《理論力學(xué)》第二章力系的簡化

1、12 21 匯交力系的簡化匯交力系的簡化 22 力偶系的簡化力偶系的簡化 23 空間一般力系的簡化空間一般力系的簡化 24 重心重心3匯交力系：各力作用線匯交于一點(diǎn)的力系匯交力系：各力作用線匯交于一點(diǎn)的力系 匯交力系匯交力系平面匯交力系平面匯交力系空間匯交力系空間匯交力系作用在剛體上的力為作用在剛體上的力為滑移矢量滑移矢量匯交力系匯交力系共點(diǎn)力系共點(diǎn)力系沿作用線移動(dòng)沿作用線移動(dòng)4一、合成的幾何法一、合成的幾何法AF2F1F4F3F2F1FF3F4BCDEAF2AF1F4F35由力的三角形法則，得由力的三角形法則，得1234FFFFF分力矢分力矢1234FFFF、 、 、和合力矢和合力矢F構(gòu)成了

2、封閉四邊形構(gòu)成了封閉四邊形稱為力多邊形，由力多邊形求合力的方法稱為力多邊形法則。稱為力多邊形，由力多邊形求合力的方法稱為力多邊形法則。F2F1FF3F4BCDAF2F1FF3F4BCDA力多邊形法則：各分力矢依一定次序力多邊形法則：各分力矢依一定次序首尾相接首尾相接，形成一力，形成一力矢折線鏈，矢折線鏈，合力矢是封閉邊合力矢是封閉邊，其方向?yàn)榈谝粋€(gè)力矢的起點(diǎn)其方向?yàn)榈谝粋€(gè)力矢的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力矢的終點(diǎn)。指向最后一個(gè)力矢的終點(diǎn)。6可推廣到一般，求可推廣到一般，求 個(gè)力組成的匯交力系的合力。個(gè)力組成的匯交力系的合力。n空間匯交力系是否可以用力的多邊形法則求合力？空間匯交力系是否可以用力的多邊形法

3、則求合力？結(jié)論：結(jié)論：匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力合力作用線：作用線通過匯交點(diǎn)作用線：作用線通過匯交點(diǎn)大小方向：由力多邊形封閉邊確定大小方向：由力多邊形封閉邊確定1niiFF用矢量式表示：用矢量式表示：7二、合成的解析法二、合成的解析法kFjFiFFiziyixi1niiFFniiziyixkFjFiF1（匯交力系合力矢為各分力矢的矢量和匯交力系合力矢為各分力矢的矢量和）niizniniiyixkFjFiF111設(shè)合力解析表示為：設(shè)合力解析表示為：kFjFiFFzyx8得：1nyiyiFF1nxixiFF1nziziFF合力投影定理：合力投影定理： 合力在任一軸上的投影

4、等于各分力合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。在同一軸上投影的代數(shù)和。合力的大?。汉狭Φ拇笮。汉狭Φ姆较颍汉狭Φ姆较颍?22ixiyizFFFFcosixFFcosiyFFcosizFF合力的作用線過匯交點(diǎn)合力的作用線過匯交點(diǎn)9三、匯交力系的合力矩定理三、匯交力系的合力矩定理匯交力系匯交力系12,nF FF合力為合力為F合力對(duì)點(diǎn)合力對(duì)點(diǎn)O的力矩矢為：的力矩矢為： OMFrF由于iFF得：得： OiMFrF12nrFrFrF 其中： iOirFMF所以得：所以得： 1nOOiiMFMF10匯交力系的合力矩定理：匯交力系的合力矩定理： 匯交力系的合力對(duì)任一點(diǎn)的力矩矢等于各分力對(duì)匯

5、交力系的合力對(duì)任一點(diǎn)的力矩矢等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之力矩矢的矢量和；合力對(duì)任一軸之矩等于同一點(diǎn)之力矩矢的矢量和；合力對(duì)任一軸之矩等于各個(gè)分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和各個(gè)分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。 1nOOiiMFMF 1nzziiMFMF 平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)矩的代數(shù)和。各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)矩的代數(shù)和。平面匯交力系的合力矩定理：平面匯交力系的合力矩定理： 1nOOiiMFMF11例例1：力：力F作用于支架上的點(diǎn)作用于支架上的點(diǎn)C如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)F 100N, 試求力試求力F分別對(duì)點(diǎn)分別對(duì)點(diǎn)A,B之矩。之矩。解：解：mNFF

6、FMFMFMyAxAA-2360cos360sin2)()()(oomNFFMFMFMyBxBB-15060cos30)()()(o12一、空間力偶系的合成一、空間力偶系的合成空間力偶系：空間力偶系：12,nM MM 空間力偶系可合成空間力偶系可合成為一力偶。合力偶的力為一力偶。合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。矢的矢量和。13222ixiyizMMMMcosixMMcosiyMMcosizMM合力偶大?。汉狭ε即笮。汉狭ε挤较颍汉狭ε挤较颍憾⑵矫媪ε枷档暮铣啥?、平面力偶系的合成iMMiMM14一、力的平移定理一、力的平移定理力的平移定理：力的平移定理：作用于剛體

7、上的力均可從原來的作用作用于剛體上的力均可從原來的作用點(diǎn)平移至同一剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，為不改變?cè)?duì)剛體點(diǎn)平移至同一剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，為不改變?cè)?duì)剛體的作用效應(yīng)，必須附加一力偶，該附加力偶的力偶矩的作用效應(yīng)，必須附加一力偶，該附加力偶的力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。15工程實(shí)例工程實(shí)例16二、空間一般力系向一點(diǎn)簡化二、空間一般力系向一點(diǎn)簡化空間一般力系：各力的作用線不在同一平面內(nèi)，且空間一般力系：各力的作用線不在同一平面內(nèi)，且 既不匯交一點(diǎn)又不相互平行的力系。既不匯交一點(diǎn)又不相互平行的力系。O123,nF F FF剛體內(nèi)任選一點(diǎn)剛體內(nèi)任選一點(diǎn)O，力系向力系向O點(diǎn)簡化點(diǎn)簡化O

8、點(diǎn)稱為簡化中心點(diǎn)稱為簡化中心17181）根據(jù)力的平移定理，將各力平行移到）根據(jù)力的平移定理，將各力平行移到O點(diǎn)，點(diǎn)，1、簡化的一般結(jié)果、簡化的一般結(jié)果2）空間一般力系）空間一般力系12( ,)nFFF12(,)nM MM空間匯交力系空間匯交力系空間力偶系空間力偶系其中：其中：()iOiMMF3）空間匯交力系簡化結(jié)果：合力空間匯交力系簡化結(jié)果：合力過匯交點(diǎn)過匯交點(diǎn)iiFFF空間力偶系簡化結(jié)果：合力偶空間力偶系簡化結(jié)果：合力偶()iOiMMMF19主矢量：主矢量：力系中各力的矢量和。力系中各力的矢量和。iFF主矩：主矩：力系中各力對(duì)簡化中心矩的矢量和。力系中各力對(duì)簡化中心矩的矢量和。()OOiMM

9、F主矢和簡化中心的選擇無關(guān)，主矢和簡化中心的選擇無關(guān)，主矩和簡化中心的選擇有關(guān)。主矩和簡化中心的選擇有關(guān)。思考：主矢和合力是否相同？思考：主矢和合力是否相同？結(jié)論：結(jié)論：空間一般力系向任一點(diǎn)簡化，一般可得到空間一般力系向任一點(diǎn)簡化，一般可得到一個(gè)力一個(gè)力 和一個(gè)力偶和一個(gè)力偶，該力通過簡化中心，其大小和方向，該力通過簡化中心，其大小和方向 等于力系的主矢，該力偶的力偶矩矢等于力系對(duì)等于力系的主矢，該力偶的力偶矩矢等于力系對(duì) 簡化中心的主矩。簡化中心的主矩。20空間一般力系簡化實(shí)例空間一般力系簡化實(shí)例212、主矢和主矩的計(jì)算、主矢和主矩的計(jì)算222222()()()xyzixiyizFFFFFF

10、F1）主矢的計(jì)算）主矢的計(jì)算cos,cos,cosiyixizFFFFFF2）主矩的計(jì)算）主矩的計(jì)算()()()()()()OxOixxiOyOiyyiOzOizziMMFMFMMFMFMMFMF222OOxOyOzMMMMcos,cos,cosOyOxOzOOOMMMMMM22三、空間一般力系簡化的最后結(jié)果三、空間一般力系簡化的最后結(jié)果1 1、若、若 , ,則該力系則該力系平衡平衡（下章專門討論）（下章專門討論）。0,0OFMOM2 2、若、若 , ,則力系可合成一個(gè)則力系可合成一個(gè)合力偶合力偶，其矩，其矩等于原力系對(duì)于簡化中心的主矩等于原力系對(duì)于簡化中心的主矩 。此時(shí)簡化結(jié)果與簡化中心的位

11、置無關(guān)。此時(shí)簡化結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。0,0OFM0,0OFM3 3、若、若 ，則力系可合成為一個(gè)，則力系可合成為一個(gè)合力合力，合力通，合力通過簡化中心過簡化中心O點(diǎn)，合力大小和方向由力系的主矢確定。點(diǎn)，合力大小和方向由力系的主矢確定。 此時(shí)與簡化中心有關(guān)，換個(gè)簡化中心，主矩不為零。此時(shí)與簡化中心有關(guān)，換個(gè)簡化中心，主矩不為零。234 4、若、若 0,0OFMOFM1）力系可合成為力系可合成為一個(gè)合力一個(gè)合力，合力大小方向由主矢確定，合力大小方向由主矢確定，作用線不過簡化中心作用線不過簡化中心O,偏離的距離偏離的距離OdMF24空間一般力系的合力矩定理：空間一般力系的合力矩定理：FOM 空

12、間力系向空間力系向O點(diǎn)簡化后得主矢點(diǎn)簡化后得主矢 和主矩和主矩 , 若若 ，可進(jìn)一步合成為一個(gè)作用在新，可進(jìn)一步合成為一個(gè)作用在新簡化中心簡化中心O點(diǎn)的合力點(diǎn)的合力 。F0OFM( )OOMFrFM又由于又由于()OOiMMF( )()OOiMFMF( )()zziMFMF同理25合力矩定理的一般形式合力矩定理的一般形式(1). .力系如有合力，則合力對(duì)任一點(diǎn)的矩等于力系力系如有合力，則合力對(duì)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。(2). .力系如有合力，則合力對(duì)任一軸的矩等于力系力系如有合力，則合力對(duì)任一軸的矩等于力系中各力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和中各力對(duì)同一

13、軸的矩的代數(shù)和。( )()OOiMFMF( )()zziMFMF26/ /OFM2）力螺旋：力螺旋： 由一力和在該力垂直的平面由一力和在該力垂直的平面內(nèi)的一力偶組成的力系。內(nèi)的一力偶組成的力系。力、力偶和力螺旋是力學(xué)的基本量。力、力偶和力螺旋是力學(xué)的基本量。右旋力螺旋：圖右旋力螺旋：圖a a左旋力螺旋：圖左旋力螺旋：圖b bFMO（a a）MO（b b）F中心軸：中心軸：與力作用線相重合的直線與力作用線相重合的直線力系合成為一力系合成為一力螺旋力螺旋27OFM主矢 和主矩成任意角度3）28力系合成為一力系合成為一力螺旋。力螺旋。力螺旋中力的大小方向由主矢確定，力偶矩矢大小力螺旋中力的大小方向由

14、主矢確定，力偶矩矢大小為為 ，中心軸不過簡化中心，平移的，中心軸不過簡化中心，平移的距離為距離為/cosOOMM(sin)OOdMFMF29力螺旋工程實(shí)例力螺旋工程實(shí)例30力螺旋工程實(shí)例力螺旋工程實(shí)例3132四、平面力系簡化的最后結(jié)果四、平面力系簡化的最后結(jié)果則力系則力系平衡。平衡。 0,0OFM 1、若、若 則力系可合成為一則力系可合成為一合力偶合力偶。 力偶的力偶矩由主矩確定力偶的力偶矩由主矩確定 。0,0OFM 2、若、若 則力系可合成為一則力系可合成為一合力合力。合力過簡化中心，合力大小方向由主矢確定。合力過簡化中心，合力大小方向由主矢確定。 0,0OFM 3、若、若簡化結(jié)果和簡化中心

15、無關(guān)。簡化結(jié)果和簡化中心無關(guān)。簡化結(jié)果和簡化中心有關(guān)。簡化結(jié)果和簡化中心有關(guān)。33 ，力系可合成為一，力系可合成為一合力合力。合力不過簡化中心，平移的距離為合力不過簡化中心，平移的距離為d=Mo / F , 合力的合力的大小和方向由主矢確定大小和方向由主矢確定 。 0,0OFM 4、若、若=MOOFO AOMFFO AOMFFFF合力作用線方程合力作用線方程由平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式：由平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式：( )OyxOMFF xF yM-其中：其中：O是合力作用線上任意一點(diǎn)是合力作用線上任意一點(diǎn)34五、力系簡化的應(yīng)用五、力系簡化的應(yīng)用1、固定端約束、固定端約束物體的一部分固嵌于

16、另一物體中所構(gòu)成的約束。物體的一部分固嵌于另一物體中所構(gòu)成的約束。 按照作用在物體上的主動(dòng)力的不同可分為：按照作用在物體上的主動(dòng)力的不同可分為：平面固定端約束平面固定端約束和空間固定端約束?？臻g固定端約束。351）平面固定端約束）平面固定端約束36 當(dāng)主動(dòng)力為一平面力系時(shí)，物體在固嵌部分所受當(dāng)主動(dòng)力為一平面力系時(shí)，物體在固嵌部分所受的力系也應(yīng)是一個(gè)平面力系。同理根據(jù)平面力系的簡的力系也應(yīng)是一個(gè)平面力系。同理根據(jù)平面力系的簡化結(jié)果向某一點(diǎn)簡化，得到化結(jié)果向某一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)力一個(gè)力和和一個(gè)力偶一個(gè)力偶，大小大小方向都未知的力用一對(duì)正交力表示，力偶由平面力偶方向都未知的力用一對(duì)正交力表示，力偶由

17、平面力偶表示。表示。FAxFAy372）空間固定端約束）空間固定端約束 當(dāng)主動(dòng)力為一空間力系時(shí)，物體在固嵌部分所受當(dāng)主動(dòng)力為一空間力系時(shí)，物體在固嵌部分所受的力系也應(yīng)是一個(gè)空間力系。但可根據(jù)空間力系的簡的力系也應(yīng)是一個(gè)空間力系。但可根據(jù)空間力系的簡化結(jié)果向某一點(diǎn)簡化，得到化結(jié)果向某一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)力一個(gè)力和和一個(gè)力偶，由于一個(gè)力偶，由于力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三個(gè)坐力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三個(gè)坐標(biāo)軸上，用分量來表示。標(biāo)軸上，用分量來表示。383940412、分布平行力系的簡化、分布平行力系的簡化dF q (x)dx取取O點(diǎn)為簡化中心，點(diǎn)為簡化中心，將力系向?qū)⒘?/p>

18、系向O點(diǎn)簡化。點(diǎn)簡化。主矢量：主矢量： 0lFq x dx主主 矩：矩： 0lOMxq x dx OdMxq x dxF MO，力系可進(jìn)一步簡，力系可進(jìn)一步簡化為一合力，其作用線距化為一合力，其作用線距O點(diǎn)的距離為：點(diǎn)的距離為： 00OlldMFxq x dxq x dx421）均布載荷）均布載荷Fql2dl2）三角形載荷）三角形載荷012Fq l23dl3）梯形載荷）梯形載荷11Fql12dl22112Fqq l-223dl43例例1 結(jié)構(gòu)受力如圖所示結(jié)構(gòu)受力如圖所示, , 圖中圖中M, , r均為已知均為已知, , 且且l=2=2r。畫出畫出AB和和BDC桿的受力圖桿的受力圖解：受力分析解

19、：受力分析: :1. 1. AB桿為二力桿；桿為二力桿；2.2. BDC桿的桿的C、B二二 處分別受有一個(gè)處分別受有一個(gè) 力構(gòu)成力偶和力力構(gòu)成力偶和力 偶偶M平衡。平衡。44例例2 在長方形平板的在長方形平板的O，A，B，C點(diǎn)上分別作用著有點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：四個(gè)力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)O點(diǎn)的簡化結(jié)果，以點(diǎn)的簡化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。及該力系的最后合成結(jié)果。451. .求主矢求主矢F建立如圖坐標(biāo)系建立如圖坐標(biāo)系OxyxixFF234cos 60cos 30FFF -0.598 kNy

20、iyFF124sin 60sin 30FFF-0.768 kN22 0.794 kNxyFFF 主矢的大小主矢的大小462. 求主矩求主矩MO OOMMF2342cos 6023sin 300.5 kN mFFF-0.51mOMdF由于主矢和主矩都不為零，所以由于主矢和主矩都不為零，所以最后合最后合成結(jié)果是一個(gè)合力成結(jié)果是一個(gè)合力FR。如右圖所示。如右圖所示。cos0.614xFF iF ,52.1F i , cos , 0.789yFFjF37.9F j, 主矢的方向合力合力FR到到O點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離RFFF47例例3已知立方體邊長為已知立方體邊長為a，F(xiàn)1 = F2 = F3 = P ，F(xiàn)4 = F5 = ,求該力系的簡化結(jié)果。求該力系的簡化結(jié)果。2P48解：解：1.求主矢：求主矢：1452222xFFFFP -5422022yFFF-230zFFF-2.求主矩：求主矩：34202xMF aFa -2143202yMF aFaFaF a -422zMFaPa - -49一、平行力系的中心一、平行力系的中心12F ,F如果如果 轉(zhuǎn)過一定的角度，則合力大小方向如何變化？轉(zhuǎn)過一定的角度，則合力大小方向如何變化？ABCFv1Fv2Fv12F ,