矩陣分析郝[]

1、11.6 1.6 線性變換的矩陣與線性變換的運(yùn)算線性變換的矩陣與線性變換的運(yùn)算,(1) (),(2) (),. 定定義義1 1：設(shè)設(shè)是是數(shù)數(shù)域域上上的的線線性性空空間間是是到到的的一一個(gè)個(gè)線線性性映映射射, , 即即滿滿足足對(duì)對(duì)任任對(duì)對(duì)任任則則稱稱是是上上的的線線性性變變換換VFVVVkkVkFV 2線性變換的矩陣線性變換的矩陣AVnnnn),(),(),(,21212121中取基在V設(shè) 是 上的線性變換,11,?TnTnXxxyy設(shè)設(shè)在在這這個(gè)個(gè)基基下下的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是在在這這個(gè)個(gè)基基下下的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是Y Y這這兩兩個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)的的關(guān)關(guān)系系如如何何與與P26類似類似311,nnxx則則11

2、11,nnnnxxxAx 411,nnyxAyx例例1.6.1 黑板黑板5定理1.6.1 在基在基1 ,2 , ,n下的矩陣是下的矩陣是A 在基在基1 ,2 , ,n下的矩陣是下的矩陣是B (1 ,2 , ,n) = (1 ,2 , ,n)XV設(shè) 是 上的線性變換,線性變換線性變換在不同基下的矩陣表示之間的關(guān)系B=X-1AX線性映射部分定理線性映射部分定理1.4.2的直接推論的直接推論6定義1.6.1 A,BPnn, 稱稱A相似相似B，記，記AB，如果存在可，如果存在可逆矩陣逆矩陣XPnn, 使得使得 B=X1AX 相似關(guān)系相似關(guān)系的性質(zhì)：的性質(zhì)：1） 自反性：對(duì)任意的自反性：對(duì)任意的APnn

3、, AA.2） 對(duì)稱性：對(duì)稱性：AB，則，則 BA.3） 傳遞性：傳遞性：AB, BC, 則則 AC.矩陣的相似關(guān)系是矩陣的相似關(guān)系是P上的等價(jià)關(guān)系上的等價(jià)關(guān)系.7線性變換的乘積仍為線性變換。線性變換的運(yùn)算線性變換的運(yùn)算稱為線性變換 與 的乘積。定義定義1 1VV 設(shè) 和 是線性空間 的兩個(gè)線性變換，用 表示 的如下變換：( )( ( ),V 乘法乘法8線性變換的和仍為線性變換。線性變換的和仍為線性變換。 線性變換的加法線性變換的加法定義定義2 2( + )( )( )( ),V 稱為線性變換 與 的和。 設(shè) 和 是線性空間 的兩個(gè)線性變換，用 表示 的如下變換：+ VV9線性變換的數(shù)量乘法線

4、性變換的數(shù)量乘法定義定義3 3線性變換的數(shù)量乘法也是線性變換線性變換的數(shù)量乘法也是線性變換。即k 為數(shù)乘變換。k()( )( ),kkV 設(shè) 是 的線性變換， 是 中的數(shù)，定義 與 的數(shù)量乘法為：VFkk10可逆變換可逆變換E此時(shí)，稱 為 的逆變換。-1 可逆變換的逆變換是唯一的，而且也是一個(gè)線性變換，記作 。定義定義4 4 的線性變換 稱為可逆的，如果有 中的變換 ，使得VV11定理定理1.6.2,V 設(shè)是n維線性空間 上的線性變換,+ k12,rn 是是V V的一組基的一組基。在這組基下的矩陣表示是在這組基下的矩陣表示是A。在這組基下的矩陣表示是在這組基下的矩陣表示是B。則則在這組基下的矩陣表示在這組基下的矩陣表示是是A+B。在這組基下的矩陣表示是在這組基下的矩陣表示是AB。在這組基下的矩陣表示是在