第52煉-證明等差等比數(shù)列--高考數(shù)學

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第52煉 等差等比數(shù)列的證明在數(shù)列的解答題中，有時第一問會要求證明某個數(shù)列是等差等比數(shù)列，既考察了學生證明數(shù)列的能力，同時也為后面的問題做好鋪墊。一、基礎(chǔ)知識：1、如何判斷一個數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列（1）定義法（遞推公式）：（等差），（等比）（2）通項公式：（等差），（等比）（3）前項和：（等差），（等比）（4）等差（等比）中項：數(shù)列從第二項開始，每一項均為前后兩項的等差（等比）中項2、如何證明一個數(shù)列是等差等比數(shù)列：（1）通常利用定義法，尋找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中項來進行證明，即，均有： （等差） （等比）二、典型例題：例1：已知數(shù)列的首項求證：數(shù)

2、列為等比數(shù)列思路一：構(gòu)造法，按照所給的形式對已知遞推公式進行構(gòu)造，觀察發(fā)現(xiàn)所證的數(shù)列存在這樣的倒數(shù)，所以考慮遞推公式兩邊同取倒數(shù)：即，在考慮構(gòu)造“”：即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列思路二：代入法：將所證數(shù)列視為一個整體，用表示：，則只需證明是等比數(shù)列即可，那么需要關(guān)于的條件（首項，遞推公式），所以用將表示出來，并代換到的遞推公式中，進而可從的遞推公式出發(fā)，進行證明解：令，則 遞推公式變?yōu)椋?是公比為的等比數(shù)列。即數(shù)列為等比數(shù)列小煉有話說：（1）構(gòu)造法：在構(gòu)造的過程中，要尋找所證數(shù)列形式的亮點，并以此為突破對遞推公式進行變形，如例1中就是抓住所證數(shù)列有一個“倒數(shù)”的特點，進而對遞推公式作取倒數(shù)的變換。

3、所以構(gòu)造法的關(guān)鍵之處在于能夠觀察到所證數(shù)列顯著的特點并加以利用（2）代換法：此方法顯得模式化，只需經(jīng)歷“換元表示代入化簡”即可，說兩點：一是代換體現(xiàn)了兩個數(shù)列的一種對應(yīng)關(guān)系，且這種對應(yīng)是同序數(shù)項的對應(yīng)（第項對應(yīng)第項）；二是經(jīng)過代換，得到的遞推公式，而所證是等比數(shù)列，那么意味著其遞推公式經(jīng)過化簡應(yīng)當形式非常簡單，所以盡管代入之后等式復(fù)雜，但堅定地化簡下去，通常能夠得到一個簡單的答案。個人認為，代入法是一個比較“無腦”的方法，只需循規(guī)蹈矩按步驟去做即可。例2：數(shù)列的前n項和為，（*）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式思路：本題所給等式混合在一起，可考慮將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓蛑缓牡仁?，題目中傾向

4、于項的關(guān)系，故考慮消掉，再進行求解解： 可得： 即 是公比為的等比數(shù)列 令 代入（*）可得： 小煉有話說：（1）遇到混合在一起的等式，通常轉(zhuǎn)化為純（項的遞推公式）或者純（前項和的遞推公式），變形的方法如下： 消去：向下再寫一個關(guān)于的式子（如例2），然后兩式相減（注意取值范圍變化） 消去：只需代換即可（）（2）混合在一起的等式可求出，令即可（因為）（3）這里體現(xiàn)出的價值：等差等比數(shù)列的通項公式是最好求的：只需一項和公差（公比），構(gòu)造出等差等比數(shù)列也就意味這其通項可求，而通過也可將的通項公式求出。這里要體會兩點：一是回顧依遞推求通項時，為什么要構(gòu)造等差等比數(shù)列，在這里給予了一個解釋；二是體會解答題

5、中這一問的價值：一個復(fù)雜的遞推公式，直接求其通項公式是一件困難的事，而在第一問中，恰好是搭了一座橋梁，告訴你如何去進行構(gòu)造輔助數(shù)列，進而求解原數(shù)列的通項公式。所以遇到此類問題不要只停留在證明，而可以順藤摸瓜將通項一并求出來例3：已知數(shù)列滿足：且，求證：為等差數(shù)列解：設(shè)，則代入可得： 為等差數(shù)列，即為等差數(shù)列例4：已知曲線，過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點（且，點列的橫坐標構(gòu)成數(shù)列，其中.（1）求與的關(guān)系式；（2）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；解：（1）曲線 （2），代入到遞推公式中可得： 是公比為的等比數(shù)列小煉有話說：本題（2）用構(gòu)造法比較復(fù)雜，不易構(gòu)造出的形式，所以考慮用代入法直接求解例5

6、：已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出解：設(shè)代入到可得：而 時，不是等比數(shù)列 時，是等比數(shù)列，即為等比數(shù)列 例6：（2015山東日照3月考）已知數(shù)列中， ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列思路：所證數(shù)列為，可發(fā)現(xiàn)要尋找的是偶數(shù)項的聯(lián)系，所以將已知分段遞推關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榕c之間的關(guān)系，再進行構(gòu)造證明即可證明：由可得： 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列例7：（2015湖北襄陽四中階段性測試）已知數(shù)列滿足，且對任意非負整數(shù)均有： （1）求 （2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式解：（1）令可得：再令可得： （2）思路：考慮證明數(shù)列是等差數(shù)列，則要尋找，的關(guān)系，即所涉及項為，結(jié)合已知等式令

7、，利用（1）中的，將代換為即可證明，進而求出通項公式證明：在中令得： 由（1）得代入可得： 數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 例8：（2010 安徽，20）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0，求證：是等差數(shù)列的充分必要條件是：對都有 思路：證明充要條件要將兩個條件分別作為條件與結(jié)論進行證明，首先證明必要性，即已知等差數(shù)列證明恒等式。觀察所證等式可聯(lián)想到求和中的裂項相消。所以考慮，然后恒等式左邊進行求和即可證明。再證明充分性，即已知恒等式證明等差數(shù)列：恒等式左側(cè)為求和形式，所以考慮向前寫一個式子兩式相減，進而左邊消去大量的項，可得：，通過化簡可得：，從而利用等差中項完成等差數(shù)列的證明證明：先證必要性：是等差數(shù)列 當

8、時 左邊 右邊 當時，考慮左邊 右邊所證恒等式成立再證必要性： 可得：兩邊同時乘以得： 同理： -可得： 為等差數(shù)列小煉有話說：（1）本題證明等差數(shù)列所用的是等差中項的方法，此類方法多在數(shù)列中存在三項關(guān)系時使用（2）在充分性的證明中連續(xù)用到了構(gòu)造新式并相減的方法，這也是變形遞推公式的方法之一，當原遞推公式難以變形時，可考慮使用這種方法構(gòu)造出新的遞推公式，尤其遞推公式的一側(cè)是求和形式時，這種方法可以消去大量的項，達到化簡遞推公式的目的。例9：若數(shù)列的各項均為正數(shù)，（為常數(shù)），且 （1）求的值（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列解：（1）令，則有 令，則有 可得： （2）思路：所給的遞推公式中含有，而且原遞推公式也很難變形，所以考慮再寫一個式子兩式相減，構(gòu)造新的遞推公式，仿照（1）進行變形。解： 可得： 從而 數(shù)列為等差數(shù)列例10：在數(shù)列中，且對任意，成等差數(shù)列，其公差