多元函數(shù)的基本概念及性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)的基本概念及性質(zhì)的基本概念及性質(zhì)第一頁(yè)，共36頁(yè)。在點(diǎn) 的微分(wi fn),在點(diǎn) 的增量(zn lin)可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即定理定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是即在點(diǎn)可微可微,處可導(dǎo)，在點(diǎn)0 x)(xfy 0 x)()(00 xfxxfy)( xoxA)(xfy 0 xxA)(xf0 xdfdy或xAyd)(xfy 0 x)(xfy , )(0 xfA且xxfy)(d0第1頁(yè)/共35頁(yè)第二頁(yè)，共36頁(yè)。一、平面一、平面(pngmin)點(diǎn)集點(diǎn)集三、多元函數(shù)三、多元函數(shù)(hnsh)的概念的概念四、多元函數(shù)四、多

2、元函數(shù)(hnsh)的的極限極限五、多元函數(shù)的連續(xù)性五、多元函數(shù)的連續(xù)性二二、n維維空間空間多元函數(shù)的基本概念及性質(zhì)多元函數(shù)的基本概念及性質(zhì) 第2頁(yè)/共35頁(yè)第三頁(yè)，共36頁(yè)。 )(0oPPU00 PP1. 鄰域鄰域(ln y)點(diǎn)集點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為稱為(chn wi)點(diǎn)點(diǎn) P0 的的鄰域鄰域.例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圓鄰域圓鄰域) )在空間中在空間中, , ),(),(0zyxPU( (球鄰域球鄰域) )說(shuō)明：說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )(0PU點(diǎn)點(diǎn) P0 的的去心鄰域去心鄰域記為記為0PP)(

3、)(2020yyxx)()()(202020zzyyxx第3頁(yè)/共35頁(yè)第四頁(yè)，共36頁(yè)。在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用(shyng)(shyng)方鄰域方鄰域, ,平面平面(pngmin)(pngmin)上的方鄰域?yàn)樯系姆洁徲驗(yàn)?),() ,U(0yxP因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi)方鄰域與圓方鄰域與圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. .,0 xx0 yy。0P第4頁(yè)/共35頁(yè)第五頁(yè)，共36頁(yè)。(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn)(y din) P : 若存在若存在(cnzi)點(diǎn)點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E , 若

4、若存在存在點(diǎn)點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn)若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) 既含既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱則稱 P 為為 E 的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱則稱 P 為為 E 的的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱則稱 P 為為 E 的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .的外點(diǎn)的外點(diǎn) ,顯然顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . 第5頁(yè)/共35頁(yè)第六頁(yè)，共36頁(yè)。若對(duì)任意若對(duì)任意(rny)給定給定的的 ,點(diǎn)點(diǎn)P 的去心的去心) ,(PUE鄰域鄰域(ln y)內(nèi)總有內(nèi)總

5、有E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) , 則則稱稱 P 是是 E 的的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以聚點(diǎn)可以(ky)屬于屬于 E , 也可以也可以(ky)不屬于不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) )第6頁(yè)/共35頁(yè)第七頁(yè)，共36頁(yè)。D 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，則稱，則稱 E 為為開(kāi)集開(kāi)集； 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E , 則稱則稱 E 為為閉集閉集； 若集 D 中任意(rny)兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同開(kāi)區(qū)域連同(lintng)(lintng)它的邊界一起稱為閉它的邊界一起稱為閉區(qū)域區(qū)域. .則稱則稱 D 是是連通連通的的 ; 連通的開(kāi)集稱為連通的開(kāi)集稱

6、為開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱區(qū)域區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的的邊界邊界, 記作記作 E ;第7頁(yè)/共35頁(yè)第八頁(yè)，共36頁(yè)。0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域(qy(qy) )閉區(qū)域閉區(qū)域(qy) xyo21xyoxyoxyo21第8頁(yè)/共35頁(yè)第九頁(yè)，共36頁(yè)。 整個(gè)整個(gè)(zhngg)平平面面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集，是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)域是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域；也是最大的閉域；但非區(qū)域但非區(qū)域(qy) .11oxy 對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域 D , 若存在若存在(cnzi)正數(shù)正數(shù) K , 使

7、一切點(diǎn)使一切點(diǎn) P D 與某與某定點(diǎn)定點(diǎn) A 的距離的距離 AP K ,則稱則稱 D 為為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為否則稱為無(wú)無(wú)第9頁(yè)/共35頁(yè)第十頁(yè)，共36頁(yè)。OxyOxyOxy Oxy有界開(kāi)區(qū)域有界開(kāi)區(qū)域(qy)有界半開(kāi)半閉區(qū)域有界半開(kāi)半閉區(qū)域(qy)有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域(qy)無(wú)界閉區(qū)域無(wú)界閉區(qū)域第10頁(yè)/共35頁(yè)第十一頁(yè)，共36頁(yè)。n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體的全體(qunt)稱為稱為 n 維空維空間間,Rnn 維空間中的每一個(gè)維空間中的每一個(gè)(y )元素元素稱為稱為(chn wi)空間中的空間中的kx數(shù)稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)

8、個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) .記作記作即即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一個(gè)一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)，時(shí)，0 kx稱該元素為稱該元素為 nR中的零元中的零元,記作記作 O .第11頁(yè)/共35頁(yè)第十二頁(yè)，共36頁(yè)。的距離的距離(jl)(jl)記記作作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點(diǎn)中點(diǎn) a a 的的 鄰域鄰域(ln y)(ln y)為為),(21nyyyy與點(diǎn)),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定規(guī)定(gudng)(gudng)為為 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn)與零元與零元 O O 的距離為的距離為22221nx

9、xxx.,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng)0Raxaxn滿足與定元中的變?cè)? ax 記作nR第12頁(yè)/共35頁(yè)第十三頁(yè)，共36頁(yè)。引例引例(yn (yn l):l): 圓柱體的體積圓柱體的體積(tj)(tj) 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr第13頁(yè)/共35頁(yè)第十四頁(yè)，共36頁(yè)。,RnD DPPfu, )(或點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為稱為(chn wi)函數(shù)的定義函數(shù)的定義域域 ; 數(shù)集

10、數(shù)集DP,Pfuu)(稱為稱為(chn wi)函函數(shù)的值域數(shù)的值域 .特別地特別地 , 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí), 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng)當(dāng) n = 3 時(shí)時(shí), 有三元函數(shù)有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射映射R:Df稱為定義稱為定義在在 D 上的上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作記作),(21nxxxfu第14頁(yè)/共35頁(yè)第十五頁(yè)，共36頁(yè)。xzy221yxz定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(22 yxyx圓域圓域說(shuō)明說(shuō)明(shumng): 二元函數(shù)二元函數(shù)(hnsh) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面圖形為中心在原點(diǎn)的上半

11、球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù)三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球xyzo第15頁(yè)/共35頁(yè)第十六頁(yè)，共36頁(yè)。 二元函數(shù)的幾何二元函數(shù)的幾何(j h)意義意義 研究研究(ynji)單單值函數(shù)值函數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù)(hnsh)的圖形通常是的圖形通常是一張一張曲面曲面.如球面等如球面等),(yxfz DxyzOM xyP第16頁(yè)/共35頁(yè)第十七頁(yè)，共36頁(yè)。定義定義(dngy)2. 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù),R),(nD

12、PPf點(diǎn)點(diǎn) , ),(0PUDP , -)( APf則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù)(hnsh)(也稱為也稱為 n 重極限重極限)當(dāng)當(dāng) n =2 時(shí)時(shí), 記記20200)()(yyxxPP 二元函數(shù)的極限可寫作：二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf ),(lim0 APfPP )(lim0P0 是是 D 的聚的聚若存在常數(shù)若存在常數(shù) A ,對(duì)一對(duì)一記作記作，時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)0)(PPPf,),(lim00Ayxfyyxx 都有都有對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,切切Ayxfyxyx ),(lim),(),(00第17頁(yè)/共35頁(yè)第十八頁(yè)，共36頁(yè)。 說(shuō)明說(shuō)明(shumng)(1) 定

13、義定義(dngy)中中0PP (2) 二元函數(shù)二元函數(shù)(hnsh)的極限的極限也叫也叫),(lim00yxfyyxx(double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重極限二重極限.(3) 可推廣到可推廣到n元函數(shù)元函數(shù).第18頁(yè)/共35頁(yè)第十九頁(yè)，共36頁(yè)。)0(1sin)(),(222222 yxyxyxyxf求證求證(qizhng)：.0),(lim00 yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故故0),(lim00 yxfyx,0 0),( yxf,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 220yxr22yx 2 22yx , 總有總有要證要證 第19頁(yè)/共35頁(yè)第二十頁(yè)，共36頁(yè)。0, 00,s

14、insin),(11yxyxyxyxfxy求證求證(qizh(qizhng)ng)：.0),(lim00yxfyx證證：0),(yxf故故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)022yxxyyx11sinsin總有總有 2 要要證證第20頁(yè)/共35頁(yè)第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。 若當(dāng)點(diǎn)若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限趨于不同值或有的極限(jxin)不不存在，存在，解解: 設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線(zhxin) y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfx

15、kxyx在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 的極限的極限(jxin).),(yxf故故則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時(shí)時(shí)yxP不存在不存在 .函數(shù)函數(shù)第21頁(yè)/共35頁(yè)第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。- （g連續(xù)）連續(xù)）flim0glimgfgflimlim)lim(gfgflimlimlimgffglimlimlim)(lim)(limfgfg第22頁(yè)/共35頁(yè)第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。僅知其中一個(gè)僅知其中一個(gè)(y )存在存在,推不出其它推不出其它(qt)二者二者存在存在.

16、),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在如果它們都存在, 則三者相等則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由但由例例4 知它在知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在點(diǎn)二重極限不存在 .第23頁(yè)/共35頁(yè)第二十四頁(yè)，共36頁(yè)。2lim1lim1lim20)2,0(),( yxyexeyxyxyxyyx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈=(x , y)| x0, y R點(diǎn)點(diǎn)P0(0,2)為為D的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)由極限由極限(j

17、xin)運(yùn)算法運(yùn)算法則得則得xeyxfxy1),( xexyyx1lim)2,0(),( 第24頁(yè)/共35頁(yè)第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。222222)0,0(),()()cos(1limyxyxyxyx 解解: 因因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)此函數(shù)(hnsh)定義域定義域不包括不包括 x , y 軸軸,222yxr令則則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故故22222200)()cos(1limyxyxyxyx例例5+第25頁(yè)/共35頁(yè)第二十六頁(yè)，共36頁(yè)。定義定義(dngy)3 . 設(shè)

18、設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf定義定義(dngy)在在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點(diǎn)處各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在 D 上上,0DP 聚點(diǎn)聚點(diǎn)如果存在如果存在否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù),0P此時(shí)此時(shí)稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .則稱則稱 n 元函數(shù)元函數(shù)連續(xù)連續(xù).連續(xù)連續(xù), 第26頁(yè)/共35頁(yè)第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0) 極限極限(jxin)不存在不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)(hnsh)11),(22yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0,

19、0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn).在圓周在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第27頁(yè)/共35頁(yè)第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在在 D 上可取得上可取得(qd)最大值最大值 M 及最小及最小值值 m ;(3) 對(duì)任意對(duì)任意(rny)，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略證明略) 第28頁(yè)/共35頁(yè)第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。xyyxyx 2)2, 1(),(li

20、m23)3 , 1(lim2)2, 1(),( fxyyxyx0, 0),(yxyxD0, 0),(1 yxyxDDD 110)2 , 1(DP 解解: :函數(shù)函數(shù)(hnsh) (hnsh) 是初等是初等(chdng)(chdng)函數(shù)，函數(shù)，因因D不是不是(b shi)連通的，故不是連通的，故不是(b shi)區(qū)域區(qū)域但但是區(qū)域，且是區(qū)域，且所以所以D1 是是f (x, y)的一個(gè)定義區(qū)域的一個(gè)定義區(qū)域因因f (x, y)在在D1上連續(xù)上連續(xù), , 故故它的定義域?yàn)樗亩x域?yàn)閤yyxyxf 2),(第29頁(yè)/共35頁(yè)第三十頁(yè)，共36頁(yè)。.11lim00yxyxyx 解解: 原式原式) 11

21、(1) 1(lim200yxxyyxyx21222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例8+. 求函數(shù)求函數(shù)的連續(xù)的連續(xù)(linx)域域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2第30頁(yè)/共35頁(yè)第三十一頁(yè)，共36頁(yè)。1. 區(qū)域區(qū)域(qy) 鄰域鄰域(ln y) :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域區(qū)域連通的開(kāi)集連通的開(kāi)集 空間nR2. 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念n 元函數(shù)元函數(shù)),(21nxxxf常用常用二元函數(shù)二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)三元函數(shù)DP)(Pfu nR第31頁(yè)/共35頁(yè)第三十二頁(yè)，共36頁(yè)。APfPP)(lim0,0 ,0 時(shí)，當(dāng)00 PP有有)( APf4. 多元多元(du yun)函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性1) 函數(shù)函數(shù)(hnsh)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)第32頁(yè)/共35頁(yè)第三十三頁(yè)，共36頁(yè)。)()()(12PfPfPf