點到直線的距離公式

1、第2課時 點到直線的距離公式 工廠工廠工廠在公路的一側，準備修一條水泥路和公路連接，請工廠在公路的一側，準備修一條水泥路和公路連接，請問怎樣修才能使工廠距離公路最近，請畫出所修的路線問怎樣修才能使工廠距離公路最近，請畫出所修的路線.你認為哪種方案最節(jié)省材料？你的理由是什么？你認為哪種方案最節(jié)省材料？你的理由是什么？最短距離應是垂線段最短距離應是垂線段ABAB，所畫的這條線段我們給它，所畫的這條線段我們給它起了一個名字，叫作起了一個名字，叫作點到直線的距離！我們本點到直線的距離！我們本節(jié)課來研究它！節(jié)課來研究它！工廠工廠AB1.1.知道點到直線的距離公式的推導過程知道點到直線的距離公式的推導過程

2、. . （重點）（重點）2.2.會利用點到直線的距離公式求點到直線的距離會利用點到直線的距離公式求點到直線的距離. . （難點）（難點）思考思考1 1：如何計算點如何計算點P P( (-3-3，5 5) )到直線到直線L L: :3 3x-4 4y- -5 5=0=0的距的距離呢？離呢？提示：提示：過點過點P P作作PHLPHL，垂足為，垂足為H H，則點則點P P到直線到直線L L的距離就是線段的距離就是線段PHPH的長的長通過求點通過求點H H的坐標，用兩點間的坐標，用兩點間的距離公式求的距離公式求PHPHOxy3x-4y-5=0)5 , 3(PHp(-3,5)4 4用兩點間的距離公式，求

3、出點用兩點間的距離公式，求出點P P到到L L的距離的距離1 1由由PHLPHL，可知，可知PHPH所在直線的斜率為所在直線的斜率為2 2求出求出PHPH的方程即的方程即4x+3y-34x+3y-3=0.=0.3.3.由由L L和和PHPH所在直線的方程所在直線的方程3x-4y- -5 5=0=0，4 4x+3y-3=0=0，解得解得H H點的坐標為點的坐標為342511,2527H534251152527322PHQPyxol思考：思考：已知點已知點P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直線和直線l:Ax+By+C=0, :Ax+By+C=0, 怎樣怎樣求點求點P P到直線到直線l

4、的距離的距離? ?如圖，如圖，P P到直線到直線l的距離，就是指從點的距離，就是指從點P P到直線到直線l的的垂線段垂線段PQPQ的長度，其中的長度，其中Q Q是垂足是垂足. . 當當A=0A=0或或B=0B=0時時, ,直線方程為直線方程為y=y1或或x=x1的形式的形式. .xyox=x1P(x0,y0)-01PQyy -01PQxx yo y=y1 p(x0,y0)xQ(x0,y1)Q(x1,y0)(1)(1)點點P(-1,2)P(-1,2)到直線到直線3 3x=2=2的距離是的距離是_._.(2)(2)點點P(-1,2)P(-1,2)到直線到直線3 3y=2=2的距離是的距離是_._.

5、練一練練一練5343直線直線 的方程的方程l直線直線 的斜率的斜率llPQ直線直線 的方程的方程l直線直線 的方程的方程PQ交點交點PQ點點 之間的距離之間的距離 （ 到到 的距離）的距離）P Q,Pl點點 的坐標的坐標P直線直線 的斜率的斜率PQ點點 的坐標的坐標P點點 的坐標的坐標Q兩點間距離公式兩點間距離公式下面設下面設A0,B 0, A0,B 0, 我們進一步探求點到直線的距我們進一步探求點到直線的距離公式離公式: :思路思路1 1：垂線段法垂線段法yxlO0,)y0P(xQ若直線不平行于坐標軸若直線不平行于坐標軸( (即即A 0且且B0),),由由 0 AxByC可得它的斜率是可得它

6、的斜率是,AB直線的方程是直線的方程是00(), ByyxxA00, BxAyBxAy即即與與0 AxByC聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得20022, B xAByACxAB20022A yABxBCyAB 2200002222y(,)B xAByACAABxBCQABAB 22220000002222|()()B xAByACA yABxBCPQxyABAB22220000222222()()()() AAxByCBAxByCABAB0022 AxByCABQyxlO0,)y0P(x10( ,)N x y01(,)M xy一般地，對于直線一般地，對于直線0:0(0,0),),l AxBy CABy0外

7、一點P(x,PPQlQPyx過點 作垂足為過點 分別作 軸 軸的平行線l0110交直線于點（， ）,（ ，）思路思路2 2：三角形的面積公式：三角形的面積公式y(tǒng)xlQO0,)y0P(x01(,)M xy10(,)N x y0010,0, ByCAxByC1由 Ax001,.ByCAxCyAB1得 x0010.AxByCxxA所以PN0010AxByCPMyyBPQPQ是是RtRtPMNPMN斜邊上的高斜邊上的高, ,由三角形面積可知由三角形面積可知002222.PMPNPMPNAxByCPQMNABPMPNOyxlPQM過過P作作PMx軸交軸交l于于M，構造直角，構造直角PQMP(x0,y0)

8、, l:Ax+By+C=0, AB0,傾斜角設為傾斜角設為 銳角銳角 1與傾斜角與傾斜角 有何關系？有何關系？ 1 1= 如果如果l的傾斜角是鈍角呢？的傾斜角是鈍角呢？OyxlPQM 1 1= - 怎樣用怎樣用|PM|表示表示|PQ|？|PQ|=|PMcos 1 | cos 1 =|cos |PQ|=|PMcos |思路思路3 3：解直角三角形法：解直角三角形法OyxlPQ 1 M已知已知P(x0,y0),設設M(x1,y1)PMOy，x1=x0將將M(x0,y1)代入代入l的方程得的方程得BCAxy 0110yyPM BCAxy 00BCByAx 002222211111coscosBABB

9、Atg 又又2200cosBACByAxPMPQ 由此我們得到，由此我們得到，:0l AxByC的距離的距離0022.AxByCdAB點到直線的距離公式點到直線的距離公式00(,)P x y點點 到直線到直線直線方程為直線方程為一般式一般式例例1 1.(1).(1)求原點到直線求原點到直線l1 1:5x-12y-9=0:5x-12y-9=0的距離；的距離；(2)(2)求點求點P(-1,2)P(-1,2)到到直線直線l2 2:2x+y-10=0:2x+y-10=0的距離的距離. .分析：分析：根據(jù)點到直線的距離公式求解根據(jù)點到直線的距離公式求解求下列點到直線的距離：求下列點到直線的距離：(1)(

10、0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y(1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y答案答案: : (1) (2) (1) (2) 5 224 1313【變式練習變式練習】例例2.2.用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高到兩腰的距離之差等于一腰上的高. .證明：證明：在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，P P為為BCBC延長線上一點，延長線上一點，PDABPDAB于于D D，PEACPEAC于于E E，CFABCFAB于于F.F.以以BCBC所在直線為所在直線為x軸，以軸，以

11、BCBC的中的中垂線為垂線為y y軸，建立直角坐標系軸，建立直角坐標系如圖如圖. . yADFB OCEPx設設A(0,b),BA(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a0,b0),-a,0),C(a,0)(a0,b0),則直線則直線ABAB方方程為程為bx-ay+ab=0,=0,直線直線ACAC方程為方程為bx+ay-ab=0,-ab=0,取取P(xP(x0 0,0),0),使使x0a,a,則點則點P P到直線到直線ABAB，ACAC的距離分別為的距離分別為002222|0|,bxabbxabPDabab-+=+002222|0|.bxabbxabPEabab+-=+則點則點C C到直線到直線ABAB的距離為的距離為2222|2|,abababCFabab+=+222|.abPDPECFab-=+則則四、課堂小結:點點 到到 直直 線線 的的 距距 離離2200BACByAxd 1.此公式的作用是求點到直線的距離；此公式的作用是求點到直線的距離；2.此公式是在此公式是在A、B0的前提下推導的；的前提下推導的；3.如果如果A=0或或B=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；4.如果如果A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；5.用此公式時直線要先化成一般式。用此公式時直線要先化成一般式。1 1、學習了點到