy 一般地對一般地對n n階方程階方程)()(xfyn 積分積分n

2、n次便可得到通解次便可得到通解 nnnnnCxCxCxCdxxfy12211)(個個)(xpy 設設)(xpdxdpdxydy 則則一一階階方方程程，的的代代入入原原方方程程得得到到新新函函數(shù)數(shù))(xp原方程通解為原方程通解為21),(CdxCxpy 特點：特點：. y右右端端不不顯顯含含自自變變量量解法：解法：二、二、 型型),(yxfy 此一階微分方程可求出其通解此一階微分方程可求出其通解)(1Cxpp， )(,(xpxfp ，積積分分得得由由),(1Cxpy 兩邊對兩邊對x求導求導yyyx 例例1 1 求方程求方程 xeyy 的通解的通解. 解解 )(xpy dxdpy xepdxdp

3、)()()(1111CxeCdxeeexpxdxxxd 211)(CeCexedxCxeyxxxx 令令那么那么 原方程化為原方程化為 這是一階線性微分方程，其通解這是一階線性微分方程，其通解 故原方程通解為故原方程通解為 )(1Cxedxdyx 即即.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xpy 設設代入原方程得代入原方程得, 0 pdxdpx分離變量分離變量, ,得得兩端積分兩端積分, ,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xpy ,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例

4、例2 2,xdxpdp xCp1 積分，得：積分，得：,613231CxCxCy ,2241432241CxCxCxCy 三、三、 型型)(ypy 設設dxydy 則則解法：解法：),(yyfy ),(pyfpp 代代入入原原方方程程得得設所求出的通解為設所求出的通解為 ),(1Cypp ),(1Cypdxdy ),(21CCxyy 即即 用分離變量法解此方程，可得原方程的通解用分離變量法解此方程，可得原方程的通解 .特點：右端不顯含自變量特點：右端不顯含自變量x兩邊對兩邊對x求導求導yyyx dxdydyyd dxdydydp ,pp .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydppy 則則),(ypy 設設代入原方程得代入原方程得 , 02 pdydppy, 0)( pdydpyp即即0 pdydpy由由,1yCp 可得可得.12xCeCy 原方程通解為原方程通解為yCdxdy1 例例3 3, 0 yp若若.12xCeCy 所以原方程通解為所以原方程通解為，ydypdp dxCydy1 ,ln21CxCy .，包含在通解里，包含在通解里則則Cy 小結(jié)小結(jié)解法：通過代換將其化成一階的微分方程解法：通過代換將其化成一階的微分方程 來求解來求解.