第2章地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、徐斌徐斌長(zhǎng)安大學(xué)長(zhǎng)安大學(xué)古代樹(shù)枝地圖古代樹(shù)枝地圖 公元前公元前1500年樹(shù)枝和年樹(shù)枝和貝殼制作的航海圖貝殼制作的航海圖新石器時(shí)代的壁畫(huà)地圖新石器時(shí)代的壁畫(huà)地圖 七世紀(jì)中葉的亞洲（唐朝）七世紀(jì)中葉的亞洲（唐朝） 古代上海地圖古代上海地圖 刻在石頭上的地圖刻在石頭上的地圖 橢球體名稱橢球體名稱年代年代長(zhǎng)半軸（米）長(zhǎng)半軸（米）短半軸（米）短半軸（米）扁率扁率白塞爾白塞爾(Bessel)1841637739763560791：299.15克拉克克拉克(Clarke)1880637824963565151：293.5克拉克克拉克(Clarke)1866637820663565841：295.0海福特海福

2、特(Hayford)1910637838863569121：297克拉索夫斯基克拉索夫斯基1940637824563568631：298.3IUGG1967637816063567751：298.25埃維爾斯特埃維爾斯特(Everest)1830637727663560751：300.8各種地球橢球體模型 空間坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系平面坐標(biāo)系天文地理坐標(biāo)系大地地理坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系高斯平面直角坐標(biāo)系地方獨(dú)立平面直角坐標(biāo)系參心空間直角坐標(biāo)系地心地固空間直角坐標(biāo)系 基本參數(shù)： 球面坐標(biāo)系統(tǒng)，主要包括一個(gè)地球橢球和一個(gè)大地基準(zhǔn)面。大地基準(zhǔn)面規(guī)定了地球橢球與大地體的位置關(guān)系 平面坐標(biāo)系統(tǒng)，除了包含與之對(duì)應(yīng)

3、的球面坐標(biāo)系統(tǒng)的基本參數(shù)外，還必須指定一個(gè)投影規(guī)則，即球面坐標(biāo)與平面坐標(biāo)之間的映射關(guān)系。地球的經(jīng)線和緯線 （1）天文地理坐標(biāo)系 模型：大地體 坐標(biāo)原點(diǎn)：地心（地球質(zhì)量中心） 天文緯度：測(cè)站垂線方向與地球平均赤道面的交角，以表示。 天文經(jīng)度：首天文子午面與測(cè)站天文子午面的夾角，以表示。 （2）大地地理坐標(biāo)系 模型：地球橢球 坐標(biāo)原點(diǎn)：地球橢球中心 大地地理坐標(biāo)也簡(jiǎn)稱大地坐標(biāo)。 大地緯度：以B表示，注意地面點(diǎn)的投影 大地經(jīng)度：以L表示 （3）空間直角坐標(biāo)系 參心空間直角坐標(biāo)系： 模型：地球橢球（參考橢球） 坐標(biāo)原點(diǎn)：參考橢球中心（參心） 由于觀測(cè)范圍的限制，不同的國(guó)家或地區(qū)要求確定的參考橢球面與局

4、部大地水準(zhǔn)面最密合。 由于參考橢球不是唯一的，參心空間直角坐標(biāo)系也不是唯一的。 地心地固空間直角坐標(biāo)系 模型：大地體 坐標(biāo)原點(diǎn)：地球質(zhì)心 （1）高斯平面直角坐標(biāo)系 （2）地方獨(dú)立平面直角坐標(biāo)系高程基準(zhǔn)是推算國(guó)家統(tǒng)一高程控制網(wǎng)中所有水準(zhǔn)高程的起算依據(jù)，包括一個(gè)水準(zhǔn)基面和 一個(gè)永久性水準(zhǔn)原點(diǎn)。水準(zhǔn)基面： 大地水準(zhǔn)面，也是重力等位面，平均海面。地面點(diǎn)的高程 相關(guān)概念： 水位高程，水位標(biāo)高 井口高程 水位埋深2.我國(guó)主要高程基準(zhǔn)水準(zhǔn)原點(diǎn)1985國(guó)家高程基準(zhǔn)，72.2604米黃海海面1952-1979年平均海水面為0米),(),(21fyfx地圖投影變形的圖解示例（摩爾維特投影等積偽圓柱投影）地圖投影變

5、形 幾何透視法：各種幾何投影1、將各帶的坐標(biāo)縱、將各帶的坐標(biāo)縱軸西移軸西移500公里。公里。 Y=y+500000m2、加上投影帶號(hào)。、加上投影帶號(hào)。 Y通通=n*1000000+Y橫軸墨卡托投影-（UTM）UTM投影是一種橫割圓柱割圓柱等角投影，圓柱面在84N和84S處與橢球體相割，它與高斯克呂格投影十分相似，也采用在地球表面按經(jīng)度每6分帶。其帶號(hào)是自西經(jīng)180由西向東每隔6一個(gè)編號(hào)。美國(guó)編制世界各地軍用地圖和地球資源衛(wèi)星像片所采用的全球橫軸墨卡托投影（UTM）是橫軸墨卡托投影的一種變型。高斯投影的中央經(jīng)線長(zhǎng)度比等于1，UTM投影規(guī)定中央經(jīng)線長(zhǎng)度比為0.9996。在6帶內(nèi)最大長(zhǎng)度變形不超過(guò)0

6、.04%。 UTM是國(guó)際比較通用的地圖投影，主要用于全球自84N-80S之間地區(qū)的制圖。蘭勃特等角投影 蘭勃特等角投影在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線下是一“正軸等角割圓錐投影”，由德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭勃特（J. H. Lambert）在1772年擬定。設(shè)想用一個(gè)正圓錐割于球面兩標(biāo)準(zhǔn)緯線，應(yīng)用等角條件將地球面投影到圓錐面上，然后沿一母線展開(kāi)，即為蘭勃特投影平面。蘭勃特等角投影后緯線為同心圓弧，經(jīng)線為同心圓半徑。墨卡托(Mercator)投影是它的一個(gè)特例。蘭勃特投影采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線相割，與采用單標(biāo)準(zhǔn)緯線相切比較，其投影變形小而均勻。我國(guó)主要類型地圖所采用的地圖投影系統(tǒng) 1）我國(guó)基本比例尺地形圖（1：100萬(wàn)、1：50萬(wàn)、1

7、：25萬(wàn)、1：10萬(wàn)、1：5萬(wàn)、1：2.5萬(wàn)、1：1萬(wàn)、1：5000）除1：100萬(wàn)外均采用高斯-克呂格投影為地理基礎(chǔ)； 2）我國(guó)1：100萬(wàn)地形圖采用了Lambert投影，其分幅原則與國(guó)際地理學(xué)會(huì)規(guī)定的全球統(tǒng)一使用的國(guó)際百萬(wàn)分之一地圖投影保持一致； 3）我國(guó)大部分省區(qū)圖以及大多數(shù)這一比例尺的地圖也多采用Lambert投影和屬于同一投影系統(tǒng)的Albers投影； 4）Lambert投影中，地球表面上兩點(diǎn)間的最短距離表現(xiàn)為近于直線，這有利于地理信息系統(tǒng)中的空間分析和信息量度的正確實(shí)施。2.3 空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是把空間數(shù)據(jù)從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中。 空間轉(zhuǎn)換有時(shí)也稱投影變換

8、。投影變換是地圖制圖的理論基礎(chǔ)，主要用來(lái)解決換帶計(jì)算、地圖轉(zhuǎn)繪、圖層疊加、數(shù)據(jù)集成等問(wèn)題。 一是投影的轉(zhuǎn)換，就是說(shuō)在完成地理坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換的同時(shí)，必須完成空間參考框架信息（包括參考橢球、大地基準(zhǔn)面以及投影規(guī)則）的精確轉(zhuǎn)換。此時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本要求就是必須獲取兩種空間參考系的投影信息。二是單純坐標(biāo)值的變換，只需要把空間數(shù)據(jù)的坐標(biāo)值從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中，轉(zhuǎn)換后的空間參考系信息直接采用目標(biāo)空間參考系信息。 2.3.2空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換 對(duì)于圖2.14所示的兩個(gè)三維空間直角坐標(biāo),可以采用7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型 (式2.4) 實(shí)現(xiàn)O-X1Y1Z1到O-X2Y2Z2的變換。 7參數(shù)：其中X、

9、Y 、 Z為兩空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)的平移參數(shù)，x 、 y 、 z分別表示繞X軸、Y軸、Z軸旋轉(zhuǎn)的角度，m為尺度變化參數(shù)。 具體區(qū)域的7參數(shù)需要到當(dāng)?shù)販y(cè)繪部門(mén)查詢或者根據(jù)已知坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行求解，獲取有一定的難度。2.3.3投影解析轉(zhuǎn)換投影解析轉(zhuǎn)換 1.同一地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換（1）直接轉(zhuǎn)換：此時(shí)，如果參與轉(zhuǎn)換得空間參考系的投影公式存在嚴(yán)密或近似的解析關(guān)系式，就可以建立兩坐標(biāo)系的解析關(guān)系式。應(yīng)用建立的解析關(guān)系式，直接計(jì)算出當(dāng)前空間參考系下的空間坐標(biāo)(x，y，z)在另一種空間參考系中的坐標(biāo)值(X，Y，Z)。（2）間接轉(zhuǎn)換：對(duì)于多數(shù)投影系統(tǒng)，很難精確推求出它們之間的這種解析關(guān)系式。此時(shí)，就需要采用間

10、接變換，即先使用坐標(biāo)反算公式，將由一種投影的平面坐標(biāo)換算為球面大地坐標(biāo)：(x，y)（B，L），然后再使用坐標(biāo)正算公式把求得的球面大地坐標(biāo)代入另一種投影的坐標(biāo)公式中，計(jì)算出該投影下的平面坐標(biāo)：（B，L）(X，Y)，從而實(shí)現(xiàn)兩種投影坐標(biāo)間的變換(x，y)(X，Y)。例如：研究區(qū)域恰好橫跨兩個(gè)高斯克呂格投影帶，則應(yīng)將兩個(gè)投影帶坐標(biāo)統(tǒng)一到同一個(gè)投影帶上才能實(shí)現(xiàn)圖幅的拼接，這時(shí)就需用采用間接變換法2.3.3投影解析轉(zhuǎn)換投影解析轉(zhuǎn)換2.不同地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換地理坐標(biāo)基準(zhǔn)的不同，使得兩種空間參考系的投影解析式之間很難建立直接的解析關(guān)系。所以，此時(shí)坐標(biāo)變換一般要涉及兩個(gè)內(nèi)容：一是地理坐標(biāo)基準(zhǔn)的變換；二是

11、坐標(biāo)值的變換。實(shí)現(xiàn)整個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本過(guò)程為（以WGS 84坐標(biāo)和1980西安坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換為例）：（1）（B，L）84轉(zhuǎn)換為（X,Y,Z）84，即空間大地坐標(biāo)到空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；（2）（X,Y,Z）84轉(zhuǎn)換為（X,Y,Z）80，坐標(biāo)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換，即參考橢球轉(zhuǎn)換。該過(guò)程可以通過(guò)2.3.2所敘述的七參數(shù)或簡(jiǎn)化三參數(shù)法實(shí)現(xiàn)；（3）（X,Y,Z）80轉(zhuǎn)換為（B,L）80，把空間直角坐標(biāo)到空間大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；（4）（B,L）80轉(zhuǎn)換為（x,y）80，通過(guò)高斯克呂格投影公式計(jì)算出高斯平面坐標(biāo)值。不同地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換，最大難點(diǎn)在于第2步涉及轉(zhuǎn)換參數(shù)。由于各地的重力值等各種因素的影響，不同地理坐標(biāo)基準(zhǔn)之間

12、很難確定一套適合全區(qū)域且精度較好的轉(zhuǎn)換參數(shù)。通行的做法是：在工作區(qū)內(nèi)找三個(gè)以上的已知點(diǎn)，利用最小二乘配置法求解七參數(shù)。若多選幾個(gè)已知點(diǎn)，通過(guò)平差的方法可以獲得較好的精度。2.3.4數(shù)值擬合轉(zhuǎn)換 如果無(wú)法獲取參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的空間參考的投影信息，可以采用下面敘述的單純數(shù)值變換的方法實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換。1.多項(xiàng)式擬合變換 根據(jù)兩種投影在變換區(qū)內(nèi)的已知坐標(biāo)的若干同名控制點(diǎn)，采用插值法，或有限差分法、有限元法、待定系數(shù)最小二乘法，實(shí)現(xiàn)兩種投影坐標(biāo)之間的變換。 應(yīng)用：變形糾正，圖形圖像的配準(zhǔn) 控制點(diǎn)個(gè)數(shù):(n+1)*(n+2)/2實(shí)際上，通常選擇理論控制點(diǎn)數(shù)量的2到3倍2.4 空間尺度 所謂尺度，在概念上是指研究

13、者選擇觀察（測(cè)）世界的窗口。 在測(cè)繪學(xué)、地圖制圖學(xué)和地理學(xué)中通常把尺度表述為比例尺，在數(shù)學(xué)、機(jī)械學(xué)、電子學(xué)、光學(xué)、通訊工程等學(xué)科中又往往把尺度表述為某種測(cè)量工具（measuring tool）或?yàn)V波器（filter），在航空攝影、遙感技術(shù)中尺度則往往相應(yīng)于空間分辨率（spectral resolution）。 進(jìn)行空間分析時(shí)，從獲取信息到數(shù)據(jù)處理、分析往往會(huì)涉及到四種尺度問(wèn)題，即觀測(cè)尺度、比例尺、分辨率、操作尺度，如圖2.15所示，并且這些尺度之間是緊密相關(guān)的。 2.4.1 觀測(cè)尺度觀測(cè)尺度 是指研究的區(qū)域大小或空間范圍。 認(rèn)識(shí)或觀察地理空間觀察及其變化時(shí)一般需要更大的范圍，即大尺度（地理尺度

14、）研究覆蓋范圍較大區(qū)域，如一個(gè)國(guó)家、亞太地區(qū)，而研究城市分布及其擴(kuò)展可用中尺度或小尺度。2.4.3 分辨率 圖像分辨率簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)是成像細(xì)節(jié)分辨能力的一種度量，也是圖像中目標(biāo)細(xì)微程度的指標(biāo)，它表示景物信息的詳細(xì)程度。 對(duì)圖像光譜細(xì)節(jié)的分辨能力表達(dá)用光譜分辨率(（spectral resolution）；對(duì)把同一目標(biāo)的序列圖像成像的時(shí)間隔稱為時(shí)間分辨率(temporal resolution)；而把圖像目標(biāo)的空間細(xì)節(jié)在圖像中可分辨的最小尺寸稱為圖像的空間分辨率(spatial resolution )。 2.5 地理格網(wǎng) 地理格網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)地理格網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)GBT 12409-2009 地理格地理格網(wǎng)網(wǎng)2.5.

15、3 國(guó)家基本比例尺地形圖標(biāo)準(zhǔn) 我國(guó)把1:1萬(wàn)、l:2.5萬(wàn)、1:5萬(wàn)、1:10萬(wàn)、1:25萬(wàn)、1:50萬(wàn)、1:100萬(wàn)7種比例尺作為國(guó)家基本地圖的比例尺系列。1.地形圖的分幅地圖有兩種分幅形式：矩形分幅和經(jīng)緯線分幅。我國(guó)的基本比例尺地形圖是以經(jīng)緯線分幅制作的。表表2.5 地形圖的經(jīng)緯差、行列數(shù)及圖幅數(shù)2、地形圖的編號(hào)（1）1:100萬(wàn)地形圖的編號(hào)該種地形圖的編號(hào)為全球統(tǒng)一分幅編號(hào)。行數(shù)：由赤道起向南北兩極每隔緯差4為一行行，直到南北88（南北緯88至南北兩極地區(qū)，采用極方位投影單獨(dú)成圖），將南北半球各劃分為22 行行 ，分別用拉丁字母A、B、C、DV表示。列數(shù)：從經(jīng)度180 起向東每隔6 為一列列，繞地球一周共有60列列，分別以數(shù)字1、2、3、460表示。由于南北兩半球的經(jīng)度相同，規(guī)定在南半球的圖號(hào)前加一個(gè)S，北半球的圖號(hào)前不加任何符號(hào)。一般來(lái)講，把列數(shù)的字母寫(xiě)在前，行數(shù)的數(shù)字寫(xiě)在后。例如北京所在的一幅百萬(wàn)分之一地圖的編號(hào)為J50（如圖2.17所示）