二次函數(shù)新定義問題

1、專題訓練(四 ) 與二次函數(shù)相關的新定義問題? 類型之一應用型：閱讀 理解 建模 應用4 ZT 11 2017·巴中如圖4 ZT 1， 我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓” ， 點A， B， C， D 分別是“蛋圓”與坐標軸的交點 ， AB 為半圓的直徑， 且拋物線的函數(shù)表達式為y x2 2x3， 則半圓圓心M 點的坐標為.2 一個函數(shù)的圖象關于y 軸成軸對稱圖形時， 我們稱該函數(shù)為“偶函數(shù)”如果二次函數(shù)y x2 bx 4是“偶函數(shù)”， 該函數(shù)的圖象與x軸交于點A和點B， 頂點為 P， 那么 ABP的面積是3 2017 ·余杭區(qū)一模如果兩個二次函數(shù)的圖象

2、關于y 軸對稱 ， 我們就稱這兩個二次函數(shù)互為“關于 y 軸對稱二次函數(shù)”， 如圖 4 ZT 2 所示 ， 二次函數(shù)y1 x22x 2 與y2 x2 2x2 是“關于 y 軸對稱二次函數(shù)”(1)直接寫出兩條圖中“關于 y 軸對稱二次函數(shù)”圖象所具有的特點(2)二次函數(shù)y 2(x 2)21 的“關于 y 軸對稱二次函數(shù)”表達式為 ； 二次函數(shù)ya(xh)2 k的“關于 y軸對稱二次函數(shù)”表達式為 (3)平面直角坐標系中， 記“關于 y 軸對稱二次函數(shù)”的圖象與 y 軸的交點為A， 它們的兩個頂點分別為B， C， 且BC6，順次連結點A， B，O， C 得到一個面積為24 的菱形 ，求“關于 y

3、軸對稱二次函數(shù)”的表達式4 ZT 2? 類型之二探究型：閱讀理解 嘗試 探究4 若拋物線y ax2 bx c過定點 M(1， 1)， 則稱此拋物線為定點拋物線(1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的函數(shù)表達式小敏寫出了一個答案：y 2x2 3x 4， 請你寫出一個不同于小敏的答案；(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線yx2 2bx c 1 ， 求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的函數(shù)表達式請你解答5 2017 ·衢州定義：如圖4ZT3， 拋物線yax2bxc(a0)與 x 軸交于A，B兩點 ， 點 P 在該拋物線上(點 P 與 A， B 兩點

4、不重合)， 若 ABP 的三邊滿足AP2 BP2 AB2，則稱點 P 為拋物線y ax2 bx c(a 0)的勾股點(1)直接寫出拋物線yx2 1 的勾股點的坐標；(2)如圖， 已知拋物線C：yax2bx(a0)與x軸交于A，B 兩點 ， 點 P(1，3)是拋物線 C 的勾股點， 求拋物線C 的函數(shù)表達式；(3)在 (2)的條件下， 點 Q 在拋物線C 上 ， 求滿足條件S ABQ S ABP的點 Q(異于點 P)的坐標4 ZT 326 2017 ·嵊州市模擬在平面直角坐標系中， 我們把直線y ax c 稱為拋物線y ax bx c 的生成線， 拋物線與它生成線的交點稱為拋物線的生成

5、點， 例如：拋物線y x2 2 的生成線是直線yx2，生成點是（0，2）和（1 ， 1）（1）若拋物線y mx2 5x 2的生成線是直線y3x n， 求 m 與 n 的值（2）已知拋物線yx23x3 如圖 4ZT4所示 ， 若它的一個生成點是（m，m3）求 m 的值若拋物線yx2pxq 是由拋物線yx23x3 平移所得（不重合），且同時滿足以下兩個條件：二是若拋物線yx23x3的生成點為點A，B，拋物線yx2pxq的生成點為點C，D， 則 AB CD .求 p 與 q 的值4 ZT 427 2017 ·隨州在平面直角坐標系中， 我們定義直線y ax a 為拋物線y ax bx c(a

6、，b， c 為常數(shù) ， a 0)的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上， 另有一個頂點在y 軸上的三角形為其“夢想三角形”已知拋物線y23x243x23與其“夢想直線”交于A， B 兩點(點A在點 B33的左側 )， 與 x 軸負半軸交于點C.(1)填空：該拋物線的“夢想直線”的函數(shù)表達式為 ， 點 A 的坐標為 ， 點 B 的坐標為(2)如圖4 ZT 5，M 為線段 CB 上一動點， 將 ACM 以 AM 所在直線為對稱軸翻折，點 C 的對稱點為N ， 若 AMN 為該拋物線的“夢想三角形”， 求點 N 的坐標(3)當點 E 在拋物線的對稱軸上運動時， 在該拋物線的“夢想直線”上 ， 是否存在

7、點F，使得以點A， C， E， F 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在， 請直接寫出點E， F 的坐標；若不存在， 請說明理由4 ZT 5? 類型之三概括型：閱讀 理解 概括 拓展8 2017 ·郴州設a， b 是任意兩個實數(shù)， 用max a， b表示 a， b 兩數(shù)中較大者， 例如：max 1， 11， max1 ， 2 2， max4， 3 4， 參照上面的材料， 解答下列問題：（1）max5 ， 2 ， max0 ， 3 ；（2）若max3 x 1， x 1x 1， 求 x 的取值范圍；（3）求函數(shù)yx22x4 與yx2 的圖象的交點坐標， 函數(shù)yx22x4 的圖象如4 ZT

8、6 所示 ， 請你在圖中作出函數(shù)yx 2 的圖象 ， 并根據(jù)圖象直接寫出max x2， x2 2x 4的最小值4 ZT 6詳解詳析1 （1， 0）解析 解x22x3 0 得x11，x23，所以拋物線與x軸交于點A（1，0）， B（3， 0）， 所以AB 4， 所以點 M 的坐標為（1， 0）2 8 解析 二次函數(shù)y x2 bx 4 是“偶函數(shù)”，2× 10，b 0，函數(shù)表達式為y x2 4，令y 0， 則 x2 4 0，解得x1 2， x2 2， A（ 2， 0）， B（2， 0）， AB 2 （ 2） 4.令 x 0， 則y4，點 P 的坐標為（0， 4），ABP 的面積21

9、15; 4× 4 8.3 解： (1)頂點關于y軸對稱 ， 對稱軸關于y軸對稱(答案不唯一)(2)y 2(x 2)2 1 y a(x h)2 k(3)(答案不唯一)如圖， 由 BC 6， 順次連結點A， B， O， C 得到一個面積為24的菱形 ，得OA 8， 點 A 的坐標為(0， 8)， 點 B 的坐標為( 3， 4) 設左側拋物線的函數(shù)表達式為y a(x 3)2 4， 將點 A的坐標代入， 得9a 4 8，4解得a，9故y4(x3)24，其“關于 y 軸對稱二次函數(shù)”的表達式為y4(x3)24.99根據(jù)對稱性， 開口向下的拋物線也符合題意，y 軸對稱二次函數(shù)”的表達式為 y(x

10、3)2 4和y(x 3)2 4.994 解： (1)答案不唯一， 合理即可(2)因為拋物線的函數(shù)表達式可化為y(x22bxb2)b2c1(xb)2b2c1， 所以此定點拋物線的頂點坐標為(b， b2 c 1)因為拋物線過定點M(1， 1)， 將其代入函數(shù)表達式可得12bc11，解得c12b，則頂點縱坐標b2c1b212b1(b1)21， 所以當b1 時 ，b2c1 的值最小為1， 此時c12b1 2× 11.故拋物線的函數(shù)表達式為yx2 2x.5 解： (1)拋物線yx2 1 的勾股點的坐標為(0， 1)(2)拋物線y ax2 bx過原點 ， 即點A(0， 0)如圖 ， 過點 P 作

11、PG x軸于點 G.點 P 的坐標為（1 ，3），AG1 ，PG3，PAAG2PG212（3）22， PAG 60° ， AB 2PA 4，點 B 的坐標為（4， 0）設拋物線C 的函數(shù)表達式為y ax（x 4），將 P（1，3）代入得a3，3（3）當點Q 在 x 軸上方時， 由S ABQ S ABP 知點 Q 的縱坐標為3，則有3x2 4 3x3，33解得x1 3，x21 ，點Q 的坐標為（3，3）；當點 Q 在 x 軸下方時， 由S ABQ S ABP 知點 Q 的縱坐標為3，則有33x2 4 3 3x3，解得x1 27， x2 27，點 Q 的坐標為（27， 3）或 （27，

12、3）綜上 ， 滿足條件的點Q 有 3 個 ， 其坐標為（3，3）或 （27， 3）或 （27， 3）6 解：（1） 拋物線ymx25x2的生成線是直線y3xn， m 3， n2， n 2.（2）拋物線y x2 3x 3 的一個生成點是（m， m 3），2 m 3 m 3m 3，整理 ， 得 m2 4m 0，解得m 0 或 4.拋物線yx2pxq 是由拋物線yx23x3 平移所得（不重合），且這兩個拋物線具有相同的生成線， q 3.拋物線yx23x3與它生成線yx3 的生成點為（0，3），（4，7），AB2（40）2（73）232.拋物線yx2px3與它生成線yx3 的生成點為（0，3），（1

13、p，4p），CD2（1p0）2（4p3）22（1p）2. AB CD， 2（1 p）2 32， p 5 或 3.拋物線y x2 px 3 與拋物線y x2 3x 3 不重合 ， p3 不合題意， 應舍去 ， p 5.7 解：（1） y2 3x 2 3 （ 2， 2 3） （1 ， 0）33（2）拋物線與x軸負半軸交于點C， C（ 3， 0）過點A作 AG y軸 ， 垂足為 G.當點 N 在 y 軸上時 ， AMN 為“夢想三角形”設N（0，n）， A（ 2，23）， C（3， 0）， AC13， ANAC13.在RtAGN中 ， AG2GN2 AN2，AG 2， GN|n23|， 4 （n 2

14、3）2 13，解得n 2 3 3 或n 2 3 3.設 M（m， 0），當n233 時，在RtMNO 中，（233）2m2（m3）2，解得m223；當n233 時，在RtMNO 中，（233）2m2（m3）2，解得m223.3< m 1， m 2 23不合題意， 舍去m223，此時n233， N(0， 23 3)；當點 M 在 y 軸上時 ， AMN 為“夢想三角形”，此時點 M 與點 O 重合 ， 在 Rt AGM 中 ， AG 2， GM 23， AMG 30 ° ，GM 3 AMC AMN NMB 60° .過點 N 作 NP x軸于點P， 在 Rt NMP 中 ， MN CM 3， NP 3 3， OP 3， N 3， 3 32222.綜上所