2011年高考數(shù)學第二節(jié)數(shù)列極限ppt課件

1、1.了解數(shù)列極限的概念了解數(shù)列極限的概念2.掌握極限的四則運算法則，會求某些數(shù)列掌握極限的四則運算法則，會求某些數(shù)列 的極限的極限1數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 如果當項數(shù)如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列無限增大時，無窮數(shù)列an的項的項an無限地無限地趨趨 近于近于 (即即|ana|無限地接近于無限地接近于0)，那么就說，那么就說數(shù)數(shù) 列列an以以a為極限，或者說為極限，或者說a是數(shù)列是數(shù)列an的極限，記作的極限，記作 .某個常數(shù)某個常數(shù)a2數(shù)列極限的四則運算法則數(shù)列極限的四則運算法則假設(shè)假設(shè) B，C為常數(shù)，那么：為常數(shù)，那么：(1) (anbn) ；(2) (anbn) ；(3) (B0)；

2、(4) (Can) .CAABAB思考探究思考探究假設(shè)假設(shè) (anbn)存在，那么存在，那么 an與與 bn也存在，對嗎？也存在，對嗎？提示：不對，例如提示：不對，例如ann( )n，bnn，二者的極，二者的極限均不存在，但限均不存在，但 (anbn)存在存在3常用的幾個極限常用的幾個極限(1)若若C為常數(shù)，那么為常數(shù)，那么 C ；(2)若若C為常數(shù)，那么為常數(shù)，那么 ；(3)假設(shè)假設(shè)|a|1，那么，那么 ；(4)如果等比數(shù)列如果等比數(shù)列an的首項為的首項為a1，公比滿足，公比滿足|q|1且且q0， Sn為其前為其前n項和，那么項和，那么 Sn .C001假設(shè)假設(shè) A，則下面幾個結(jié)論中，正確的

3、選項是，則下面幾個結(jié)論中，正確的選項是() A數(shù)列數(shù)列anA一定是遞減數(shù)列一定是遞減數(shù)列 B數(shù)列數(shù)列anA一定是遞增數(shù)列一定是遞增數(shù)列 C數(shù)列數(shù)列|anA|一定是遞減數(shù)列一定是遞減數(shù)列 D數(shù)列數(shù)列anA的極限是零的極限是零解析：解析： (anA) AAA0.答案：答案：D2 的值為的值為 () A3B2 C1 D.解析：解析：答案：答案：B3如果數(shù)列如果數(shù)列an的極限存在，且的極限存在，且an1 an1，那么，那么 an 的值為的值為 () A0 B1 C2 D2解析：解析：an1 an1，且，且an的極限存在，的極限存在，不妨設(shè)不妨設(shè) anA，那么，那么A A1，A2.答案：答案：D4計算：

4、計算： _.解析：解析：答案：答案：5假設(shè)假設(shè) 存在，則常數(shù)存在，則常數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析： 存在，存在，| |1或或 1即即( )21或或a1a1或或a答案：答案：a1或或a1.常見數(shù)列極限的求法常見數(shù)列極限的求法 所求極限的代數(shù)式是所求極限的代數(shù)式是an的單項形式，則先對通項的單項形式，則先對通項an作適當作適當 變形分子、分母同除以某個因式，構(gòu)造出變形分子、分母同除以某個因式，構(gòu)造出 (k0，M 為常數(shù)為常數(shù))，或，或qn(q1或或|q|1)，此時有，此時有 0， 1(q1)或或 0(|q|1)2數(shù)列極限的兩個重要類型數(shù)列極限的兩個重要類型特別警示特別警示利用極限運算

5、法則進行極限運算時，必須注利用極限運算法則進行極限運算時，必須注意其適用的條件：一是參加運算的各數(shù)列的極限都必須存意其適用的條件：一是參加運算的各數(shù)列的極限都必須存在；二是運算法則僅適用于有限個數(shù)列的和、差、積、商，在；二是運算法則僅適用于有限個數(shù)列的和、差、積、商，對于無限個數(shù)列的和或積，應先求出和或積，再求極限對于無限個數(shù)列的和或積，應先求出和或積，再求極限 計算下列極限：計算下列極限：思路點撥思路點撥(1)通分化簡后求極限通分化簡后求極限(2)分子有理化，然后求極限分子有理化，然后求極限(3)先利用等比數(shù)列的前先利用等比數(shù)列的前n項和公式求和，然后求極限項和公式求和，然后求極限課堂筆記課

6、堂筆記(1)原式原式(3)原式原式 求含參變量的極限時，常需對參數(shù)進行分類討論，求含參變量的極限時，常需對參數(shù)進行分類討論，要注意分類的標準，分類時不重不漏，典型的題型是指要注意分類的標準，分類時不重不漏，典型的題型是指數(shù)型，分類的標準是底數(shù)數(shù)型，分類的標準是底數(shù)a的絕對值與的絕對值與1的大小關(guān)系，注的大小關(guān)系，注意不要漏掉端點的討論意不要漏掉端點的討論 求極限求極限 (a1，a0)思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記原式原式(1)當當0a2且且a1時，時，(2)當當a2時時原式原式(3)當當a2時，極限不存在時，極限不存在若若a0，求，求解：解：(1)當當a2時，原式時，原式(2)當當0a2時，

7、原式時，原式(3)當當a2時，時，原式原式 知知 5，求常數(shù)，求常數(shù)a，b，c.思路點撥思路點撥(1)逆向思維求參數(shù)值要充分運用極限運算法則，進行分析、逆向思維求參數(shù)值要充分運用極限運算法則，進行分析、討論討論(2)在求解過程中要注意極限存在的條件，這是求參數(shù)值的在求解過程中要注意極限存在的條件，這是求參數(shù)值的重要環(huán)節(jié)重要環(huán)節(jié)課堂筆記課堂筆記原式原式n3比比n2的冪指數(shù)大，的冪指數(shù)大，a0.原式原式n2比比n的冪指數(shù)大，的冪指數(shù)大，34b0，即，即b原式原式c .綜上所述，綜上所述，a0，b ，c .1.一般地，分子和分母都是關(guān)于一般地，分子和分母都是關(guān)于n的多項式的極限，通常的多項式的極限，

8、通常 把分子、分母同除以分子、分母中把分子、分母同除以分子、分母中n的最高次數(shù)項求極的最高次數(shù)項求極 限限2.所求極限式為所求極限式為n項項(n)的和，通常先求和化簡，后求的和，通常先求和化簡，后求 極限極限3求含指數(shù)式的極限，通常要利用求含指數(shù)式的極限，通常要利用 0(|q|1)這一這一 結(jié)論，求解時，分子、分母同除以指數(shù)式中底數(shù)絕對結(jié)論，求解時，分子、分母同除以指數(shù)式中底數(shù)絕對 值最大的一式值最大的一式4對于無限項的和或積的極限應先把無限項轉(zhuǎn)化為有限對于無限項的和或積的極限應先把無限項轉(zhuǎn)化為有限 項，再求極限項，再求極限 已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足條件滿足條件a11，a2r(r0)，且，且a

9、nan1是公比為是公比為q(q0)的等比數(shù)列，設(shè)的等比數(shù)列，設(shè)bna2n1a2n(nN*)(1)求出使不等式求出使不等式anan1an1an2an2an3(nN*)成立的成立的q的取值范圍；的取值范圍；(2)求求bn和和 ，其中，其中Snb1b2bn.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)依題意得依題意得rqn1rqnrqn1，由題設(shè)由題設(shè)r0，q0，故從上式可得故從上式可得q2q10，解得，解得又又q0，故，故0qbn是首項為是首項為1r，公比為，公比為q的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，從而從而bn(1r)qn1.當當q1時，時，Snn(1r)，當當0q1時，時，Sn當當q1時，時，Sn綜上所述，綜

10、上所述， 以選擇題或填空題的形式考查數(shù)列極限的求法是以選擇題或填空題的形式考查數(shù)列極限的求法是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法，且難度較小高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法，且難度較小.09年四川高年四川高考將數(shù)列極限問題同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、導數(shù)等問考將數(shù)列極限問題同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、導數(shù)等問題相結(jié)合，出現(xiàn)在解答題中，是一個新的考查方向題相結(jié)合，出現(xiàn)在解答題中，是一個新的考查方向. 考題印證考題印證 (2021四川高考四川高考)已知已知a0且且a1，函數(shù)，函數(shù)f(x)loga(1ax) (1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷的定義域，并判斷f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)若若nN*，求，求 (3)當

11、當ae(e為自然對數(shù)的底數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))時，設(shè)時，設(shè)h(x)(1ef(x)(x2m1)若函數(shù)若函數(shù)h(x)的極值存在，求實數(shù)的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍及函數(shù)的取值范圍及函數(shù)h(x)的極值的極值【解】【解】(1)由題意知由題意知1ax0，所以當所以當0a1時，時，f(x)的定義域是的定義域是(0，)；當當a1時，時，f(x)的定義域是的定義域是(，0)f(x) logae當當0a1時，時，x(0，)因為因為ax10，ax0，故，故f(x)0，所以所以f(x)是減函數(shù)是減函數(shù)當當a1時，時，x(，0)因為因為ax10，ax0，故，故f(x)0，所以所以f(x)是減函數(shù)是減函數(shù)(2)因為因為

12、f(n)loga(1an)，所以，所以af(n)1an，由函數(shù)定義域知由函數(shù)定義域知1an0，因為因為n是正整數(shù)，故是正整數(shù)，故0a1.所以所以(3)h(x)ex(x2m1)(x0)，所以所以h(x)ex(x22xm1)令令h(x)0，即，即x22xm10，由題意應有由題意應有0，即，即m0.當當m0時，時，h(x)0有實根有實根x1，在，在x1點左右兩點左右兩側(cè)均有側(cè)均有h(x)0，故，故h(x)無極值無極值當當0m1時，時，h(x)0有兩個實根，有兩個實根，x11 ，x21 .當當x變化時，變化時，h(x)、h(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x

13、2,0)h(x)00h(x)極大值極大值極小值極小值h(x)的極大值為的極大值為h(x)的極小值為的極小值為當當m1時，時，h(x)0在定義域內(nèi)有一個實根，在定義域內(nèi)有一個實根，x1 .同上可得同上可得h(x)的極大值為的極大值為綜上所述，綜上所述，m(0，)時，函數(shù)時，函數(shù)h(x)有極值；有極值；當當0m1時，時，h(x) 的極大值為的極大值為h(x)的極小值為的極小值為當當m1時，時，h(x)的極大值為的極大值為 自主體驗自主體驗 如圖在如圖在RtABC中，有一系列正方形，面積分別是中，有一系列正方形，面積分別是S1，S2，Sn，已知已知tanA ，求所有這些正方形的面積，求所有這些正方形

14、的面積和與和與ABC面積的比面積的比解：設(shè)解：設(shè)BCa，由，由tanA 知知AC2a，SABCa2.AB1C1ABC， B1C1 a，第一個正方形邊長為第一個正方形邊長為a1 a，面積，面積S1 a2.設(shè)第設(shè)第n個正方形邊長為個正方形邊長為an，第，第n1個正方形邊長為個正方形邊長為an1，則由三角形相似可得則由三角形相似可得而而ACnACn1an1，解得解得an1 an，即，即 由此可知：這一系列正方形的邊長組成一個以由此可知：這一系列正方形的邊長組成一個以q 為公比的等比數(shù)列，面積組成一個以為公比的等比數(shù)列，面積組成一個以q2 為公比，首為公比，首項為項為S1 a2的等比數(shù)列的等比數(shù)列 所以所以即所有這些正方形面積的和與即所有這些正方形面積的和與ABC面積之比為面積之比為4 5.1 等于等于 () A2B4 C. D0解析：解析：123n原式原式答案：答案：C2設(shè)設(shè)Sn是無窮等比數(shù)列的前是無窮等比數(shù)列的前n項和，假設(shè)項和，假設(shè) ，則，則首首 項項a1的取值范圍是的取值范圍是 ()A(0, ) B(0, )C(0, )( , ) D(0, )( ,1)解析：解析： ，解得，解得q14a1.由由|q|1且且q0可得，可得，|14a1|1且且|14a1|0，解之，解之得得a1