金屬塑性成形原理第三章金屬塑性成形的力學(xué)基礎(chǔ)第二節(jié)應(yīng)變分析-無(wú)動(dòng)畫版

1、金屬塑性成形原理 第三章金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ) 第2 節(jié) 應(yīng)變分析1. 位移和應(yīng)變2. 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量3. 塑性變形時(shí)的體積不變條件4. 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)相比較5. 小應(yīng)變幾何方程6. 應(yīng)變連續(xù)方程7. 應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量8. 塑性加工中常用的變形量計(jì)算方法9. 有限變形第2 節(jié) 應(yīng)變分析n位移 一個(gè)物體受作用力后，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)發(fā)生了相對(duì)位置的改變，即產(chǎn)生了位移。位移是矢量，在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)M（x, y, z）的位移矢量可用其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影即位移分量ux、 uy 、 uz來(lái)表示。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有二階偏導(dǎo)數(shù)，即 ( , , ) (, ,

2、 )iiuu x y zix y z一、位移和應(yīng)變一、位移和應(yīng)變變形體內(nèi)無(wú)限接近兩點(diǎn)的位移分量之間的關(guān)系設(shè)受力物體內(nèi)任一點(diǎn)M (xy，z)，與M點(diǎn)無(wú)限接近的一點(diǎn)M (x+dxy+dy，z+dz) M (x,y,z)M1 (x+u,y+v,z+w)位移分量：位移分量：),(zyxuuii M (x+dx,y+dy,z+dz)iiuuM1 (x+dx+u+u,y+dy+v+v,z+dz+w+w)位移分量：位移分量：),( dzzdyydxxuuiiiu),(zyxuuii式中 為位移增量iijjiiiuudxxuuujjiidxxuu說(shuō)明，若已知變形物體內(nèi)一點(diǎn)的位移分量，則與其鄰近一點(diǎn)的位移分量可

3、以用該點(diǎn)的位移分量及其增量來(lái)表示。將將ui按泰勒數(shù)展開按泰勒數(shù)展開 iijjiiiiiiiiiuudxxuzyxudxxudzzudyyudxxuzyxudzzdyydxxuu ),(21),(),(222jjiidxxuu一、位移和應(yīng)變b)b)壓縮成形壓縮成形PPPP1 1 沿中心線壓扁沿中心線壓扁Q QQ Q1 1 由于摩擦的作用，壓扁且歪斜由于摩擦的作用，壓扁且歪斜R RR R1 1 成鼓形后有明顯的角度偏轉(zhuǎn)成鼓形后有明顯的角度偏轉(zhuǎn)a) a) 均勻拉伸均勻拉伸PPPP1 1 拉長(zhǎng)變細(xì)拉長(zhǎng)變細(xì)Q QQ Q1 1 單元體取的方位不同，變形方式不同，歪單元體取的方位不同，變形方式不同，歪斜了斜

4、了c) c) 彎曲工序彎曲工序PPPP1 1 縮短且轉(zhuǎn)動(dòng)一角度縮短且轉(zhuǎn)動(dòng)一角度Q QQ Q1 1轉(zhuǎn)動(dòng)一角度，但未變形轉(zhuǎn)動(dòng)一角度，但未變形n變形 物體中各點(diǎn)位移不同而產(chǎn)生形狀的變化。 一個(gè)連續(xù)體中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的變化可分為兩種形式: 一種是線尺寸的伸長(zhǎng),縮短. - 線應(yīng)變或正應(yīng)變 一種是單元體發(fā)生歪斜. -切應(yīng)變一、位移和應(yīng)變小變形 物體在外力作用下產(chǎn)生變形，與本身幾何尺寸相比是非常小的量（一般不超過(guò)10-2數(shù)量級(jí)），這種變形稱做小變形。在小變形分析中，變形量的二次微量可以忽略，分析起來(lái)比較簡(jiǎn)單直觀，是大變形分析的基礎(chǔ)，因此本章只討論小變形分析。 一個(gè)塑性變形過(guò)程可按其過(guò)程中的每一瞬時(shí)來(lái)考慮

5、,即利用一系列小應(yīng)變問(wèn)題來(lái)解決大應(yīng)變問(wèn)題.一、位移和應(yīng)變n小應(yīng)變 當(dāng)變形處于小變形時(shí),剪應(yīng)變不影響線尺寸. 線元PB由原長(zhǎng)r變成了r1=r+r， 單位長(zhǎng)度的變化稱為線元PB的正應(yīng)變.PBPAPC一、位移和應(yīng)變xxxrryyyrr 設(shè)單元體在xy平面內(nèi)發(fā)生了剪變形,線元PC和PA所夾的角CPA縮小了角,變成了C1PA,相當(dāng)于C點(diǎn)在垂直于PC方向偏移了r,xyxyyrr tan-工程剪應(yīng)變（相對(duì)切應(yīng)變）-切應(yīng)變xyyxxy21一、位移和應(yīng)變n應(yīng)變線應(yīng)變（正應(yīng)變）表示線長(zhǎng)度的相對(duì)伸長(zhǎng)或縮短量。伸長(zhǎng)為正值，縮短為負(fù)值角應(yīng)變（剪應(yīng)變）表示角度變化的量。角度減小為正值，角度增加為負(fù)值應(yīng)變下標(biāo)的意義第一個(gè)下

6、標(biāo)表示線元的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示線元變形的方向。切應(yīng)變及剛性轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)實(shí)際偏轉(zhuǎn)角為xy,yx,xyyxxyxyyxxy21)(21xyyxzzyzyxzxyxy= =+ +單元體變形單元體變形 = = 純切應(yīng)變純切應(yīng)變 + + 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 一、位移和應(yīng)變名義應(yīng)變（工程應(yīng)變、相對(duì)應(yīng)變）名義應(yīng)變（工程應(yīng)變、相對(duì)應(yīng)變）變形前后尺寸變化量與變形前尺寸之比，通常用百分?jǐn)?shù)表示假設(shè)l0為物體中兩質(zhì)點(diǎn)變形前的尺寸，ln為變形后尺寸，則工程應(yīng)變表示為%10000llln工程應(yīng)變一般適用于變形程度較小的情況，當(dāng)變形程度較大時(shí)，工程應(yīng)變不足以反映物體的實(shí)際變形過(guò)程，這時(shí)要采用對(duì)數(shù)應(yīng)變。一、位移和應(yīng)變對(duì)數(shù)應(yīng)變?cè)趯?shí)際

7、變形過(guò)程中，假設(shè)物體中兩質(zhì)點(diǎn)的距離由變形前的 l0 經(jīng)過(guò) n 個(gè)變形過(guò)程后變?yōu)?ln ，則總應(yīng)變量可近似為 n 個(gè)無(wú)限小的相對(duì)應(yīng)變之和，即11112001111111nnnniiiiniiillllllllllllll當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)，則總的應(yīng)變量為0111ln0llldlllnllniiin稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變，它反映了物體變形的實(shí)際情況一、位移和應(yīng)變L=l0l1l2ln 反映了物體變形的實(shí)際情況，稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變或真實(shí)應(yīng)變，它能真實(shí)地反映變形的累積過(guò)程，表示在應(yīng)變主軸方向不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤汀Ｔ诖笏苄宰冃沃?，主要用?duì)數(shù)應(yīng)變來(lái)反映物體的變形程度。一、位移和應(yīng)變n工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變的特性比較對(duì)數(shù)應(yīng)

8、變能夠反映物體變形的實(shí)際情況，工程應(yīng)變只是在變形程度很小時(shí)近似反映物體的變形情況。從上式可以看出對(duì)數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變的關(guān)系，即只有當(dāng)變形程度很小時(shí)，工程應(yīng)變才近似等于對(duì)數(shù)應(yīng)變，變形程度越大，二者相差愈大。一般認(rèn)為，當(dāng)變形程度超過(guò)10%時(shí)，就要用對(duì)數(shù)應(yīng)變來(lái)表達(dá)。23401001n1n1n(1)234lllll一、位移和應(yīng)變對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可加性，工程應(yīng)變不具有可加性。設(shè)某物體的原長(zhǎng)度為l0，歷經(jīng)變形過(guò)程l1、l2到l3，則總的對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)楦鞣至繉?duì)數(shù)應(yīng)變之和，即30331200123120121231n1n() 1n1n1n lllllldllllllllllll 一、位移和應(yīng)變對(duì)應(yīng)的各階段的相對(duì)應(yīng)變?yōu)?

9、03221011223012 lllllllll顯然03011223一、位移和應(yīng)變對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。假設(shè)將試樣拉長(zhǎng)一倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。拉長(zhǎng)一倍時(shí)0021n1n2ll 壓縮一半時(shí)000.51n1n2ll 因此，對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變。(負(fù)號(hào)表示應(yīng)變方向相反)一、位移和應(yīng)變L2L0.5L考慮工程應(yīng)變拉長(zhǎng)一倍時(shí)0002100%lll壓縮一半時(shí)0000.550%lll 因此，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。一、位移和應(yīng)變n現(xiàn)設(shè)變形體內(nèi)任一點(diǎn)a（x，y，z）應(yīng)變分量為ij。由a引一任意方向線元ab，長(zhǎng)度為r，方向余弦為l，m，n。小變形前，b可視為a點(diǎn)無(wú)限接近的一點(diǎn)，其坐標(biāo)

10、為（x+dx，y+dy，z+dz）二、應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量5.八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變 以應(yīng)變主軸為坐標(biāo)軸，可作出八面體，八面體平面法線方向的線元的應(yīng)變叫做八面體應(yīng)變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzxn 將八面體剪應(yīng)變8 乘以系數(shù) ，可得等效應(yīng)變（廣義應(yīng)變、應(yīng)變強(qiáng)度）2 等效應(yīng)變是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到。四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的

11、比較 單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，主應(yīng)變?yōu)?、 2 =3 。 考慮塑性變形,有1230 因而23112 所以22111233()()322 l單向應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)變四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較主應(yīng)變圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主應(yīng)變圖只可能有三種形式6.主應(yīng)變圖廣義拉伸：擠壓和拉拔廣義剪切：寬板彎曲、無(wú)限長(zhǎng)板鐓粗、純剪切和軋制板帶廣義壓縮：展寬的軋制和自由鐓粗；四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較 主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力9種；主應(yīng)變3種 但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似應(yīng)力應(yīng)變分析的異同差異性：v

12、概念：應(yīng)力 研究面元ds 上力的集度 應(yīng)變 研究線元dl 的變化情況v內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)力平衡微分方程 應(yīng)變應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程 應(yīng)力應(yīng)變分析的異同等效關(guān)系：v等效應(yīng)力彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同v等效應(yīng)變彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同 對(duì)于彈性變形： （ 泊松比） 對(duì)于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e應(yīng)力應(yīng)變分析的異同n小變形時(shí)，可以認(rèn)為只有正應(yīng)變引起邊長(zhǎng)和體積的變化，而剪應(yīng)變所引起的邊長(zhǎng)和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。設(shè)單元體的初始邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，則變形前的體積為 0Vdxdydz三、塑性變形體積不變條件n單元體體積的

13、變化（單位體積變化率）為 00 xyzVVV(1)(1)(1) (1)xyzxyzVdxdydzdxdydzl變形后的體積為 三、塑性變形體積不變條件l體積不變條件0 xyz三、塑性變形體積不變條件 塑性體積不變條件用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示更準(zhǔn)確。設(shè)變形體的原始長(zhǎng)、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件可表示為1111 1 112300000011110lbhl b hnnnnlbhl b h 三、塑性變形體積不變條件例題 例例: :一塊長(zhǎng)、寬、厚為一塊長(zhǎng)、寬、厚為120mm120mm36mm 36mm 0.5mm0.5mm的平板，拉伸后在長(zhǎng)度方向均勻的平板，拉伸后在

14、長(zhǎng)度方向均勻伸長(zhǎng)至伸長(zhǎng)至144mm144mm，若寬度不變時(shí)，求平板的最終尺寸。，若寬度不變時(shí)，求平板的最終尺寸。120144lnl03636lnb0lnhhh由體積不變條件由體積不變條件0hbl得得lh所以所以120144lnln0hh即即1441200hh)(417. 05 . 01441201441200mmhh所以，平板的最終尺寸為所以，平板的最終尺寸為144mm144mm36mm 36mm 0.417mm0.417mm解：解：根據(jù)變形條件可求得長(zhǎng)、寬、根據(jù)變形條件可求得長(zhǎng)、寬、厚方向上的的主應(yīng)變（用對(duì)數(shù)應(yīng)厚方向上的的主應(yīng)變（用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示變表示) )為：為：n單元體同時(shí)發(fā)生了線變形、剪

15、變形、剛性平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)單元體先平移至變形后的位置，然后再發(fā)生變形，其變形可以分解為：1. 在x、y、z方向上，線元的長(zhǎng)度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為 , , yxzxyzxyzrrrrrr二、應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量二、應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量2. 在x面、y面和z面內(nèi)，單元體發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，其剪應(yīng)變?yōu)?(212121)(212121)(212121xzzxxzzxxzzxzyyzzyyzzyyzyxxyyxxyyxxy相對(duì)位移張量為一個(gè)非對(duì)稱張量，張量性質(zhì)：任意非對(duì)稱張量可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量。zzyzxyzyyxxzxyxijejiijjiijjijiijijeeeeeeee212121將

16、非對(duì)稱張量 疊加上一個(gè)零張量ije二、應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量1111()()0()()22221111()()()0()22221111()()()()02222xxyyxxzzxxyyxxzzxyxxyyyzzyyxxyyzzyzxxzzyyzzzxxzzyyz000 xxyxzzyyxyyzzxzxzyzyxxxyxzijyxyyzzxzyze二、應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量n質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)互相垂直方向上的9個(gè)應(yīng)變分量確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。已知這9個(gè)應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對(duì)應(yīng)不同坐標(biāo)系的應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。這9個(gè)應(yīng)變分量組成一個(gè)應(yīng)變張量，由于ij= ji ，故應(yīng)變張量是二階

17、對(duì)稱張量，可用ij表示為 xxyxzijyxyyzzxzyz或xxyxzijyyzz二、應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量n小變形時(shí)，可以認(rèn)為只有正應(yīng)變引起邊長(zhǎng)和體積的變化，而剪應(yīng)變所引起的邊長(zhǎng)和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。設(shè)單元體的初始邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，則變形前的體積為 0Vdxdydz三、塑性變形體積不變條件n單元體體積的變化（單位體積變化率）為 00 xyzVVV(1)(1)(1) (1)xyzxyzVdxdydzdxdydzl變形后的體積為 三、塑性變形體積不變條件l實(shí)驗(yàn)指出，金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形時(shí)，其所產(chǎn)生的體積變形是彈性的，當(dāng)外力去除之后，體積變形恢復(fù)，沒(méi)有殘余的體積變形，并

18、且這種彈性的體積改變是很小的，例如彈簧鋼在一萬(wàn)個(gè)大氣壓下體積縮小2.2%。因此，對(duì)于一般應(yīng)力狀態(tài)下的變形體，在塑性變形前后的體積變化是可以忽略的。即0 xyz上式稱為體積不變條件。三、塑性變形體積不變條件工程應(yīng)變計(jì)算簡(jiǎn)單。 塑性體積不變條件用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示更準(zhǔn)確。設(shè)變形體的原始長(zhǎng)、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件可表示為1111 1 112300000011110lbhl b hnnnnlbhl b h 一、位移和應(yīng)變例題 例例: :一塊長(zhǎng)、寬、厚為一塊長(zhǎng)、寬、厚為120mm120mm36mm 36mm 0.5mm0.5mm的平板，拉伸后在長(zhǎng)度方向均勻的

19、平板，拉伸后在長(zhǎng)度方向均勻伸長(zhǎng)至伸長(zhǎng)至144mm144mm，若寬度不變時(shí)，求平板的最終尺寸。，若寬度不變時(shí)，求平板的最終尺寸。120144lnl03636lnb0lnhhh由體積不變條件由體積不變條件0hbl得得lh所以所以120144lnln0hh即即1441200hh)(417. 05 . 01441201441200mmhh所以，平板的最終尺寸為所以，平板的最終尺寸為144mm144mm36mm 36mm 0.417mm0.417mm解：解：根據(jù)變形條件可求得長(zhǎng)、寬、根據(jù)變形條件可求得長(zhǎng)、寬、厚方向上的的主應(yīng)變（用對(duì)數(shù)應(yīng)厚方向上的的主應(yīng)變（用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示變表示) )為：為：同理，用應(yīng)變?cè)?/p>

20、量表示的體積不變條件為0 xyzddd用應(yīng)變速率表示的體積不變條件為0 xyz 體積不變條件表明，塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零，說(shuō)明三個(gè)正應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)。 三、塑性變形體積不變條件n1.主應(yīng)變 存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無(wú)剪應(yīng)變。用1、2 、3表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為123000000ij四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較2. 應(yīng)變狀態(tài)特征方程 321230III 存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3 1123xyzI2222122331()() ()xyyzzxxyyzzxI 22231232() xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 應(yīng)指出，塑性變形

21、時(shí)體積不變，故I10四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較 主剪應(yīng)變?yōu)樵谂c主應(yīng)變方向成45方向上存在主剪應(yīng)變，其大小為1212232331311()21()21()2 若 ，則最大剪應(yīng)變?yōu)?23max131()2 3.主剪應(yīng)變、最大剪應(yīng)變四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較4.應(yīng)變張量的分解000000 xmxyxzmijyxymyzmzxzyzmm設(shè)三個(gè)正應(yīng)變分量的平均值為m ，即1231111()()333mxyzI則 式中，第一項(xiàng)為應(yīng)變偏張量，表示單元體的形狀變化；第二項(xiàng)為應(yīng)變球張量，表示單元體的體積變化。塑性變形時(shí)體積不變，m 0，應(yīng)變偏張量就是應(yīng)變張量。四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較5.八面

22、體應(yīng)變和等效應(yīng)變 以應(yīng)變主軸為坐標(biāo)軸，可作出八面體，八面體平面法線方向的線元的應(yīng)變叫做八面體應(yīng)變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzxn 將八面體剪應(yīng)變8 乘以系數(shù) ，可得等效應(yīng)變（廣義應(yīng)變、應(yīng)變強(qiáng)度）2 等效應(yīng)變是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到。四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較 單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，主應(yīng)變?yōu)?、 2 =3 。 考慮塑性變形,

23、有1230 因而23112 所以22111233()()322 l單向應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)變四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較主應(yīng)變圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主應(yīng)變圖只可能有三種形式6.主應(yīng)變圖廣義拉伸：擠壓和拉拔廣義剪切：寬板彎曲、無(wú)限長(zhǎng)板鐓粗、純剪切和軋制板帶廣義壓縮：展寬的軋制和自由鐓粗；四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較 主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力9種；主應(yīng)變3種 但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較n主應(yīng)力圖和主應(yīng)變圖符號(hào)不一致的原因：由于主應(yīng)力圖中各主應(yīng)力分量包含有引起彈性體積變化的主應(yīng)力成分即球應(yīng)力張量所致，而主應(yīng)變圖中的主

24、應(yīng)變則不包括彈性變形。n從各主應(yīng)力中把 m扣除，余下的應(yīng)力分量（即應(yīng)力偏量的分量）也只有三種，與主應(yīng)變圖相對(duì)應(yīng)。 四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321mijijI I Iz y x j i , , , , , , ) , , , (88max3 2 1321mijijJ J Jz y x j i , , , , , , , ) , , , (8 8max3 2 13 2 1應(yīng)力應(yīng)變分析的異同差異性：v概念：應(yīng)力 研究面元ds 上力的集度 應(yīng)變

25、研究線元dl 的變化情況v內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)力平衡微分方程 應(yīng)變應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程 應(yīng)力應(yīng)變分析的異同等效關(guān)系：v等效應(yīng)力彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同v等效應(yīng)變彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同 對(duì)于彈性變形： （ 泊松比） 對(duì)于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e應(yīng)力應(yīng)變分析的異同n物體變形后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了位移，并因此而產(chǎn)生應(yīng)變。位移場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，因而可以用位移表示應(yīng)變。 五、應(yīng)變幾何方程位移場(chǎng) 幾何方程應(yīng)變場(chǎng) 本構(gòu)方程應(yīng)力場(chǎng) 一般情況下，位移場(chǎng)都比較復(fù)雜，對(duì)于某些簡(jiǎn)單且理想的場(chǎng)合，可通過(guò)幾何關(guān)系直接求得位移場(chǎng)。比較

26、邊界條件五、應(yīng)變幾何方程圖 位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系 設(shè)單元體棱邊長(zhǎng)度分別為dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1，a點(diǎn)變形后移到a1點(diǎn)后，所產(chǎn)生的位移分量為u、v，則b點(diǎn)和c點(diǎn)的位移增量為 cbcbuuudxudyxyvvvdxvdyxyn根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以求出棱邊ac(dx) 在x方向的線應(yīng)變x為 ccxuuuuudxdxxl棱邊ab(dy)在y方向的線應(yīng)變y為 五、應(yīng)變幾何方程bbyvvvvvdydyyn由圖中的幾何關(guān)系可得 2 11 2tan 11byxbuuub babvvdyvuudyyyvvdyyy五、應(yīng)變幾何方程n因?yàn)閥vyl

27、其值遠(yuǎn)小于1，所以有 tanyxyxuyl同理，有tanxyxyvxn則有xyyxxyyxuvyxl剪應(yīng)變?yōu)?2xyyxuvyx五、應(yīng)變幾何方程n按照同樣的方法，由單元體在yOz和zOx坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系，得其余應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，綜合在一起為 1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz12jiijjiuuxx五、應(yīng)變幾何方程n上述六個(gè)方程表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，是由變形幾何關(guān)系得到的，稱為小應(yīng)變幾何方程，也叫柯西幾何方程。如果物體中的位移場(chǎng)已知，則可由上述小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場(chǎng)。五、應(yīng)變幾何方程1 21 21 2

28、xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz五、應(yīng)變幾何方程rrUr1rUUrrzzUz11()2rrrUUUrrr11()2zzzUUzr1()2rzzrrzUUzr柱坐標(biāo)系下幾何方程五、應(yīng)變幾何方程UUUUUUUUUUUUUUUsin121ctg1sin121121cossinsin11 球坐標(biāo)系下幾何方程：n要保證變形體的連續(xù)性，六個(gè)應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足一定的關(guān)系，即應(yīng)變連續(xù)方程（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、幾何相容條件）。1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz六、應(yīng)變連續(xù)方程1()2( , , )jiijjiUUxxi jx y z小

29、應(yīng)變幾何方程n在xy坐標(biāo)平面內(nèi)，將幾何方程式中的x、y分別對(duì)y、x求兩次偏導(dǎo)數(shù)，可得 222222xyuyx yyvxx yx l兩式相加，可得 222222yxyxyxx y 六、應(yīng)變連續(xù)方程n同理可得另外兩式，連同上式，有222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz l上式表示了在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系。六、應(yīng)變連續(xù)方程在每個(gè)坐標(biāo)平面中兩個(gè)線應(yīng)變一經(jīng)確定則切應(yīng)變也隨之確定n將應(yīng)變幾何方程中的三個(gè)剪應(yīng)變等式分別對(duì) x、y、 z求偏導(dǎo)，得222222121212xyyzzxuvzy zx zvwxz xy xwuyx yz y l將

30、前兩式相加后減去第三式，得2xyyzzxvzxyx z 六、應(yīng)變連續(xù)方程n再將上式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得 222xyyzyzxvvyzxyyx zx zyx z l同理可得另外兩式，連同上式，有222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 六、應(yīng)變連續(xù)方程在三維空間中三切應(yīng)變一經(jīng)確定則線應(yīng)變也隨之確定不同坐標(biāo)平面內(nèi)，應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的關(guān)系222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 上述兩個(gè)方程統(tǒng)稱為變形連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，它的物理意義為：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的。否

31、則，變形后會(huì)出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。 222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz 六、應(yīng)變連續(xù)方程六、應(yīng)變連續(xù)方程 1.物理意義：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間的關(guān)系滿足上述方程時(shí),物體變形后才連續(xù)的.否則,變形后會(huì)出現(xiàn)”撕裂”或”重疊”,破壞變形體的連續(xù)性. 2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說(shuō)明：同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定，則第三個(gè)也就能確定；在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定； 3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。

32、 討論：討論：例題1n設(shè)一物體在變形過(guò)程中某一極短時(shí)間內(nèi)的位移為n試求：點(diǎn)（1, 1, 1）與點(diǎn)B（0.5, 1, 0）的應(yīng)變值。 33310)1 . 010(10)1 . 005. 05(10)05. 01 . 010(xyzwyzxvzxyu例題2 設(shè) ；其中a、b為常數(shù)，試問(wèn)上述應(yīng)變場(chǎng)在什么情況下成立？ bxyaxyyxayyx2;);(22解：此應(yīng)變場(chǎng)為平面應(yīng)變場(chǎng)，若成立則必須滿足應(yīng)變連續(xù)方程中的前三個(gè)式子?？汕蟮胋yxxayyyx2; 0;2222代入連續(xù)方程式可解得 a=-2b復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)5.八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變 以應(yīng)變主軸為坐標(biāo)軸，可作出八面體，八面體平面法線

33、方向的線元的應(yīng)變叫做八面體應(yīng)變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzxn 將八面體剪應(yīng)變8 乘以系數(shù) ，可得等效應(yīng)變（廣義應(yīng)變、應(yīng)變強(qiáng)度）2 等效應(yīng)變是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到。四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)主應(yīng)變圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主應(yīng)變圖只可能有三種形式6.主應(yīng)變圖廣義拉伸：擠壓和拉拔廣義剪切：寬

34、板彎曲、無(wú)限長(zhǎng)板鐓粗、純剪切和軋制板帶廣義壓縮：展寬的軋制和自由鐓粗；四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力9種；主應(yīng)變3種 但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似應(yīng)力應(yīng)變分析的異同復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)等效關(guān)系：v等效應(yīng)力彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同v等效應(yīng)變彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同 對(duì)于彈性變形： （ 泊松比） 對(duì)于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e應(yīng)力應(yīng)變分析的異同復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)三、塑性變形體積不變條件0 xyz復(fù)習(xí)

35、復(fù)習(xí)1111 1 112300000011110lbhl b hnnnnlbhl b h n物體變形后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了位移，并因此而產(chǎn)生應(yīng)變。位移場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，因而可以用位移表示應(yīng)變。 五、應(yīng)變幾何方程圖 位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz12jiijjiuuxx復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 上述兩個(gè)方程統(tǒng)稱為變形連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，它的物理意義為：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的。否則，變形后會(huì)出現(xiàn)“

36、撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。 222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz 六、應(yīng)變連續(xù)方程復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)全量應(yīng)變的大小與變形途徑有關(guān)，只有知道了變形途徑，才能確定全量應(yīng)變的大小。如果質(zhì)點(diǎn)曾有過(guò)幾次變形，全量應(yīng)變是歷次變形疊加的結(jié)果。反映單元體在某一變形過(guò)程或變形過(guò)程的某個(gè)階段終了時(shí)的變形大小的應(yīng)變量。七、應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量全量應(yīng)變n在塑性變形過(guò)程中，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以一定的速度運(yùn)動(dòng)，形成一個(gè)速度場(chǎng)。將質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移叫做位移速度，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量叫做位移速度分量，簡(jiǎn)稱速度分量，即 uutvvtwwt七、應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速

37、率張量iiuut( , , , )iiuu x y z t位移速度可簡(jiǎn)記為位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，因此，有上式表示變形體內(nèi)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度場(chǎng)。若已知變形體內(nèi)各點(diǎn)的速度分量，則物體中的速度場(chǎng)可以確定。七、應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量 物體在變形過(guò)程中，在某一極短的瞬時(shí)dt，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移改變量稱為位移增量dui 。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在dt內(nèi)沿路徑PPP1從P移動(dòng)無(wú)限小距離到達(dá)P，位移矢量PP與PP之間的差即為位移增量，記為dui。這里d為增量符號(hào)，而不是微分符號(hào)。七、應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量位移增量位移增量的速度分量為ddduudtvvdtwwdt即ddiiuut位移增量分量可寫為ddiuu t 七、應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量 變形體在產(chǎn)生位移增量以后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有了相應(yīng)的無(wú)限小應(yīng)變?cè)隽浚胐ij表示。瞬時(shí)產(chǎn)生的變形可視為小變形，可以仿照小變形幾何方程寫出應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠?，只需用dui代替ui 、 dij代替ij即可，即 (d )1(d )(d )d dd2(d )1(d )(d )d dd2(d )1(d )(d