-1多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件

1、第十四章第十四章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)14.1 14.1 可微性可微性一、偏導(dǎo)數(shù)定義及計(jì)算一、偏導(dǎo)數(shù)定義及計(jì)算00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對(duì)自變量對(duì)自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.例例 1 1 求求 223yxyxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz

2、,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y不存在不存在,1arcsinarcsinlim22000yxyxxyzyyx 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截

3、截得得的的曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)0M處處的的切切線線xTM0對(duì)對(duì)x軸軸的的斜斜率率. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)0M處處的的切切線線yTM0對(duì)對(duì)y軸軸的的斜斜率率.幾何意義幾何意義: :二、全微分的定義二、全微分的定義全微分全微分 (Differentiability) 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.;),(),(lim00000Axyxfyxxfx 由定義知：由定義知：0)()(),(),(lim22000000 yxyBxAyxfyyxx

4、fyx 則則令令 , 0 y .),(),(lim00000Byyxfyyxfy 同理：同理：. ),( ),( :0000yxfByxfAyx 即即習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為 dz),(00|yxdzyyxfxyxfyx ),(),(0000 dyyxfdxyxfyx),(),(0000 dyyxfdxyxfyx),(),( 推廣到三元及三元以上函數(shù)推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)

5、2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例7.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處有有0)0 , 0()0 , 0( yxff dzz 0lim220)()(limyxyx 而而不不存存在在，一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在三、可微的條件三、可微的條件多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在微分存在微分存在全微分存在全微分存在說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在

6、并不能保證全說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在微分存在.證證),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf xyyxxfx ),(010 )10(1 在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xyxfx ),(100 （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時(shí)時(shí)，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),),(),(0000yyxfyyxxf z 2121 yx, 00 同理同理,),(200yyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，02 ,),(),(0000yx

7、fyyxf xyxfx ),(00 yyxfy ),(00 x 1 y 2 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處可微處可微. .多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微分的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微分的關(guān)系函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)存在函數(shù)偏導(dǎo)存在函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim0000yyxxfyx ),(lim000zyxf ),(00yxf 可微分可微分連續(xù)連續(xù) 函函數(shù)數(shù)可可微微、函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在 例例8.0,00,),(222222 yxyxyxxyyxf函函數(shù)數(shù)可可微微、偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù) 例

8、例922),(yxyxf 上上半半圓圓錐錐連續(xù)連續(xù)顯然在顯然在 )0 , 0( ,)0 , 0( 不不存存在在但但xf.)0 , 0(不存在不存在yf. )0 , 0( 不可微不可微在在故故 f思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)可可微微 證證令令,cos x,sin y那那么么22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 ,

9、 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 ,

10、 0(可微可微. 0)0,0( df四、全微分的幾何意義四、全微分的幾何意義nTM切平面上點(diǎn)的切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量豎坐標(biāo)的增量的的全全微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz 五、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用五、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00 .),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(00000000yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004.