材料力學圓軸扭轉(zhuǎn)內(nèi)力、應力

1、材料力學圓軸扭轉(zhuǎn)內(nèi)力、應力目錄目錄第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 3.1 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖 3.3 3.3 純剪切純剪切 3.4 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of Materials第八講內(nèi)容目錄第八講內(nèi)容目錄2 3.1 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例汽車傳動軸汽車傳動軸Mechanic of Materials3汽車方向盤操縱桿汽車方向盤操縱桿Mechanic of Materials 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例4Mechanic of Materi

2、als 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例5Mechanic of Materials 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例6Mechanic of Materials 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例7Mechanic of Materials 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例8Mechanic of Materials 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例9變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對的轉(zhuǎn)變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對的轉(zhuǎn)動。動。受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)，作用著一受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)，作用著一對力偶，其力偶矩相等、轉(zhuǎn)

3、向相反。對力偶，其力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相反。扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角：任意兩橫截面間相對轉(zhuǎn)過的角度。任意兩橫截面間相對轉(zhuǎn)過的角度。受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。Mechanic of Materials 3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例101 1、直接計算、直接計算一一. .外力偶矩外力偶矩 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖Mechanic of Materials112 2、按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算、按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算電機輸入功率為電機輸入功率為P(

4、KW),P(KW),每秒作功：每秒作功： 外力偶外力偶m使軸以使軸以n （r/min）轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動， m每秒每秒作功：作功：1000(N m)WP260nWm 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖其中其中P P為功率，單位為千瓦（為功率，單位為千瓦（kWkW）；）；n n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/ /分（分（r/minr/min）。）。如果功率如果功率P P的單位用馬力（的單位用馬力（1 1馬力馬力=735.5 =735.5 W= 0.W= 0.73557355 k kW W ），），則則6010009549N m2PPmnn7024N mr/minPm

5、n馬力Mechanic of Materialsm12mm 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖二、扭矩二、扭矩T T：當桿件受到外力偶作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，在桿橫截：當桿件受到外力偶作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，在桿橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力，稱為扭矩面上產(chǎn)生的內(nèi)力，稱為扭矩T T，單位為，單位為kNkNm m或或N Nm mMechanic of Materials扭矩正負規(guī)定扭矩正負規(guī)定: :右手螺旋法則右手螺旋法則右手四指與扭矩轉(zhuǎn)向一致，右手四指與扭矩轉(zhuǎn)向一致，拇指指向外法線方向為拇指指向外法線方向為 正正(+),(+),反之為反之為 負負(-)(-)TmmmmTT=mTT=-

6、-m13三、扭矩圖三、扭矩圖diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿桿長的：表征扭矩沿桿長的變化規(guī)律的圖象變化規(guī)律的圖象(繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似）繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似） 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖Mechanic of Materials14 圓軸受有四個繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力圓軸受有四個繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為的單位為Nm，尺寸單位為尺寸單位為mm。 試試 ：畫出圓軸的扭矩圖。：畫出圓軸的扭矩圖。

7、 例題例題3-13-1 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖Mechanic of Materials15解：解：1確定控制面確定控制面外加力偶處截面外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面均為控制面 2截面法求各段扭矩截面法求各段扭矩 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖Mechanic of Materials 3建立建立Tx坐標系，畫出扭矩圖坐標系，畫出扭矩圖 建立建立Tx坐標系，其中坐標系，其中x軸平行于圓軸的軸平行于圓軸的軸線，軸線，T軸垂直于圓軸的軸線。軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段將所求得的各段的扭矩值，標在的扭矩值，標在Mx

8、x坐標系中，得到相應的點，過坐標系中，得到相應的點，過這些點作這些點作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。圖。 315630486（）（+）T（kN.m）x110315 0315xMTT 220315 315 0630 xMTT 330486 0486xMTT 315315T3315486T1T216例例3-2 3-2 主動輪主動輪A A的輸入功率的輸入功率P PA A=36kW=36kW，從動輪，從動輪B B、C C、D D輸出功率分別為輸出功率分別為P PB B=P=PC C=11kW=11kW，P PD D=14kW=14kW，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速n=300r

9、/min.n=300r/min.試畫出傳動軸的扭試畫出傳動軸的扭矩圖矩圖3507004463695491146.300AMN m119549350.300BCMMN m149549446 .300DMN m1350.BTMN m 2()700BCTMMN m 3446DTMMechanic of Materials(kN m)TTM截面一側(cè)從最外母線看，外力偶切線方向與扭矩圖從最外母線看，外力偶切線方向與扭矩圖從左到右突變方向相同。從左到右突變方向相同。 3.23.2外力偶的計算外力偶的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖Mechanic of Materials17一、一、 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒

10、的扭轉(zhuǎn) 壁厚0101rt （r0：為平均半徑）（一）、實驗：（一）、實驗：1.實驗前：實驗前：繪縱向線、圓周線；繪縱向線、圓周線； 3.3 純剪切純剪切施加一對外力偶施加一對外力偶 m。Mechanic of Materials2.實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線傾斜縱向線傾斜3.結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。18

11、圓周線間圓周線間距離不變距離不變變形沿圓周變形沿圓周切線方向切線方向表面縱線傾斜表面縱線傾斜,所所有小矩形都歪斜成有小矩形都歪斜成平行四邊形平行四邊形每個小矩形的每個小矩形的變形相同變形相同 3.3 純剪切純剪切Mechanic of Materials lr橫截面上橫截面上無正應力無正應力圓周線的形狀、圓周線的形狀、大小均未改變大小均未改變 沿半徑方向也沿半徑方向也無切應力無切應力 左右兩個截面間產(chǎn)生了左右兩個截面間產(chǎn)生了相對的轉(zhuǎn)動相對的轉(zhuǎn)動 ，截面上有，截面上有切應力切應力存在存在.橫截面上同一圓周上各點的切應力都橫截面上同一圓周上各點的切應力都是相等的是相等的切應力沿圓周的切線方向切應力

12、沿圓周的切線方向,即垂直于半即垂直于半徑方向，與扭矩轉(zhuǎn)向一致徑方向，與扭矩轉(zhuǎn)向一致4. 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：lr .rlT19二、薄壁圓筒切應力二、薄壁圓筒切應力 大?。捍笮。?d AA0：平均半徑所作圓的面積。：平均半徑所作圓的面積。 3.3 純剪切純剪切Mechanic of Materials0 r 000d2 ArArrtT AT2 00 2 2 TTAtr t dAT20三、切應力互等定理：三、切應力互等定理： 0zm上式稱為切應力互等定理為切應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現(xiàn)，且該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現(xiàn)

13、，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線交線 3.3 純剪切純剪切Mechanic of MaterialsTT點右截面點右截面點左截面點左截面()t dy dx 故()t dx dy 單元體的四個側(cè)面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)單元體的四個側(cè)面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。稱為純剪切應力狀態(tài)。acddxb dy tz 單元體：圍繞所研究的截取的邊長為無限小的直六面體。單元體：圍繞所研究的截取的邊長為無限小的直六面體。21四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：

14、 0 2 TAtLR T=m 剪切虎克定律：當切應力不超過材料的剪切比例極限時（剪切虎克定律：當切應力不超過材料的剪切比例極限時（ p)，切應力與切應變成正比關(guān)系，切應力與切應變成正比關(guān)系:0. 2.TLAtRG G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的值可通過實驗確定，鋼材的G值約為值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常

15、數(shù)之間存在下列關(guān)系：對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：)1 (2EG 3.3 純剪切純剪切Mechanic of Materials22一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力公式推導思路一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力公式推導思路Mechanic of Materials（一）幾何方面：（一）幾何方面： 1 1、變形后，橫截面大小、形變形后，橫截面大小、形狀均不改變，半徑仍為直線。狀均不改變，半徑仍為直線。（應力垂直半徑）（應力垂直半徑）2 2、變形后相鄰橫截面間的距離不變。（無正應力）、變形后相鄰橫截面間的距離不變。（無正應力） 扭轉(zhuǎn)時，圓軸的表面變形扭轉(zhuǎn)時，圓軸的表面變形和薄壁圓筒表面變形

16、相似。實和薄壁圓筒表面變形相似。實驗現(xiàn)象：驗現(xiàn)象： 3 3、平面假定：、平面假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，橫截面仍保持平面，兩相鄰橫截圓軸受扭發(fā)生變形后，橫截面仍保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過一角度。面剛性地相互轉(zhuǎn)過一角度。 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力23Rldddxdx Mechanic of Materialsl( a )G IPmm(b)O2O1ABCDDCRd xaG1bcd (d)GcOd A(e)MTO2O1ABCDd x(f)G切應力互等定理切應力互等定理Ad BCDDCO2O1d d x(c)（二）物理方面（線彈性范圍內(nèi)）（二）物理方面（線彈性范圍

17、內(nèi)）（三）靜力學方面（三）靜力學方面 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力24dxxdd 距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。1 1、變形協(xié)調(diào)方程推導應變、應力分布規(guī)律、變形協(xié)調(diào)方程推導應變、應力分布規(guī)律 設(shè)到軸線任意遠設(shè)到軸線任意遠 處的剪應變?yōu)樘幍募魬優(yōu)?（ ），），則有如下幾何關(guān)系：則有如下幾何關(guān)系： Mechanic of Materialsd2 2、物性關(guān)系、物性關(guān)系剪切胡克定律剪切胡克定律 xddGddGx、 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力二、圓軸扭轉(zhuǎn)應力公

18、式推導二、圓軸扭轉(zhuǎn)應力公式推導25xGdd Mechanic of Materials 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力263. 靜力學方程：靜力學方程：OdAdASTF 2dPAIA 令d dP TGIxd dPT xGIPTI 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of MaterialsxGdd dAA2d d dAAGx AxGAddd 2Gx dd物理關(guān)系式物理關(guān)系式27pIT橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點切應力計算公式。處任一點切應力計算公式。4. 公式討論：公式討論：GIP扭轉(zhuǎn)剛度；扭轉(zhuǎn)剛度； 僅適用于各向同性、

19、線彈性僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直材料，在小變形時的等圓截面直桿。桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。IP極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of MaterialsO28單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2對于實心圓截面

20、：對于實心圓截面：DdO 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of Materials d2 202D324DdDOd對于空心圓截面：AIApd2222d2 Dd)(32 44dD )1 (32 44DDd29 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛。應用廣泛。 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of MaterialspIT30 確定最大切應力：確定最大切應力：pIT由知：當max ,

21、 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：幾何量，單位：mm3或或m3。對于實心圓截面：對于實心圓截面：316tPWIRD對于空心圓截面：對于空心圓截面：34(1) 16tpWIRD 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of Materials31( a )D1 4k N m1 4k N m11OBCDOBCD /4(c)(b)14kN mOacb3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力Mechanic of Materials例

22、例3-3 圖示圓軸，圖示圓軸，D=100mm，m=14kNm。解：（解：（1）由求扭轉(zhuǎn)切應力的公式知：）由求扭轉(zhuǎn)切應力的公式知：34414 100.135.73.14 0.1443232BPTTDPaMPaDICtCMPaPaDTWT24 .71161 . 014. 3101416333max（3）切應力沿半徑線性分布，且各點的切應力均垂直于半徑；再根據(jù)切應力互）切應力沿半徑線性分布，且各點的切應力均垂直于半徑；再根據(jù)切應力互等定理，可畫出如圖所示的縱向面等定理，可畫出如圖所示的縱向面oabc上切應力沿半徑上切應力沿半徑oa的分布規(guī)律。表面的分布規(guī)律。表面無切應力。無切應力。試求：試求：(1)

23、1-1截面上截面上B、C兩兩點的切應力。點的切應力。（2）畫出圖）畫出圖(b)所示的橫截面及縱向截面所示的橫截面及縱向截面oacb上切應上切應力沿半徑力沿半徑oa的分布規(guī)律。的分布規(guī)律。=032例3-4 已知：已知：P P7.5kW, n=100r/min,7.5kW, n=100r/min,最大切應力最大切應力不得超過不得超過40MPa,40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = = 0.50.5。二軸長度相同。二軸長度相同。求求: : 實心軸的直徑實心軸的直徑d d1 1和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑D D2 2；確定；確定二軸的重量之比。二軸的重量之比。解解（1 1） 由軸所傳遞的